Pues lo prometido es deuda, quedamos en que íbamos a seguir derivando y vamos a seguir derivando. Me gustaría antes de seguir con el ejercicio que nos quedamos, hacer un ligero recordatorio con unas tarjetas que pudieran ser un buen recurso ¿no? para este tipo de habilidad algorítmica en el obtener derivadas, entonces si me acompañan al papel quisiera de que antes de retomar las cosas veamos aquí lo que vamos a escribir ¿si? Entonces yo tengo aquí tres tarjetas, voy a tratar de utilizar distintos colores y entonces veamos aquí en estas tres tarjetas todo el conocimiento que de alguna manera ahorita estamos aplicando, entonces uno de los conocimientos es que que cuando tengamos una función ¿no? mi función se va a llamar "y" lo bautizamos con la letra "y", pero esta función que depende de x es el producto de una función f por una función g, o sea, que estoy diciendo que tengo una fórmula multiplicada por otra fórmula ¿no? entonces para derivar esta función que se compone digamos de esta multiplicación lo que necesitamos es aplicar la regla del producto. . Porque aquí hay un producto de función, no se escribe nada entre estas dos simbologías de función eso estas viendo f de x por g de x, entonces al multiplicar aquí queremos derivar tendríamos que hacer lo siguiente, lo que vamos a poner, la primera fórmula, copio la primera fórmula, derivo la segunda fórmula y se la pongo ¿no? multiplicando a la primera más copio la segunda fórmula y derivo la primera fórmula multiplicándola por la segunda fórmula, o sea, vean como se forman dos términos en la derivada. La diferencia entre estos dos renglones, es que aquí es función, aquí es derivada y sabemos que son objetos completamente distintos ¿de acuerdo? Esta es la magnitud que estoy estudiando, esto representa su razón de cambio. Si esta es la posición de una partícula que depende de x que es tiempo, esto viene siendo la velocidad ¿no? de la partícula. La fórmula del producto tiene dos términos vean se los voy a poner así para que lo recuerden, es una forma de tener presente en nuestra cabeza algo que deberemos de conocer. Esta es la regla del producto, vamos a ponerle aquí regla del producto, ¿okay? Por otro lado, tenemos acá, vamos a ponerle esta de este lado, tenemos acá otra regla que también la acompaña, que es la regla del cociente ¿no? entonces aquí escribiríamos, si tenemos que la función ''y'' es una fórmula arriba en el numerador y una fórmula abajo en el denominador, entonces cuando la derivemos a esta función que tiene la división de dos fórmulas, lo que haremos es poner la fórmula que está en el denominador por la derivada de la fórmula que está en el numerador, menos la fórmula en el numerador, por la derivada de la fórmula en el denominador, y todo esto, por si fuera poco entre el denominador al cuadrado ¿no? Entonces vean ahorita otra vez en esta formación, o sea, todo lo algebraico también es visual ¿no? Comienzo con el de abajo multiplico por la derivada del que está arriba, resta ¿no?, luego sigue el de arriba, por la derivada del que está abajo y todo entre el de abajo al cuadrado ¿no? Tenemos esta regla que es es la regla del, para derivar el cociente ¿no? estoy abreviando aquí no más le ponemos regla cociente ¿okay? Por otro lado, la tercera de nuestras expresiones ¿no? que estamos aplicando ahorita es la regla de la cadena que tiene que ver con que uno haga una composición de funciones, ¿A qué me refiero con esto? O sea, puede ser lo voy a escribir en un lenguaje muy coloquial ¿okay? O sea, la idea que yo les he transmitido sobre este tipo de función, es una caso ¿no? particular de composición de funciones, cuando uno tiene una fórmula, voy a ponerle aquí primero así una fórmula que está elevada a una potencia n ¿okay? o sea, piensen ahorita en esta palabra fórmula como si fuera una expresión x cuadrada más uno, x cúbica menos cinco x cuadrada más dos x, cosas así es una f de x ¿no? o sea, matemáticamente debería de yo haberles puesto eh, una f de x a la n ¿okay? Pero quería ponerle esta expresión para que recordemos ¿no? la regla de la cadena cuando decimos que la derivada va a ser