Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Recíproco de "x" y efectos gráficos
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4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Consejos algebraicos sobre derivadas y gráficas clásicas
Hablaremos del proceso algebraico de cálculo de derivadas y de las complicaciones a que da lugar con el fin de minimizar dificultades seguiendo los consejos planteados. Hablaremos además de modelos matemáticos clásicos cuya gráfica se asocia con curvas clásicas como parábolas, círculos y elipses.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
En esta ocasión entonces vamos a usar la
iPad, nuestra iPad para usar un graficador ahí.
Y jugar un poquito con estas formas digamos que les
he dicho que son tradicionales, son básicas en el estudio ¿no?,
del cálculo.
Son modelos matemáticos que aparecen en
diferentes situaciones reales, entonces vale la pena
tener un poquito de dominio sobre él, desde el punto de vista gráfico
o visual.
you sabemos como se derivan también, you lo hemos hecho, ¿no?
Entonces si me acompañan ahorita en la iPad, el
software que tenemos nosotros aquí para utilizar, es este ¿no?,
you lo deben de tener ustedes, ¿no?,
con un, consigo.
Y bueno las expresiones que aparecen aquí en el menú de "equation", ¿no?,
son las que vamos a poder aquí escribir. Vean ustedes como yo aquí escribí
la expresión uno entre x. Y entonces la salvo, ¿no?
Ese es nuestro modelo, vamos a ponerlo aquí, ¿no?,
nuestra función es y igual a uno entre x.
El reciproco de x.
Y después en la posición numero dos,
me gustaría que hiciéramos algo como lo siguiente.
Voy a tratar de hacer las cosas como les digo, organizadas.
Entonces, ¿qué les parece si aquí ponemos dos entre x, no?
Y lo salvamos.
Estamos introduciendo aquí entonces, en la expresión un dos entre x, ¿verdad?
Y para la tercera de nuestras opciones, pongamos uno entre dos x.
No se si vean lo que estoy haciendo. Uno entre dos x, a ver
espero que me la interprete bien. Uno entre dos x, lo que estaría
haciendo es multiplicar un medio por x. A lo mejor incluso podría yo ser más
explicita sobre esto si modifico aquí. Miren, es como poner aquí un paréntesis.
Vamos a, a irnos hacia atrás, entonces vamos a
poner aquí un paréntesis y luego nos vamos hacia adelante.
Y entonces ponemos un medio, eso es lo que está multiplicando,
¿donde está el paréntesis?, aquí, ¿no?
A, a la expresión que you teníamos en rojo, ¿no?
. Es un medio por uno entre x.
Entonces vamos a poner otro paréntesis aquí, uno entre x, ¿no?
. Y entonces nos vamos para acá.
A ver si con esto les hago más explicito.
Estoy queriendo multiplicar por un medio la expresión de arriba, ¿no?
. Entonces vamos a salvarla.
Y acá en la expresión
de acá vamos a poner en lugar de dos entre x, estarán de acuerdo conmigo, en que dos
entre x es lo mismo que decir, dos por, vamos a poner el por, uno entre x ¿no?,
you teníamos un entre ¿no?,
entonces vamos a quitar ese entre.
Y después cerramos nuestro paréntesis, ¿no?
. Entonces, ¿qué es lo que estoy haciendo?
Estoy poniéndoles este dos entre x como dos
veces uno en x, o sea vean como la expresión aquí se ve distinta.
Pero es exactamente lo mismo desde el punto de vista matemático.
Y la otra sería, uno entre dos x, que es lo que
está escrito aquí como un medio, por uno en x, ¿se fijan?
O sea, esta sería la expresión también equivalente a esta.
¿Cómo se pueden ver que parecen distintas, y sin embargo son lo mismo,
eh?
Entonces estoy afectando a la expresión original, multiplicándola por
un número dos, o por un número un medio.
¿Por qué esos números?
Bueno, estoy tratando de simular lo que sea la multiplicación por
un número mayor que uno, y por un número entre cero.
