Regresamos entonces ahora a contestar finalmente cuando se va a vaciar el tanque. Bueno esa era la pregunta que teníamos en nuestra mente, vamos a relacionarlo con lo gráfico, vamos a relacionarlo con lo algebraico, veamos que cuestiones vamos a tener que entender para poderlo resolver, para poderlo contestar. Si ustedes me acompañan en la pantalla, you tenemos aquí nuestro gráfico como lo teníamos anteriormente y ahorita realmente contestar esta pregunta visualmente es venirnos por aquí, ahí va el nivel subiendo, llego a un máximo luego empieza a bajar, y llegar acá ustedes me dirían, pues ahí está la respuesta, no. Este mismo Graphmática me lo está dando por que you me está dando ahí un lugar con unas coordenadas en donde yo puedo voltear hacia la izquierada aquí abajo, vean aquí abajo y entonces me pongo en ese punto y you se que es un ¿qué? es un 3.66, es lo que estoy viendo yo, puede ser por ahí, es una aproximación ciertamente, no. Pero, vayamos un poquito más allá nosotros, tratando de ver, de usar, la matemática en la solución de este problema. Entonces, ahorita me gustaría que retomáramos acá para escribir las cosas, yo tengo escrita cual es la función, la función que estamos estudiando que es 15 más 2x más 2x cuadrada menos x cúbica, y ahora con esta hoja vamos a tratar de hacer todas las operaciones que sean necesarias, ¿no? Cuando yo estoy haciéndome la pregunta de que el nivel, acuérdense de que ahorita el nivel es y, en que instante, el instante es x, yo quiero saber cuando el nivel es cero. Lo que estoy haciendo es proponiendo una igualación con cero, ¿no? Estoy haciendo estoy, okay. Esto es lo que gráficamente veíamos como el punto donde corta con el eje de las x, entonces en este momento reacomodando estas cosas un poquito nos queda algo así: menos x cúbica más 2x cuadrada más 2x más15 igual con cero, ¿okay? Entonces estamos ante la presencia de ¿qué? ¿qué nombre le pondremos a esta expresión matemática? pues es una ecuación por que está igualada a cero, y como el exponente es 3, sería una ecuación cúbica, ¿no? Vamos a ponerle aquí el nombre es una ecuación cúbica y entonces contestar nuestra pregunta sería tener que resolver una ecuación cúbica, ¿no? ¿Cómo se resuelve una ecuación cúbica, no? ese es ahorita nuestro problema. ¿Cómo resolver esta ecuación cúbica? Realmente el problema de la solución de una ecuación cúbica en términos como lo estamos esperando, es un problema que a la matemática le llevó bastante tiempo poder resolver, si yo ahorita les recuerdo la ecuación cuadrática, se acuerdan hace rato en el curso tendríamos que resolver cosas así ax cuadrada más bx más c igual a cero, de hecho lo hemos resuelto, para contestar otras preguntas en nuestro problema del tanque con las tres llaves. Bueno aquí esto tiene una fórmula general para resolverse que es menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrada menos 4ac entre 2a, esta fórmula es como el despeje de la x de la ecuación cuadrática y vean como tenemos esta fórmula en términos de operaciones elementales con las letras a, b y c que son los coeficientes en la ecuación, o sea, tenemos la ventaja de tener una expresión digamos matemática en términos de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, sacar radicales, potencias, ¿no? Todas son operaciones aritméticas y tenemos una expresión matemática que me dice primero multiplica esto, después elévalo al cuadrado, luego quítale tanto, luego divídelo entre tanto, luego sácale la raíz, cuestiones como esas es tener una fórmula general, entonces en mucho tiempo se estuvo buscando una fórmula general para resolver a la ecuación cúbica, y la mera verdad, este problema como muchas veces ocurre en matemáticas, es un problema, digamos de corte matemático, pero que va a dar lugar a todo un desarrollo en la matemática que vale la pena, que se haya hecho. La respuesta si se tuvo, si se tuvo en 1500, ahorita lo vamos a ver con la computadora y un poquito de internet, pero me gustaría hacer algunas aclaraciones ahorita con respecto a lo que estamos manejando acá del tanque, miren yo puedo estar segura de que las soluciones de esta ecuación cúbica son tres, así de fácil, son tres: tengo el exponente máximo tres, son tres soluciones pero claro decir este tres no es tan fácil como decir, a pues si ahí está un tres pues entonces son tres, lo que pasa es que matemáticamente se tuvo que pensar en esas soluciones dentro de un campo de números, no. Y