Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Mitades de parábola, círculo y elipse
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4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Consejos algebraicos sobre derivadas y gráficas clásicas
Hablaremos del proceso algebraico de cálculo de derivadas y de las complicaciones a que da lugar con el fin de minimizar dificultades seguiendo los consejos planteados. Hablaremos además de modelos matemáticos clásicos cuya gráfica se asocia con curvas clásicas como parábolas, círculos y elipses.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues continuemos con estos gráficos, vamos a
mover los gráficos hablando de movimiento no?
también con nuestra iPad y el software y tratemos de conectar
con lo algebráico, esa es una gran intención que hemos tenido
con ustedes de poder hacer esas conexiones entre lo algebráico y
lo gráfico, bien entonces si me acompañan ahorita tomé el otro
modelo, el modelo que hemos llamado y igual a la raíz de x, ¿cierto?
que decíamos es una mitad de parábola cuando lo escribí aquí
en la iPad tuve que poner, bueno puse el radical, ¿eh?
pero me escribieron "sqrt" vean ustedes la diferencia con el azul,
con el azul solo metí un signo negativo dentro del radical ¿eh?
y no me vayan a decir que entonces no va a salir nada porque
tomen en cuenta de que esto no quiere decir que lo que está dentro
del radical sea negativo esta x deberá de tomar valores negativos para que
con este negativo se hagan positivos igual en el caso de la verde, lo
que hicimos fue meter un signo negativo pero detrás de todo el radical
y en la morada tomamos los dos casos, detrás del radical y dentro ¿no?
y esto para nada es lo mismito que tengo acá, ¿eh?
no crean que aquí uno puede decir menos por menos da más, osea estos
menos están atrapados digamos dentro del radical son cosas que también
tienen que ver con esta simbología matemática que es importante que ustedes
controlen, entonces tengo dos, cuatro objetos
perdón, diferentes los cuatro están aquí
metidos en el software y les voy a mostrar las gráficas ¿no?
Aquí están ¿no?
Aquí nos está diciendo de que no nos puso
los valores complejos, ciertamente o sea, no tomo en cuenta
digamos estamos en el plano real ahorita y
entonces ustedes pueden distinguir entre los colores espero,
que aquí tengo un gráfico rojo para y igual a la raíz de x este gráfico
verde es y igual a menos raíz de x y podemos asociar que este signo negativo
lo único que hizo fue como que reflejar la gráfica con respecto al eje x ¿no?
todo esto que estaba arriba se vino para abajo ¿okay?
en el caso de tener y igual a raíz de menos
x, vean ustedes como las x tuvieron que ser negativas
y entonces si con valores negativos de x se puede
tomar un valor positivo de menos x y al radical
da un número real que se están graficando acá arriba ¿no?
vean como es una gráfica digamos que es
simétrica con respecto a la roja solamente que está
reflejada con respecto al eje vertical es como si esta de aquí la viera en un espejo
y entonces la proyecto acá ¿no?
y esto el efecto fue este signo
negativo, inocente signo negativo dentro del radical ¿okay?
Finalmente acá tenemos ambos casos y entonces estaríamos hablando
de una reflexión de lo que tengo arriba ¿no?
entonces puedo pensar que esto lo reflejo y me queda acá, vean la
figura tan bonita, nos quedaron las cuatro mitades de parábola aquí se completó ¿no?
la que se abre hacia la derecha
y la que se abre hacia la izquierda bien, con ellas lo que quería yo nada más es que
probáramos algunas de las cosas que hemos visto y you
con el caso del recíproco de x por ejemplo ¿no?,
qué tal si nos proponemos que este gráfico, ¿no?
que este gráfico se acerque al eje, yo quisiera que estuviera más acá ¿no?
No, no voy a rayar la iPad ahorita, quiero hacerlo
así que se venga más hacia abajo entonces en el
uno no valdría uno ¿no?
Por ejemplo diríamos que en uno valga un medio y eso sugiere ¿no?
you que pudieramos nosotros you proponer aquí y igual a un medio de raíz de x ¿no?
o raíz de x entre dos, es lo mismo entonces podríamos afectar esto ¿no?
en la expresión algebráica pongámonos de acuerdo qué hacer con la verde...
podríamos decir que la verde haga un
movimiento, una traslación digamos a la izquierda ¿si?