Entonces cuando tenemos esas expresiones, vámonos a la gráfica.
Y veamos aquí nuestras, nuestra gráfica, ¿no?
Vean aquí nos ofrece el software las expresiones.
Y bueno pues, podríamos centrarlo aquí. Podriamos abrir un poco, ¿no?,
nuestra perspectiva, ¿no?, como para verla un poco mejor, ¿no?
¿Y qué podríamos anotar, qué podríamos decir, sí, acerca de estos gráficos?
Bueno pues, por ejemplo, podríamos decir que el gráfico rojo que es nuestra base,
sigue estando en uno, a la altura uno, en dos a la altura un medio, en un medio
en la altura dos, como lo habíamos dicho antes, ¿sí?
Y por otro lado ahora el gráfico, el azul, al multiplicar dos por
uno en x, vean qué le pasó, como que se levantó un poco ¿no?,
se separó del eje, se separó del eje de tal manera de que en, por
ejemplo, en uno, you no vale uno como el rojo sino que vale dos, ¿no?
Eso hace que you piensen
que está separado hacia afuera.
Y por ejemplo en dos, en el dos, lo que estaría aquí a la altura uno, ¿no?
Porque si yo meto un dos, uno entre dos por dos, me va a dar la altura uno.
¿Okay?,
no sé si aquí aparezca el uno, no. Cuando lo jalo tampoco, no, no aparece.
Bueno, entonces ahorita tenemos aquí como el
gráfico azul se desprendió del eje horizontal.
Vámonos con el verde.
En el verde, ¿qué hicimos? .
Multiplicar por un medio y vean ustedes lo que pasó.
Como que el gráfico se acercó, se acercó a sus asíntotas, ¿sí?
Entonces aquí por ejemplo, en el, la altura uno, perdón,
para x uno, la altura va a ser un medio.
Porque sería un medio por uno entre uno.
Entonces el grafico quedó abajo del rojo.
Vean ustedes con el puro uno aquí, me puedo dar cuenta de que el gráfico
azul subió, porque sería aquí el valor dos y en la verde bajó, quedaría un medio.
Entonces con eso me puedo dar la idea de lo que está pasando con ellos.
Siguen estando las asíntotas, eh, vean ustedes.
Ustedes pueden mover aquí la graficador para todos lados y darse
cuenta de que, pasa, está pasando lo mismo con ellos, ¿no?
De tarde que temprano se acercan al eje x, se acercan al eje y, ¿no?
. Entonces ahorita tenemos
esta idea o podríamos hacer digamos nuestra pensamiento, nuestra reflexión,
en el sentido de que bueno ahí cada quien puede hacerlo en sus términos ¿no?
Yo podría ponerle aquí un "aleja", del eje, ¿no?,
y podría poner aquí "acerca" al eje, ¿no?,
al origen, ¿no? .
Podemos estar pensando al origen. El azul se alejó, el verde
se acercó.
Estoy tratando de darles sugerencias de como
uno puede llevar esto al pensamiento, ¿no?,
y poderlo aprovechar en el sentido desde el punto de vista matemático, ¿no?
Entonces you con estas funciones, o sea vamos a hacer ahora otro cambio.
¿Qué les parece si, bueno dejamos nuestra base, ahí
en nuestro pensamiento tiene que haber algo básico, ¿no?
Y ahora en esta de acá, los invito a que hagamos,
vamos a borrar ésta, y pongamos ahora uno
entre, uno entre x menos dos, ¿sí? .
No se si me vaya a tomar aquí o no el paréntesis, vamos a
ponérselo, total, como dicen que más vale que sobre y no que falte, ¿no?
Entonces vamos a ponerle aquí un paréntesis.
Vamos a ponerle acá, porque lo que quiero también es enfatizar
con ustedes que lo que estoy haciendo es, a
la x que yo tenía antes, le estoy quitando dos.
Ahí está, le quito dos a la x, ¿okay?
Entonces lo salvamos, ¿okey? .