entonces, a lo que se llegó es que, si me quedo nada más con los números racionales no lo voy a lograr, metemos a los irracionales, entonces me quedo con el campo de los números reales, si yo me quedo solamente con el campo de los números reales, y quiero que cualquier ecuación cúbica tenga solución, no lo voy a lograr, ¿okay? De hecho ni las cuadráticas, no, ¿qué es lo que se necesitó ampliar en el concepto de número para que cualquier ecuación cuadrática tenga solución y cúbica y de cualquier grado? Se tuvo que hablar de esa ampliación que son los números complejos, no, con una parte real y una parte imaginaria entonces esos nuevos números hagan de cuenta que es esa ampliación que fue necesaria, fue el horizonte de los números que fue suficiente, para poder establecer un resultado, tan fundamental que se llama Teorema Fundamental del Álgebra, si, en ese teorema se está asegurando la existencia de tres soluciones para una ecuación cúbica, pero tres soluciones en donde, en el conjunto de los números complejos, no, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, se puede escribir así: a más ib, donde a y b son números reales, no. Claro, que si la letra b es cero, pues entonces me quedan todos los reales, se fijan en ese sentido, entonces los números reales, aquí están los complejos, no. Los números reales, estarían contenidos en cierta forma en el conjunto de los números complejos, son una parte de ellos, los complejos donde la parte imaginaria es cero, como si yo lo quitara de aquí esto, no. Entonces, por eso les digo que es como una ampliación, la considero un más, no, tomando las partes imaginarias y ahora sí se puede demostrar en la teoría un resultado que se llama Teorema Fundamental del Álgebra, en nuestras teorías en las ramas de la matemática siempre aparecen este tipo de teoremas, también tenemos nuestro teorema fundamental del cálculo sobre el cual estamos descansando cuando hemos hecho este discurso, está la didáctica en este curso. Entonces este Teorema Fundamental del Álgebra es tan simple, se oye tan simple como decir ecuación cúbica, tres soluciones, claro pero hay que decir tres soluciones que pueden ser complejas, y dentro de las complejas pueden ser reales, y dentro de las reales pueden ser racionales o irracionales, ¿okay? Esta ecuación que ustedes tienen aquí, hay una manera, hay un teorema que me permite decidir si tienen soluciones los números racionales o no las tienen, acuérdense que el conjunto de los números racionales son el cociente de números enteros, donde claro, la b no sea cero, no se vale esto que sea cero, ¿okay? Entonces los primeros números con los que nosotros pensaríamos hay ojalá que las soluciones sean números racionales, serían esas no, o sea, pensar que tal, bueno es más uno quisiera que hasta fuera enteros, no. Claro pero esas son ecuaciones muy muy preparaditas. El teorema del que les estoy hablando me dice, en que conjunto de números yo puedo encontrar las soluciones de esta ecuación, mientras sean soluciones racionales, no, o sea, mientras sean enteros o cocientes de enteros, ¿okay? Para eso lo único que hay que hacer es lo siguiente, les voy a decir ese teorema, pero en términos muy mundanos digamos aplicado aquí en esta ecuación, el coeficiente que está aquí detrás de x cúbica es un 1, un menos 1, ¿okay? y yo puedo pensar en los factores, los divisores del menos 1, que son el 1 y el menos 1, nada más los que dividen al 1, si. Acá tengo el último coeficiente que es un 15, y en este 15, también puedo pensar en sus factores, en sus divisores, ¿a qué me estoy refiriendo? A que ahorita podría pensar en el número 3, por que 15 entre 3 da 5, en el número 5 por que 15 entre 5 da 3, no puedo pensar en el número 2 por que 15 entre 2 no me va a dar un entero, en ese sentido el 2 no es un factor, finalmente aquí también podríamos poner el 15, y obviamente, siempre el 1 va a ser un divisor, ¿okay? del 15 también. Entonces cuando se tienen estos factores para el número 15, para el coeficiente solo, y los factores para el coeficiente de x cúbica, lo que se construye es un conjunto en el cual pueden estar las soluciones que son racionales, el conjunto se forma con los números p entre q, digamos donde estos van a ser los p y estos van a ser los q, o sea, forma un conjunto, vamos a ponerlo aquí el conjunto donde tomo uno de estos, uno y lo divido entre uno de estos y entonces me queda el 1, también me queda 1 entre menos1, también me queda el 