igual a ¿que? Que quedamos bajamos el exponente ¿no? dejamos la fórmula que teníamos pero al exponente le quitamos uno ¿okay? y multiplicamos por la derivada de la fórmula, o sea, este multiplicar por ¿si? eso es lo que a uno le dice ahí está la regla de la cadena ¿okay? Entonces tenemos tres tarjetas, tres reglas de derivación y con estas tres reglas ¿no? vamos a trabajar, ahora yo quería ponérselos así en tarjetas porque, esto quiero que se simule como lo que pasa en nuestro pensamiento ¿eh? Yo puedo tener el conocimiento de aquí, el conocimiento de acá y el de acá pero otra cosa es luego, cuando estoy ante un ejercicio de derivación saber cuál de ellas es la que tengo que poner, qué usar. De hecho, estamos trabajando ahora con ejercicios en donde se combinan las reglas de derivación, entonces en ese sentido nuestra cabeza incluso tiene que decir, ¿cuál es la primera que se tiene que aplicar? y ¿cuándo viene aplicarse la segunda? y todo eso créanme tiene que ver con la forma ¿no? la forma que tiene la expresión que estamos por derivar. ¿okay? Estos ejercicios de derivación ustedes me dirían bueno, ahorita en la actualidad la tecnología hace mucho al respecto, ¿no? es ciertamente, eso nos da la facilidad de que no solamente sea esto en lo que descansa o en lo que tiene que ver con nuestro discurso del cálculo sino que, sea más bien el significado, en las aplicaciones de lo que podemos hacer, sabiendo que siempre tendremos el recurso de la tecnología para derivar, más sin embargo, créanme que en el uso de estas tres tarjetas en mi mente ¿no? y acomodarlo y organizarlo para la solución de una derivada en eso también hay un desarrollo ¿no? en nuestro pensamiento, o sea, estoy viendo esto ahorita como un campo en donde podemos ponernos a trabajar intelectualmente y eso nos va a desarrollar intelectualmente. Entonces en ese sentido me gustaría ahora si retomar el ejercicio en donde estábamos en el video anterior. Eh, ahorita yo voy a ponerles en la pantalla lo que teníamos al respecto ¿si? mientras la paso para acá, teníamos algo así lleno también de color ¿no? como pueden ver, habíamos estado derivando esta función, con la regla de la cadena, porque allí esta la fórmula elevada a la potencia n y este factor un quinto siempre queda multiplicándose; luego derivamos esta otra, donde tenemos un producto de funciones entonces usamos la regla del producto, y este número dos que esta multiplicando a todo siempre apareció ¿no? luego derivamos que un cociente de funciones vean aquí hay la raya de división, aplicamos nuestra regla del cociente y las cosas salieron bien aquí se cancelaron muy bonito ¿no? las cosas, y estábamos trabajando también con combinaciones entre las reglas, aquí por ejemplo tendríamos una u al cuadrado esto es lo mismo que les decía ahora en la tarjeta es una fórmula elevada al cuadrado, entonces al derivar tuvimos que usar la regla de la cadena bajar el dos, dejar la fórmula, y luego derivar la fórmula y al derivar esta fórmula inevitablemente la regla del cociente tuvo que aparecer. Finalmente, aquí hicimos una comparación con el software Wolfram Alpha ¿se acuerdan? porque vimos que nos daba la respuesta distinta igual esto es bueno de observarse ahorita que les estaba haciendo nuestro comentario ¿no? acerca de que, pues ahorita la tecnología sabe derivar y nos puede dar la derivada pero también nos puede dar sorpresas en la en forma en cómo nos expresa esa derivada. Nos quedamos en este último ejercicio número ocho, vean ustedes aquí es x cuadrado más a cuadrado al cuadrado, por x cuadrado menos a cuadrado a la cuarta, yo misma ahorita dije un por ¿se fijan? aquí tengo el producto de dos funciones, pero al momento de aplicar la regla del producto, que digamos el primero por la derivada del segundo, aquí apareció regla de la cadena ¿no? la regla, ¿Por qué? porque esta una fórmula elevada a la potencia cuatro. Entonces al derivarla tengo que poner el cuatro, por la función al cubo por dos x, y no hemos acabado porque luego sigue por la regla del producto, el segundo por la derivada del primero, y vuelve a aparecer la regla de la cadena. Aquí