Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿Y cuándo se vacía?
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Concebimos un movimiento diferente
Hablaremos del Modelo Cúbico construido a partir del Modelo Cuadrático. Retomaremos la situación real de movimiento en línea recta creando un movimiento en el que no hay cambio de sentido. Transitaremos al contexto real de llenado de tanques para dar significado a la función cúbica y a su derivada.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Regresamos entonces ahora a contestar finalmente
cuando se va a vaciar el tanque.
Bueno esa era la pregunta que teníamos en nuestra mente, vamos a relacionarlo con lo
gráfico, vamos a relacionarlo con lo algebraico, veamos que cuestiones vamos a
tener que entender para poderlo resolver, para poderlo contestar.
Si ustedes me acompañan en la pantalla,
you tenemos aquí nuestro gráfico como lo teníamos anteriormente y ahorita realmente
contestar esta pregunta visualmente es venirnos por aquí, ahí va
el nivel subiendo, llego a un máximo luego empieza a bajar,
y llegar acá ustedes me dirían, pues ahí está la respuesta, no.
Este mismo Graphmática me lo está dando por que
you me está dando ahí un lugar con unas coordenadas
en donde yo puedo voltear hacia la izquierada aquí abajo, vean aquí abajo
y entonces me pongo en ese punto y you se que es un ¿qué?
es un 3.66, es lo que estoy viendo yo,
puede ser por ahí, es una aproximación ciertamente, no.
Pero, vayamos un poquito más allá nosotros, tratando de ver,
de usar, la matemática en la solución de este problema.
Entonces, ahorita me gustaría
que retomáramos acá para escribir las cosas, yo tengo escrita cual es la
función, la función que estamos estudiando que es 15 más 2x más
2x cuadrada menos x cúbica, y ahora con
esta hoja vamos a tratar de hacer todas las operaciones que sean necesarias, ¿no?
Cuando yo estoy haciéndome la pregunta de que el nivel,
acuérdense de que ahorita el nivel es y, en que instante,
el instante es x, yo quiero saber cuando el nivel es cero.
Lo que estoy haciendo es proponiendo una igualación con cero, ¿no?
Estoy haciendo estoy, okay.
Esto es lo que gráficamente veíamos como el punto donde corta con
el eje de las x, entonces en este momento reacomodando estas cosas
un poquito nos queda algo así: menos x cúbica más 2x cuadrada
más 2x más15 igual con cero, ¿okay?
Entonces estamos ante la presencia de ¿qué?
¿qué nombre le pondremos a esta expresión matemática?
pues es una ecuación por que está igualada a
cero, y como el exponente es 3, sería una ecuación
cúbica, ¿no?
Vamos a ponerle aquí el nombre es una ecuación cúbica y entonces contestar
nuestra pregunta sería tener que resolver una ecuación cúbica, ¿no?
¿Cómo se resuelve una ecuación cúbica, no?
ese es ahorita nuestro problema. ¿Cómo resolver esta ecuación
cúbica? Realmente el problema
de la solución de una ecuación cúbica en términos como lo estamos esperando, es un
problema que a la matemática le llevó
bastante tiempo poder resolver, si yo ahorita les
recuerdo la ecuación cuadrática, se acuerdan hace
rato en el curso tendríamos que resolver cosas
así ax cuadrada más bx más c igual a cero, de hecho lo hemos resuelto,
para contestar otras preguntas en nuestro problema del tanque con las tres llaves.
Bueno aquí esto tiene una fórmula general para resolverse que es menos b más
menos raíz cuadrada de b cuadrada menos 4ac entre 2a,
esta fórmula es como el despeje de la x de la ecuación cuadrática
y vean como tenemos esta fórmula en términos de operaciones elementales
con las letras a, b y c que son los coeficientes en la
ecuación, o sea, tenemos la ventaja de tener una expresión digamos
matemática en términos de operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, sacar
radicales, potencias, ¿no? Todas son operaciones
aritméticas y tenemos una expresión matemática que me dice
primero multiplica esto, después elévalo al cuadrado, luego quítale tanto, luego
divídelo entre tanto, luego sácale la raíz, cuestiones como esas es tener una
fórmula general, entonces en mucho tiempo se estuvo
buscando una fórmula general para resolver
a la ecuación cúbica, y la mera verdad, este problema como
muchas veces ocurre en matemáticas, es un problema, digamos de corte
matemático, pero que va a dar lugar a todo un desarrollo
en la matemática que vale la pena, que se haya hecho.
La respuesta si se tuvo, si se tuvo en 1500, ahorita lo vamos
a ver con la computadora y un poquito de internet, pero me gustaría
hacer algunas aclaraciones ahorita con respecto a lo que estamos manejando
acá del tanque, miren yo puedo estar segura de que las soluciones de
esta ecuación cúbica son tres, así de fácil, son tres: tengo
el exponente máximo tres, son tres soluciones pero
claro decir este tres no es tan fácil como
decir, a pues si ahí está un tres pues
entonces son tres, lo que pasa es que matemáticamente
se tuvo que pensar en esas soluciones dentro de un campo de números, no.