Si yo quiero que se traslade a la izquierda ¿qué es lo que hacíamos con x?
Le sumamos algo positivo ¿no?
entonces que les parece si ponemos aquí y igual a menos raíz de x más uno ¿okay?
Entonces lo que haríamos ahí es
trasladarlo una unidad hacia la izquierda ¿okay?
Por otro lado, ¿qué haremos con la azul?
en esta azul podríamos proponernos que se traslade a la derecha, ¿cierto?
al hacer una traslación hacia la derecha, lo que
tengo que hacer es a la x restarle uno, ¿recuerdan?
Entonces esa resta de uno aquí en esta expresión hay que tener cuidado porque
porque tengo un negativo aquí entonces como que necesito ver ese
negativo detrás y pensar a x le quito uno ¿si?
Ese a x le quito uno ¿si?
estaríamos digamos encerrado ¿no?
en su paréntesis para decir aquí voy a provocar una traslación a la derecha ¿no?
y este menos se quedó desde antes allí ¿okay?
Finalmente, si les parece a esta última gráfica, la morada ¿qué hacemos?
Mejor no
le hacemos nada para dejarla como evidencia de lo que era al principio ¿no?
el tipo de gráfica que teníamos ¿si? Entonces vámonos
a las ecuaciones y tratemos de hacerlo rapidito ¿no?
por ejemplo aquí en "sqrt" ¿qué le vamos a decir?
Bueno, nos vamos a poner antes de él y vamos a ponerle un medio ¿no?
vamos a ponerle un punto cinco para economizar, lo salvamos ¿si?
you hice este un medio por raíz de x en este
caso de acá que teníamos el azul, lo que dijimos fue vamos
a meter un paréntesis, entonces vámonos aquí, metemos nuestro
paréntesis y le ponemos you a nuestra x que tenemos ahí le quitamos uno ¿no?
menos uno, cerramos el paréntesis y you quedó lo que tengo yo aquí ¿no?
menos x menos uno, okay, lo salvamos
y luego en el caso de la verde, ¿qué vamos a hacer?
En este caso le vamos a sumar uno dentro del radical a la x ¿no?
Entonces a esta x le sumamos uno ¿no?
Y entonces lo salvamos ¿okay?
Y a la morada no le hacemos nada y vámonos a los gráficos, ¿qué fue lo que pasó?
Veamos el gráfico rojo, en este gráfico rojo podemos constatar que realmente
si se aplastó, compárenlo con la apertura de la
morada que la dejamos igual se aplastó este gráfico
rojo como esperábamos por este factor un medio si
hubiéramos puesto un dos entonces se hubiera digamos agrandado ¿no?,
¿de acuerdo?,
se hubiera alejado del eje, en el caso de la verde ¿qué queríamos?
que se moviera una unidad hacia la izquierda, podemos comprobar ¿se acuerdan?
Estaba aquí, se movió una unidad a la izquierda
ahí está lo que esperábamos ¿okay?
en el caso del gráfico azul aquí restamos uno a la x lo que nos dice, me muevo a la
derecha se fijan aquí esta la comprobación de que realmente el gráfico azul
original sufrió una traslación hacia la derecha de
una unidad por este signo menos 1, negativo uno
que se está agregando a x y el
morado, bueno pues ese morado lo dejamos igual ¿no?
Entonces con lo que estamos haciendo ¿si? you podríamos nosotros hacer el juego,
digamos combinando las cosas, qué les parece si tomamos el morado para eso ¿no?,
podríamos decirle en este gráfico morado you con este
signo negativo va a haber una reflexión con respecto al
eje x este negativo you me está hablando de una
reflexión con respecto al eje y, y bueno podríamos ponernos
aquí antes antes de este signo digo después
de este signo negativo y ponerle un dos ¿no?
o sea ahora vamos a provocar quei el gráfico
se abra en lugar de que se encoja ¿no?
como en el caso del un medio ¿okay?