Ahora vámonos con la verde, pero tengo que apuntarla acá, ¿verdad?,
dénme oportunidad.
Entonces en esta parte, estamos ahorita jugando con uno entre x menos dos, ¿no?
. Y por otra parte, vamos a poner ahora
en la verde, ¿no?, ¿qué vamos a poner?
Le vamos a poner uno, déjenme borrar ésta, es uno entre x más dos.
O sea quiero que veamos, o sea que cual sería ahorita el efecto, ¿no?,
ahora de quitar dos o sumar dos a el, la, a la x, ¿no?
. La salvamos.
O quito dos o sumo dos. Y vamos a ver nuestras gráficas, ¿no?
Y entonces, vamos a acercar un poquito aquí la imagen, ¿no?,
para poderlas verla mejor.
A ver, ¿qué es lo que podríamos nosotros percibir en esto?
Bueno, una cosa que se puede notar es de que, la asíntota, ¿cuál?,
la horizontal no cambió ¿verdad?
. Ahorita tenemos acá y igual a uno en
x más dos.
Estamos observando uno en x menos dos, uno en x más dos, ¿no?
. Comparadas con uno en x.
Si ustedes ven los colores aquí, ¿no?,
ustedes podrían ver que la gráfica azul, ésta ¿no?,
aquí prácticamente en el dos tiene su asíntota vertical.
Como que antes era en el, la asíntota vertical en el
eje y, y ahora se movió dos unidades a la derecha.
En cambio en la verde, se movió dos unidades hacia la izquierda, ¿no?
Entonces podríamos conjeturar ¿no?,
que ahorita lo que pasó con ese gráfico rojo, es como
si yo tomara el gráfico rojo con sus dos partes, ¿no?,
y lo jalara dos unidades a la derecha
o lo jalara dos unidades hacia la izquierda, ¿no?
Esto correspondiendo con ¿qué?,
con el signo negativo detrás del dos, o con el
signo positivo detrás del dos ¿sí? .
Esta conclusión nos estaría diciendo algo como restar
este dos que podríamos decir, mueve a la derecha ¿sí?,
y sumar este dos podríamos decir es, mueve hacia la izquierda, ¿no?
Osea vamos a ponerle aquí al menos un derecha, izquierda,
¿no?,
pensando de que hay una sincronización,¿no?,
que cuando uno resta dos ¿no?,
a la x, el gráfico original rojo se
movió dos unidades a la derecha, todo completo, ¿no?
Es algo rígido, un movimiento rígido.
Un "copy" luego "paste" dos unidades a la derecha, y cuando
es un más dos son dos unidades pero hacia la izquierda, ¿no?
. Pasamos a otra, a otra secuencia.
Vamos a irnos a las expresiones, y bueno me gustaría que ahora modifiquemos en
esta, vamos a quitarle ahorita, dejemos nada más el uno en x, ¿sí?,
el uno en x, y a este x, vamos a ponerles el paréntesis en estas expresiones.
Vamos a poner aquí el paréntesis para decir que estoy encerrando uno en x.
Y a ese uno en x,
le voy a sumar, o a restar primero, restar dos, ¿no?
A todo uno en x, vean ustedes lo que estoy haciendo aquí, ¿no?,
uno en x le quito dos.
Lo salvo, ¿no?, y ahora vámonos acá ¿no?
y aquí vamos a decirle a uno en x, nada más que necesito mi paréntesis, a veces
no me lo toma allí, bueno vámonos acá. Uno en x, y le decimos
ahora súmale dos, ¿no? .
Y sálvalo, ¿no?
Y entonces estamos quitando dos, sumando dos.
¿Qué es lo que estamos haciendo entonces en acá, digamos en el papel?
Ahora estamos haciendo una comparación con y igual a uno en x
menos dos, y el otro sería y igual a uno en x más dos.
¿Cuál es el efecto en los gráficos? Y ahora
ustedes lo pueden percibir. O sea, ¿Cuál es el efecto?
Que ahora ese gráfico rojo para el caso verde ¿no?,
subió dos unidades y para el caso azul, bajó dos unidades ¿no?