en este momento ¿si? en este momento, que tenemos esta expresión vean ustedes la expresión, me voy a permitir escribírselas pero en un solo reglón, porque you ven que ahí quedo en dos renglones, yo quisiera que la viéramos en un solo renglón, ahorita a esta expresión, vamos a tratar de que quepa ¿no? tendríamos un término que es un ocho x, por un x cuadrada más a cuadrada al cuadrado, por un x cuadrada menos a cuadrada al cubo, luego seguiría más un cuatro x, por x cuadrada más a cuadrada, y por x cuadrada menos a cuadrada a la cuarta. ¿okay? les decía, ¿no? de que esta expresión bueno pues you, you acabe de derivar ¿no? pero esa expresión desde el punto de vista algebraico es complicada, y también desde el punto de vista del cálculo les voy a decir por qué, porque realmente en cálculo hemos visto la importancia de que la derivada se iguale a cero para poder encontrar ahí los valores máximos y mínimos de nuestra función, que significa máximos y mínimos de la magnitud que estamos estudiando, entonces al igualar esto a cero, imagínense que aquí igualo a cero, todo esta cosa igualada a cero, está como que no se ni para donde hacerme ¿de acuerdo? Lo más simple en estos casos de igualación a cero es que uno tenga la expresiones así fíjense, producto, producto, producto, porque cuando no tiene productos ¿no? y eso esta igual a cero ¿no? entonces lo que uno puede hacer es igualar a cero cada uno de esos factores ¿no? que se están multiplicando, estos no son productos en el sentido que les digo ¿Por qué? por culpa de este más, este más que esta aquí les esta haciendo una separación de dos términos ¿de acuerdo? esta separación de más me hace las cosas difíciles ¿no? entonces vamos a intentar desde un punto de vista algebraico ¿no? simplificarlo, ¿de acuerdo? La manera de simplificarlo va a ser con una factorización, y la palabra factorización, volvió a aparecer ¿no? vuelve a aparecer, quiero factorizar. ¿Qué quiero decir yo con factorizar? Fíjense, factorizar es algo que yo diría lo aprendemos pero al revés, ¿Por qué les digo esto? Porque es, es típico que desde el álgebra sepamos nosotros que a por b más c, a que es igual, a a por c, a por b perdón, más a por c ¿cierto? se me movió vamos a traérnosla ¿no? más a por c ¿de acuerdo? o sea, tengo esta la llamamos ley distributiva ¿recuerdan? a por b más a por c, entonces aquí cognitivamente, mi acción de lectura va de izquierda a derecha entonces yo digo a por b más a por c y compruebo esto de acá, pero cuando factorizamos lo que estamos haciendo es esto al revés, o sea, lo que uno ve a por b más a por c, y tiene que ser capaz de llegar a a por b más c, ¿okay? en ese sentido es al revés y la acción cognitiva es diferente, necesito ver dos términos que están separados por un más y se los estoy reteniendo este más porque, porque es como este más ¿eh? o sea, tiene la misma dificultad digamos, y aquí en estos dos términos que se están multiplicando el que es un factor común es la a, entonces por eso es que esta a es la que se arrastra hasta el principio, se pone un paréntesis y si luego se pone b más c, para que a por b, más a por c, realmente nos de ab más ac. ¿Okay? en ese sentido les estoy diciendo cómo que lo aprendimos al revés. Necesitamos ahora eh, no sé o sea, desarrollar un poquito esta habilidad de observar las expresiones algebraicas y reconocer en ellas cosas como ésta ¿si? Entonces al menos ahorita por lo retenida de mi más, you les hice que relacionaran con mi más de acá ¿no? ¿cierto? Entonces todo esto que está aquí, es como si fuera el ab y todo esto que está aquí es como si fuera el ac, pero lo que tenemos que hacer con ellos es encontrar lo que es común, encontrar factores comunes y entonces a eso vamos ahorita ¿si? Vean ustedes voy a cambiar aquí el color o sea, aquí tengo un número ocho y aquí tengo un número cuatro ¿si?, si de esos dos números yo dijera, ¿qué es lo común?, ¿Qué tienen en común? Pues podría pensar en el número cuatro, porque el número cuatro si lo multiplico por dos me va a dar ocho, y por uno me va a dar el cuatro, o sea, estoy avanzando en esa famosa "a", que voy a tener