Ahora en el caso de acá dentro del radical yo diría bueno,
pues como tiene su signo negativo tengamos la precaución de meter un paréntesis
y entonces nos movemos y le decimos que
se mueva hacia donde quieren, si quieren que se
mueva hacia la derecha, entonces a la x le
quitamos algo positivo y si queremos que se mueva
a la izquierda a la x le sumamos algo
vamos a sumarle algo, que tanto algo, vamos a
sumarle un uno punto cinco, un punto cinco también,
un punto cinco para distinguir las mitades ahí ¿no?
Entonces you necesitaría meter un paréntesis más o algo así ¿no?
para que no nos quede incompleta
la expresión entonces ¿qué estamos provocando?
Que el gráfico se abra, que aparte sea una forma
de las que sea reflejada con respecto a x y con
respecto a y, y a parte de eso está trasladada
punto cinco hacia la izquierda y entonces you introducida nuestra expresión,
entonces la salvamos y nos vamos a los
gráficos para ver si sucedió lo que esperábamos y
aquí lo podemos ver ustedes aquí también de este
gráfico morado qué les parece si se agrandó ¿no?
Se amplió el gráfico se movió punto
cinco hacia la izquierda como esperábamos, ¿de acuerdo?
Aparte se trata de una traslación perdón una reflexión con respecto
al eje x y con respecto al eje y, por eso queda el gráfico de este estilo ¿no?
Porque tiene estos dos signos negativos involucrados ¿no?
Entonces con esto hemos comprobado lo que esperábamos ¿no?
Hemos trabajado con la mitad de parábola me
gustaría que acabáramos trabajando con nuestra mitad de círculo
entonces nos vamos a regresar a nuestras ecuaciones
y si les parece, ahorita bueno, las tengo que
quitar las tengo que quitar para que no nos vaya a afectar ¿no?
y volvemos sobre esta expresión ¿no?
y en esta expresión, bueno, vamos a quitar ese
punto cinco vamos a empezar, es más, vamos a
poner radical para que vean ustedes como pone el
"sqrt" y aquí le vamos a poner un uno
menos lo que dijimos es nuestra x que va a estar elevada
al cuadrado ¿no? Cerramos nuestro paréntesis, vamos a ver
nuestro gráfico allí está,
¿no? este es
nuestro círculo ¿no? de radio uno en la mitad
superior, ¿okay?
en este círculo podemos hacer diferentes cosas ¿ok?
realmente no me gustaría que ahorita trabajáramos con el estarlo moviendo
de derecha a izquierda solamente quiero enseñarles algo con respecto a lo que
podemos hacer cuando lo multiplicamos por algo, si aquí yo les pongo
el famoso dos que hemos usado y después ponemos radical de uno menos
la x al cuadrado, ¿si?
Entonces lo que voy a provocar con eso es
que el círculo, el medio círculo se alargue ¿no?
Se acuerdan como se despegaba, entonces vamos a salvarlo y lo
vemos ahí vemos como el círculo se agrandó es como si
lo hubiéramos jalado de aquí del máximo entonces lo que están
viendo ustedes ahorita es una elipse mitad de una elipse, ok?
o sea podríamos
decir que las elipses son círculos alargados ¿no?
Bueno, esa sería una elipse vertical ¿okay?
pero también hay elipses horizontales ¿no?
¿Qué haríamos para tener una elipse horizontal?
Pues yo creo que lo que hay que hacer, es lo que hemos aprendido qué tal si le
ponemos un punto cinco y luego decimos radical de
uno menos la x y lo elevamos al cuadrado ¿no?
Cerramos, salvamos y vamos
a ver nuestros gráficos ¿no?
Y vean ustedes ahora el gráfico verde cómo quedó apachurradito ¿no?
o sea el círculo se bajó y entonces queda la mitad de una elipse okay?
nada más que ahora es una elipse horizontal ¿okay?
Estaría alargada así en lo horizontal y estaría alargada en lo vertical
entonces les estoy mostrando ahorita, claro
hay que hacerlo algebráicamente también ¿no?
pero ahorita visualmente les
puedo decir que efectivamente una elipse es un, ¿qué diríamos?
Una elipse es un círculo alargado o apachurrado ¿si?
Bien, ahorita me gustaría que nos quedáramos solamente con
el círculo y que pensáramos en en su derivada ¿no?