Se conservó la vertical como la asíntota ¿no?,
el eje y, pero la asíntota horizontal ahora cambió, ¿no?
Ahora estaría a la altura dos para el caso verde.
Y a la altura
menos dos para el caso azul.
O sea se hace que esto que esta aquí, este menos dos y este más dos,
este menos dos como que baja y este más dos como que sube, ¿no?
Estamos tratando, ¿no?, de ver, ¿no?,
organizar en nuestro pensamiento lo que puede
pasar con este tipos de operaciones, ¿no?,
a hechas sobre uno en x, ¿no?
. Entonces vamos finalmente,
me gustaría a que modificáramos algunas de estas ¿no?,
por ejemplo, en este caso ¿qué les parece si aquí aparte de tener uno
en x menos dos, a la x le sumamos un tres, no?
. Entonces, ¿qué es lo que va a pasar?
Espero que me tome el paréntesis ahí.
Bueno y si no bueno, vamos a ponérselo aquí.
Vamos a poner un paréntesis y luego ponemos acá el
otro paréntesis ¿no? .
Vamos a salvarlo ¿sí?
Entonces lo que estaríamos diciendo es que, que le voy a
trasladar tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, ¿no?
En cambio en esta que está acá, podríamos hacer nosotros lo mismo, ¿no?,
podríamos decirle aquí a la x, la vamos a
trasladar tres unidades pero que ahora sea hacia la derecha.
Entonces lo que vamos
a hacer nosotros, no, perdón, a la derecha si, vamos a sumarle you no me
acuerdo si en el otro le sume o le reste, vamos a verlo ahorita, no importa ¿no?
Fue una suma.
Entonces aquí inmediatamente vengo a esta parte
y vamos a ponerle un signo negativo ¿okey?
Entonces quitamos esto, ponemos el menos, lo salvamos.
¿De acuerdo?
. Y vamos ahora a ver los gráficos.
¿Qué estamos esperando? .
Que haya una traslación hacia la izquierda para
este caso y luego una traslación hacia abajo.
Y que para este caso hay una traslación
hacia la derecha y una traslación hacia arriba.
Entonces vemos los gráficos y espero que puedan notar las cosas ¿no?
O sea ahí se pueden juntar, vean qué bonita figura, ¿no?
Y ahorita estamos comprobando ¿no?, que es lo que pasó
con la verde.
Hubo una traslación hacia la derecha y luego hacia arriba ¿no?
Metimos signo negativo en tres para trasladar
a la derecha y dos para subir, ¿no?
Y en la azul lo que hicimos fue, meter signo positivo más tres para que
se fuera a la izquierda y después un menos dos para que se fuera hacia abajo.
Y entonces con eso tenemos esa forma gráfica.
Me gustaría que en este video, ¿no?,
podamos terminar haciendo algo más en general
y tratando de usar nuestros procesos algebraicos, ¿no?
Entonces, si me acompañan sobre el papel, vamos a
hacer una gráfica que pondríamos con el tono morado, ¿no?
En donde digamos que tal si afectamos con un dos, ¿no?,
a nuestra x. La movemos uno para la derecha, ¿no?
. Y la vamos a bajar tres unidades, ¿cierto?
. ¿De acuerdo?
Esto por ejemplo es una operación completa en donde afectamos ¿no?,
el acercamiento con el eje, afectamos la traslación horizontal y la vertical.
Pero vean ustedes que si uso un poquito de
álgebra, yo puedo aquí sacar un común denominador y dejar
x menos uno.
Entre x menos uno da uno por dos, dos, menos
x menos uno entre el uno que tiene este tres aquí
abajo que no se ve, pues me queda aquí menos uno,
por el tres, me queda menos tres por x menos uno.
Y al hacer estas operaciones nos va a quedar que,
dos menos tres x más tres, entre x menos uno.
O sea nos va a quedar eh, eh, ¿qué expresión?
Vamos a ponerla aquí de este lado.