Y entonces, a lo que se llegó es que, si me quedo nada más con los números
racionales no lo voy a lograr, metemos a los irracionales, entonces me quedo con
el campo de los números reales, si yo me quedo solamente con el campo de los
números reales, y quiero que cualquier ecuación cúbica
tenga solución, no lo voy a lograr, ¿okay?
De hecho ni las cuadráticas, no, ¿qué es lo que se necesitó ampliar en el
concepto de número para que cualquier ecuación cuadrática
tenga solución y cúbica y de cualquier grado?
Se tuvo que hablar de esa ampliación que son
los números complejos, no, con una parte real y una
parte imaginaria entonces esos nuevos números hagan de cuenta
que es esa ampliación que fue necesaria, fue el horizonte
de los números que fue suficiente, para poder establecer un resultado, tan
fundamental que se llama Teorema Fundamental
del Álgebra, si, en ese teorema se
está asegurando la existencia de tres soluciones para una ecuación cúbica, pero
tres soluciones en donde, en el conjunto de los números complejos, no, un número
complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, se puede escribir
así: a más ib, donde a y b son números reales, no.
Claro, que si la letra b es cero, pues entonces me quedan todos los
reales, se fijan en ese sentido, entonces
los números reales, aquí están los complejos, no.
Los números reales, estarían contenidos en cierta forma en el conjunto de los números
complejos, son una parte de ellos, los complejos donde la parte
imaginaria es cero, como si yo lo quitara de aquí esto, no.
Entonces, por eso les digo que es como una ampliación,
la considero un más, no, tomando las partes imaginarias y ahora
sí se puede demostrar en la teoría un resultado que se
llama Teorema Fundamental del Álgebra, en nuestras teorías en las ramas
de la matemática siempre aparecen este tipo de
teoremas, también tenemos nuestro teorema fundamental del cálculo
sobre el cual estamos descansando cuando hemos hecho
este discurso, está la didáctica en este curso.
Entonces este Teorema Fundamental del Álgebra es tan simple,
se oye tan simple como decir ecuación cúbica, tres
soluciones, claro pero hay que decir tres soluciones que
pueden ser complejas, y dentro de las complejas pueden ser
reales, y dentro de las reales pueden ser racionales o irracionales, ¿okay?
Esta ecuación que ustedes tienen aquí, hay una manera, hay
un teorema que me permite decidir si tienen soluciones
los números racionales o no las tienen, acuérdense
que el conjunto de los números racionales son el cociente
de números enteros, donde claro, la b no sea cero,
no se vale esto que sea cero, ¿okay?
Entonces los primeros números con los que nosotros
pensaríamos hay ojalá que las soluciones sean números racionales,
serían esas no, o sea, pensar que tal, bueno
es más uno quisiera que hasta fuera enteros, no.
Claro pero esas son ecuaciones muy muy preparaditas.
El teorema
del que les estoy hablando me dice, en
que conjunto de números yo puedo encontrar las soluciones
de esta ecuación, mientras sean soluciones racionales, no, o
sea, mientras sean enteros o cocientes de enteros, ¿okay?
Para eso lo único que hay que hacer es lo siguiente, les voy a decir
ese teorema, pero en términos muy mundanos digamos aplicado aquí en esta
ecuación, el coeficiente que está aquí detrás de x cúbica es un
1, un menos 1, ¿okay? y yo puedo pensar en los factores, los
divisores del menos 1, que son el 1 y el menos 1, nada más los
que dividen al 1, si. Acá tengo el último coeficiente que es un
15, y en este 15, también puedo pensar en sus factores, en sus divisores,
¿a qué me estoy refiriendo?
A que ahorita podría pensar en el número 3, por que 15 entre 3 da 5,
en el número 5 por que 15 entre 5 da 3, no puedo pensar en el
número 2 por que 15 entre 2 no me va a dar un entero, en ese sentido el 2 no es un
factor, finalmente aquí también podríamos poner el 15, y obviamente,
siempre el 1 va a ser un divisor, ¿okay? del 15 también.
Entonces cuando se tienen estos factores para el número 15, para el
coeficiente solo, y los factores para el coeficiente de x cúbica, lo que
se construye es un conjunto en el cual pueden estar las soluciones que son
racionales, el conjunto se forma con los números p entre q,
digamos donde estos van a ser los p y estos van a ser los q, o sea, forma
un conjunto, vamos a ponerlo aquí el conjunto donde
tomo uno de estos, uno y lo divido entre uno
de estos y entonces me queda el 1, también me queda 1 entre menos1, también me queda
el 3 entre el 1 que es el 3, luego también me queda el 3 entre el menos1, menos 3.