Para dejar un ejercicio you otra vez entrados en
derivadas entonces qué les parece si aquí ponemos la expresión
de nuestro círculo, nuestro círculo va a ser el círculo rojo, entonces vamos a
tomar ahorita el marcador rojo y vamos a poner su expresión you
sabemos derivar al círculo ¿cierto? ¿Cómo se deriva esto?
Esto es tener 1 menos x cuadrada a la un medio ¿okay?
Entonces al derivar debí de haber tomado otro
color, pero bueno, vamos a dejarlo en rojo, al derivar ¿qué me queda?
Un medio de uno menos x cuadrada a la menos un medio menos dos x ¿no?
y you esto mentalmente, tantas veces de hacerlo nos va a quedar un menos x entre
el radical radical de uno menos x cuadrada ¿si?
este, esta expresión del círculo, digo perdón de
la derivada del círculo es la que quisiera que metiéramos en nuestra iPad ¿no?
O sea vamos a tratar ahorita ¿no?
de regresarnos aquí, vámonos a esta expresión, la quitamos ¿si?
y vámonos en esta y metamos la expresión que está ahí,
entonces lo que nos estaría faltando es poner a un paréntesis ¿no?
vamos a quitar ese número dos quitamos el dos y ponemos
un menos x, menos x y luego pondríamos
nuestra división entre ese radical ¿no? vamos a salvarlo ¿okay?
Entonces ahora les cambié la jugada, estoy poniendo la función en rojo y su derivada
en azul, y vamos a ver lo que pasó vean ustedes la derivada de
esa mitad de círculo, cómo queda la expresión esta expresión, vean estoy
haciéndolo para que se vea un poquito más ¿no?
la curva.
Vean como es una curva que viene bajando, bajando, bajando, bajando...
o sea es completamente decreciente la derivada, cuando es positiva acá
el círculo crece y cuando es negativa acá el círculo decrece ¿no?
¿de acuerdo?
Otra cosa que podemos notar es que aquí vale cero la derivada y es en
donde el círculo tiene su máximo ¿no?
pero lo que yo quisiera dejarles como un ejercicio ¿no?
un pequeño reto ¿no?
a nuestro pensamiento y a nuestros procesos algebráicos es que observemos
cómo el círculo y su derivada se intersectan en un lugar, ¿si lo ven?
O sea hay un lugar aquí en donde coincide el círculo con
la derivada, con su curva derivada las dos curvas se intersectan
¿de acuerdo? El reto es ¿dónde se intersectan?
¿de acuerdo?
Para saber dónde se intersectan lo que tenemos que hacer con ellos es ¿qué?
es algo que nos ha pasado también desde
aquellas veces que andábamos viendo los taxis ¿no?
O sea lo que necesitamos es que coincidan los valores de
la y aquí en este punto donde está la curva azul
y la roja coinciden las Xs y las Ys entonces ¿qué
es lo que van a hacer ustedes para poder encontrar en dónde
se intersectan no?
Lo que van a hacer ustedes es hacer la expresión y igual a y prima o sea igualar
la expresión del círculo con la expresión de su derivada ¿no?
Y eso nos va a dar una cosa más o menos así raíz de uno menos x cuadrada
igual a ¿qué?A menos x entre radical de uno menos equis
cuadrada ¿no?
O sea esta expresión algebráica, deberíamos de poderla resolver para x ¿no?
se ve complicadísima según unos podrían ver you
nada más ven los radicales y se asustan ¿verdad?
pues yo les aseguro que no lo es tanto ¿okay?
Yo los invito a que ustedes resuelvan esta ecuación, traten de trabajar,
pasen este término para acá y seguramente yo les voy a dejar ¿no?
este ejercicio ahorita como una actividad me encargaré
de ponerles la solución para que ustedes la tengan en pdf en nuestros
documentos y que puedan comparar con sus procedimientos ¿no?
no este creo que haya mayor dificultad al respecto,
me gustaría ¿no?
que en este video igual si ustedes están you digamos se están poniendo ¿no?
a trabajar en igualar estas ecuaciones, bueno pues piensen en que van a encontrar
el documento pronto en el lugar apropiado
para que puedan comparar de manera rápida ¿no?
su procedimiento...
nos vemos en el próximo video en
donde retomaremos pero ahora para finalizar nuestro curso,
con un ejercicio o más bien con un problema otra vez de optimización.
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