Dos más tres son cinco, menos tres x, entre x menos uno, ¿okay?
. Cinco menos tres x, entre x menos uno.
Vámonos rápidamente al graficador, y aquí vamos
a eliminar esta, vamos a eliminar esta también.
Y nos vamos a la morada y vamos a
teclear, pero tecleemos lo que hicimos con álgebra, ¿no?
Cinco menos tres x, entre x menos uno, que
sabemos que debe de quedarnos algo como lo inventamos, ¿no?
Entonces vamos a poner aquí nuestro paréntesis, ponemos un cinco menos tres
x, cerramos nuestro paréntesis, ¿no?, y le decimos entre x menos uno, ¿no?
Entonces vamos a poner aquí nuestro paréntesis, x menos uno.
Lo cerramos. Y lo salvamos.
Y vamos a ver entonces la gráfica, ¿no? .
En esta gráfica morada, ustedes pueden ver,
vamos a ver, vamos a comprobarlo, ¿no?,
o sea ¿qué es lo que podríamos decir que se afectó?
Hubo o se alejo el gráfico comparado con el rojo, o sea se
alejó del origen, eso fue por causa de quién, de este número dos, ¿no?,
de este número dos, ¿sí?
. Después el gráfico se movió una unidad,
aquí estaríamos en la unidad, vean que aquí mi
escala es el cinco, entonces aquí esta el uno.
La asíntota vertical esta en el uno, eso es por culpa de este factor x menos uno.
Y este x menos tres lo que hizo fue bajar a la asíntota horizontal en el menos tres.
Entonces exactamente el gráfico ¿no?, queda como esperábamos, ¿no?,
cuando inventamos el problema así, aún y
cuando si lo que metimos en la expresión es, esta
expresión algebraica, cinco menos tres x entre x menos uno, ¿no?
Es una gráfica equivalente, ¿sí, cierto?
. Es equivalente a uno en x, ¿cierto?
Si pensáramos en términos de su derivada osea como que
la derivada también tiene que ser equivalente, entre comillas, ¿no?
. Y ese es el reto último con el que
me gustaría despedirme en este video, ¿no? .
Vean ustedes ahorita esta expresión. Cinco menos tres x entre x menos
uno, tenemos la idea de que esto es equivalente a la uno en x.
Entonces su derivada debe de estar muy relacionada con ello.
Para derivar esta función, ¿qué aplicamos?
. La regla del cociente, el de abajo, por la
derivada del de arriba que es menos tres, menos el de arriba por la
derivada del de abajo que es un uno, entre el de abajo al cuadrado, ¿no?
Y entonces aquí nos quedaría que, menos tres x, más tres,
menos cinco, más tres x, entre x menos uno al cuadrado.
Vean ustedes que estos términos menos tres x,
y tres x, se van a cancelar y ¿qué nos va a quedar?,
un menos dos entre x menos uno al cuadrado, ¿no?
. ¿Qué tal?
Esta expresión, acuérdense de la derivada de uno
en x que es menos uno en x cuadrada.
Podemos ver que tenemos una derivada equivalente también, con
el signo negativo diciéndonos que este gráfico morado decrece.
¿Cierto?,
el gráfico morado decrece y aparte de eso ¿no?,
este factor x menos uno al cuadrado está haciendo la equivalencia con
el menos uno x al cuadrada de la derivada de la roja.
Solamente que está trasladada, ¿no? .
Esta trasladada una unidad hacia la derecha, ¿no?
Con esto pues yo me despido, hemos estado jugando con
los gráficos digamos en la iPad, hemos visto procesos algebraicos conectados.
Hemos visto que la derivada también ahí
tenía que salir como estábamos esperándolo, ¿no?
Después de hacer nuestras observaciones.
Me gustaría dedicar un video más para trabajar con las otras dos formas.
y que bueno, mi intención es que ustedes adquieran cierta familiaridad, con un
conjunto, con un universo de funciones de
aspectos gráficos muy particulares con los cuales
van a trabajar.
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