3 entre el 1 que es el 3, luego también me queda el 3 entre el menos1, menos 3. Luego el 5, el menos 5, ¿y cuál otro? el 15, y el menos 15, ¿okay? Entonces en este conjunto, ahí van a estar las soluciones de esta ecuación, si esas soluciones son racionales. En este momento, fíjense, vámonos a la computadora y veamos esos números dentro del gráfico y tratemos de interpretarlo, si ustedes están viendo ahorita en la pantalla, esta curva azul, vean el lugar que andamos buscando está aquí, está entre 3 y 4, cierto. Y entonces, recordemos ¿habrá un número entre el 3 y 4 de la lista que tuvimos acá?, no lo hay, ni el 1, el 3, ni el 5, ni el 15, se fijan, entonces en ese sentido, yo podría estar seguro ahorita de que entre los que están aquí no hay solución, me estoy ayudando de la tecnología, entonces ninguno de estos es, eso quiere decir que esa ecuación que estábamos tratando de resolver no tiene soluciones racionales, ¿y entonces? si no tiene soluciones racionales no nos queda otra más que sean irracionales, o sea, ese número que estamos viendo aquí en la pantalla, este que está aquí si, que la Graphmática nos lo da con una aproximación decimal, de 2 decimales, si, realmente es un número irracional, ¿okay? Entonces encontrarlo va a ser más difícil, ¿no? ¿Porqué? Por que un número irracional tiene infinitas decimales, no. Y es más, decimales no períodicas. Seríamos afortunados en encontrar que ese número tuviera involucrado ahí un radical de 5, raíz de 10 como hace rato, que veíamos en el otro video, pero no estamos seguro de ello. Entonces, ¿qué es lo que voy a hacer en este momento con ustedes? en este momento, para esta situación, de encontrar este lugar en que el tanque se vació, vamos a tomar lo que la tecnología nos ofrece, esta tecnología que incluso me acuerdo que ahorita que hicimos aquí en el menú de cálculo nos encontró los puntos críticos y nos dio un cero en 3.6635, se fijan ese número es una aproximación del número irracional que es la solución aquí, no, sobre el eje de las x, ¿okay? Vamos a quedarnos con esa aproximación, que sería un 3.6635 y pensemos entonces que a los 3.6635 minutos el tanque se vació, okay. Entonces podríamos concretar nuestra historia del tanque completamente tomando en cuenta esa información aproximada, me van a decir y ¿qué vamos a hacer con la ecuación cúbica? no se desesperen, probablemente ahorita tengan la curiosidad, yo los invito a que busquemos un poquito en internet para que en nuestro siguiente video podamos entender todas las complicaciones que trae consigo el resolver una ecuación cúbica, acabamos entonces con nuestra historia ahorita del tanque, no. ¿Qué pasó con el tanque en esta situación que estábamos viendo? Podemos decir, si vemos el gráfico, que este tanque estaba en un nivel inicial de ¿qué dijimos? de 15, y el tanque estaba aumentando su nivel, de una manera cada vez más rápida, fíjense en donde voy en el cursor, hasta que llegaron los 2 tercios de minuto, y llegó a un cierto nivel que ahorita Graphmática me lo podría decir, si me pongo aquí, este nivel más o menos es de, 17.4 digamos, 17.25 centímetros, y después va a seguir subiendo el nivel cada vez más lento, hasta que aquí que sería 1 punto, ¿se acuerdan en que valor estábamos por aquí? el .79 y algo, ¡ah! aquí está con nuestra calculadora sí: el 1.72 perdonen, el 1.72. Llegamos a un nivel máximo y después el nivel comenzó a bajar y bajar, y a bajar cada vez más rápido, hasta que a los ¿qué dijimos aquí?, a los 3.66 minutos el tanque completamente quedó vacío, okay. Vean ustedes estos gráficos, vean ustedes que si ahorita, si ustedes han fabricado esta imagen pueden volver a derivar y ¿qué van a encontrar?, van a encontrar aquí una recta que cruza, vean como todas las cosas se relacionan donde esta recta cruzó, aquí estuvo un máximo, donde esta parábola cruzó, aquí estuvo arriba el máximo, no. Aquí era positiva esta recta y acá el gráfico crecía, en esta zona siempre es positiva la parábola y en toda esa zona el gráfico del nivel siempre crece, todos esos resultados que hemos visto se siguen cumpliendo en esta imagen. Yo los invito a recordarlos, entonces esos resultados, los invito también a que vayan un ratito a internet, busquen una ecuación cúbica, resolver una ecuación cúbica, fórmula general para resolver una ecuación cúbica, ¿okay? Y nos vemos en el próximo video donde retomaremos esa información y trabajaremos un poco más con tanques y con ecuaciones cúbicas.