que sacar ¿no? hasta el principio de la expresión,¿okay?, entonces ese cuatro lo vamos a sacar ahora veamos aquí tenemos una x y acá tenemos otra x entonces también en la letra a que esta aquí ¿no? podríamos meter esa x de una vez ¿okay? . Por otra parte tenemos aquí el termino x cuadrada más a cuadrada, aquí está al cuadrado y aquí está a la uno, entonces, ¿qué vamos a hacer? Vamos a poner x cuadrada más a cuadrada, a la uno ¿no? porque eso si lo multiplicamos por el mismo nos va a volver a quedar x cuadrada más a cuadrada, al cuadrado ¿no? Por último, x cuadrada menos a cuadrada al cubo, aquí x cuadrada menos a cuadrada a la cuarta, lo que podemos sacar como un factor común es x cuadrada menos a cuadrada al cubo, y entonces ahora si you estamos listos por poner este otro paréntesis, este paréntesis que se lo estoy poniendo en azul es como este ¿eh? como este de acá, o sea, you sacamos todo lo que es la a todo esto va a ser la a, ahora vamos a ver que nos falta ponerle aquí, para que cuando se multiplique esto por esto nos quede este término que está acá arriba ¿no? el que les estoy tratando aquí de circular, entonces para eso tendríamos que poner un dos, para que el cuatro por dos del ocho you la x no la ponemos, este factor tendríamos que ponerlo una vez ¿verdad? y you este you no lo ponemos aquí esta, acabamos con la primera parte o sea, hagan de cuenta que you hicimos la letra b, esta you luego seguiría más, o sea ahora, ¿qué ponemos aquí? para que cuando multipliquemos la a por la c nos queda c, o sea, para que cuando multipliquemos esto por lo que pongamos aquí, nos quede justo lo que está acá arriba, y entonces se darán cuenta ustedes que lo único que falta es un x cuadrada menos a cuadrada ¿no? porque you está aquí al cubo y con este nos va a quedar a la cuarta, ¿okay? Entonces hemos hecho este paréntesis de acá, esta operación es muy sencilla, no hay más que repartir dos x cuadrada, vamos a ponerlo aquí abajo, dos x cuadrada más dos a cuadrada más x cuadrada menos a cuadrada ¿se fijan? y entonces vamos a poder expresar aquí como el producto de cuatro x por x cuadrada más a cuadrada por x cuadrada menos a cuadrada al cubo y por, por dos x cuadrada más x cuadrada es tres x cuadrada, más dos a cuadrada menos a cuadrada nos va a quedar más a cuadrada ¿no? Entonces el resultado que nos quedó finalmente, es este de aquí ¿okay? Yo me permití ahorita, antes ¿no? ir a Wolfram Alpha teclear nuestra función, ésta que está aquí ¿no? y decirle que la derive y ahorita les voy a enseñar su respuesta. Aquí tenemos la respuesta ¿no? de esta función, le pusimos el parámetro ¿no? se fijan el parámetro y aquí hay que ser este consientes de que, Wolfram Alpha ahorita no tenía, vamos a verla arriba, no tenía la manera de distinguir si la función depende de la variable x o de la variable a. Como metimos a como un parámetro, nosotros entonces si tenemos esta facilidad porque aquí tenemos nuestra función que depende de x ¿okay? Sabemos que la variable es x, bueno pero independientemente de eso eh, Wolfram Alpha nos dio una derivada parcial, por eso esta notación un poquito distinta pero vean la expresión aquí, cuatro x, cuatro x, x cuadrada más a cuadrada, aquí esta a cuadrada más x cuadrada, no más lo puso al revés conmutó, luego acá tiene x cuadrada menos a cuadrada al cubo, nosotros también lo tenemos y el término x cuadrada más a cuadrada lo puso nada más conmutado, o sea, que hasta ahorita podemos decir nosotros que hicimos las cosas bien ¿no? you lo comprobamos con Wolfram Alpha, observamos como Wolfram Alpha también maneja esto de las derivadas parciales por qué, Wolfram Alpha no podía checar ¿no?, que se trataba de un parámetro en la letra a, pero igual nos sirve ¿no?, el usarlo para poder comprobar nuestra solución. ¿Qué fue lo que hicimos finalmente? Acomodarla así, como les decía, ¿se fijan? producto, producto, producto y esto para tener lista la expresión para que al igualar a cero lleguemos rápidamente a encontrar dónde están máximos y mínimos de esa función. Pero los espero en el próximo video dónde seguiremos combinando las reglas de derivación.