Luego el 5, el menos 5, ¿y cuál otro? el 15, y el menos 15, ¿okay?
Entonces en este conjunto, ahí van a estar
las soluciones de esta ecuación, si esas soluciones son racionales.
En este momento, fíjense, vámonos a la computadora
y veamos esos números dentro del gráfico y tratemos
de interpretarlo, si ustedes están viendo ahorita en la
pantalla, esta curva azul, vean el lugar que andamos
buscando está aquí, está entre 3 y 4, cierto.
Y entonces, recordemos ¿habrá un número entre el 3 y
4 de la lista que tuvimos acá?, no lo hay,
ni el 1, el 3, ni el 5, ni el 15, se fijan, entonces
en ese sentido, yo podría estar seguro ahorita de que entre los que están aquí no
hay solución, me estoy ayudando de la
tecnología, entonces ninguno de estos es, eso quiere
decir que esa ecuación que estábamos tratando
de resolver no tiene soluciones racionales, ¿y entonces?
si no tiene soluciones racionales no nos queda otra más
que sean irracionales, o sea, ese número que estamos viendo aquí en la pantalla,
este que está aquí si, que la Graphmática nos lo da con una aproximación decimal, de
2 decimales, si, realmente es un número irracional, ¿okay?
Entonces encontrarlo va a ser
más difícil, ¿no? ¿Porqué?
Por que un número irracional tiene infinitas decimales, no.
Y es más, decimales no períodicas.
Seríamos afortunados en encontrar que ese número tuviera
involucrado ahí un radical de 5, raíz de
10 como hace rato, que veíamos en el otro video, pero no estamos seguro de ello.
Entonces, ¿qué es lo que voy a hacer en este momento con ustedes?
en este momento,
para esta situación, de encontrar este lugar en que el tanque se vació, vamos
a tomar lo que la tecnología nos ofrece, esta tecnología que incluso me acuerdo
que ahorita que hicimos aquí en el menú de cálculo nos encontró los puntos críticos y
nos dio un cero en 3.6635, se fijan ese número es una aproximación
del número irracional que es la solución aquí, no, sobre el eje
de las x, ¿okay? Vamos a quedarnos con esa aproximación,
que sería un 3.6635 y pensemos entonces que a los
3.6635 minutos el tanque se vació, okay.
Entonces podríamos concretar nuestra historia del
tanque completamente tomando en cuenta esa información
aproximada, me van a decir y ¿qué vamos a hacer con la ecuación cúbica?
no se desesperen, probablemente ahorita tengan la curiosidad, yo los invito a que
busquemos un poquito en internet para
que en nuestro siguiente video podamos entender
todas las complicaciones que trae consigo el resolver una ecuación
cúbica, acabamos entonces con nuestra historia ahorita del tanque, no.
¿Qué pasó con el tanque en esta situación que estábamos viendo?
Podemos decir, si vemos el gráfico, que este
tanque estaba en un nivel inicial de ¿qué dijimos?
de 15, y el tanque
estaba aumentando su nivel, de una manera cada vez más
rápida, fíjense en donde voy en el cursor, hasta que llegaron los 2 tercios
de minuto, y llegó a un cierto nivel que ahorita Graphmática me lo
podría decir, si me pongo aquí, este nivel más o menos es de, 17.4
digamos, 17.25 centímetros, y después
va a seguir subiendo el nivel cada vez más lento, hasta que
aquí que sería 1 punto, ¿se acuerdan en que valor estábamos por aquí?
el .79 y algo, ¡ah!
aquí está con nuestra calculadora sí: el 1.72 perdonen, el 1.72.
Llegamos a un nivel máximo y después el nivel comenzó a bajar
y bajar, y a bajar cada vez más rápido, hasta que a los ¿qué dijimos aquí?,
a los 3.66 minutos el tanque completamente quedó vacío, okay.
Vean ustedes estos gráficos, vean ustedes que si ahorita, si ustedes
han fabricado esta imagen pueden volver a derivar y ¿qué van a encontrar?,
van a encontrar aquí una recta que cruza,
vean como todas las cosas se relacionan donde
esta recta cruzó, aquí estuvo un máximo, donde
esta parábola cruzó, aquí estuvo arriba el máximo, no.
Aquí era positiva esta recta y acá el gráfico crecía,
en esta zona siempre es positiva la parábola y en toda esa zona el gráfico
del nivel siempre crece, todos esos resultados que
hemos visto se siguen cumpliendo en esta imagen.
Yo los invito a recordarlos, entonces esos resultados,
los invito también a que vayan un ratito a
internet, busquen una ecuación cúbica, resolver una ecuación
cúbica, fórmula general para resolver una ecuación cúbica, ¿okay?
Y nos vemos en el próximo video
donde retomaremos esa información y trabajaremos un
poco más con tanques y con ecuaciones cúbicas.
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