you hemos comentado creo hasta el cansancio ¿no?, como el cálculo ha surgido para dar solución a problemas, y alguno de esos problemas entendibles son estos problemas de optimizar. O sea optimizar una magnitud, saber cuando tengo un valor máximo o un valor mínimo de una magnitud ¿no?, que está cambiando. Entonces queríamos acabar en este discurso ¿no?, en este curso, de matemáticas y movimiento retomando otra vez estos problemas de optimización. Poniéndoles otro contexto ¿no?, en donde vamos a tener la ocasión de ver una aplicación del cálculo gracias a que el tipo de funciones que aparecerán ahí son las que hemos manejado you, y sabemos derivarlas ¿no? Entonces me gustaría que pasáramos a la pantalla, aquí en la pantalla les voy a mostrar una presentación que hace alusión a un problema. El problema es que tenemos ahí dos postes, dos postes que se están este, graficando caray, ahí dice seis metros y ocho metros pero algo anda mal ciertamente. Vamos a hacer el cambio necesario, bien este es el de ocho y este es el de seis muy bien. Y ahora sigamos, dice se van a colocar verticalmente sobre el piso con sus bases separadas diez metros ¿okay? La situación entonces es que tenemos esos dos postes y están separados diez metros ¿okay? Esta situación se puede hacer más en general, a final de cuentas vean ustedes, tengo una recta y aquí tengo dos longitudes que están fijas ¿no?, hay tres datos en la situación. ¿Qué va a seguir después? Lo que vamos a hacer es colocar un cable que vaya desde la punta de uno de los postes hasta la otra punta ¿no?, del otro poste ¿no? . Algo así como lo que se va ahorita a observar en esta animación ¿no? Entonces el tendido del cable sería por ejemplo como este, ¿okay? Pero realmente esta fue una elección que hicimos, o sea pudimos haberlo hecho de otras maneras. Vean ahorita la animación como en ella trato de mostrarles que hay diferentes formas de tender ese cable ¿no?, según como pongamos este punto. Ven como está variando este punto donde les estoy poniendo el cursor. O sea realmente, o sea ahorita pareciera que las longitudes de cable son iguales ¿no?, pero en realidad no pasa así. Ahí hay una función de variable real que está digamos generándose ¿no? Cuando decidimos digamos, decir, donde poner el cable cuando vaya al suelo entre los postes. Entonces vamos a ver aquí la pregunta, dice ¿a qué distancia de la base del mayor poste, o sea de este no, debe llegar el cable al suelo para que la cantidad de cable utilizada sea la mínima? Se fijan en ese sentido es un problema de optimización. Y nos interesa encontrar el lugar en donde tender el cable para utilizar la menor cantidad de cable posible, ¿no? Realmente en esta situación yo quiero compartirles una solución visual. Una, una solución visual que está inspirada déjenme decirles, en un resultado que viene desde los griegos ¿no?, en la antigüedad. O sea cuando you empezaba la matemática, déjenme decirles que las demostraciones, la demostración en matemáticas, esa que ahora forma nuestro sistema conceptual lógicamente estructurado, allá se entendía como una visualización. Demostrar era visualizar. O sea ver las cosas. Entonces en ese sentido, inspirados digamos en este resultado que viene desde la antigüedad, les estoy ofreciendo una solución visual que después vamos a comparar con nuestra solución con cálculo ¿no? Entonces para esta solución visual necesitamos un taladro, nos vamos a traer un taladro, ahí viene el taladro y entonces perforar al ahí en el suelo cae nuestro poste, ¿okay? . Y entonces tenemos una perspectiva distinta de la situación. ¿Por qué? Porque ahora podemos pensar en que en lugar de traerme el cable para acá, me lo voy a llevar para acá abajo. Vean ustedes como estamos formando ahorita situaciones de triángulos ¿no?, que se ven iguales ¿okay?, uno arriba y el otro abajo. Entonces cada, cada una de las situaciones que veamos ¿no?, en el suelo pues para llegar al poste acá arriba, la convertimos en una situación para llegar acá ¿no?, en el debajo del piso ¿no?, a la punta del poste. Entonces cuando me pregunto ¿cuál trayectoria muestra la menor cantidad de cable?, o sea de todas estas véanlas ahora como trayectorias que van de esta punta de este poste a este punto ¿no?, you debajo del suelo. Entonces pensar en cual de todas estas es la menor, es algo que visualmente se puede encontrar ¿no?, porque la distancia más corta digamos, va a ser la línea recta. O sea si yo trazo aquí una recta ¿no?, voy a encontrar aquí un punto en el cual la distancia va a ser la mínima, porque cualquier otra trayectoria va a tener una longitud mayor, ¿no? Esta sería la menor posible y eso nos hace entonces pensar en observar dos triángulos ¿no? Vean los triángulos que tenemos. En estos triángulos hay cosas que podemos decir, ¿qué podemos decir de ellos? Podríamos imaginarlos nada más a ellos solos aislados de la situación, y bueno pues hablando de los griegos, tendría que hablarles un poco de geometría, y vale la pena eh, de geometría, trigonometría, ¿no? . Entonces vamos a ver estos triángulos que tenemos, este cateto vertical que vale ocho y este que mide seis y por otro lado el diez que está en esta longitud ¿okay? Entonces sobre ellos esta longitud que esta aquí le vamos a bautizar con nuestra letra x, se fijan es la x que andamos buscando, es la x que me va a dar el cable mínimo, la longitud mínima de cable que se requiere ¿no? . Entonces con esta x you tenemos el problema de optimización resuelto. Hay que nada más encontrarla. Si aquí llamamos x a esta longitud, ¿cuál seria entonces la longitud que tenemos aquí, ¿no? O sea si esto todo medía diez, y aquí esto mide x, la interrogación que está aquí tendría que ser que, diez menos x, ¿no? . Y entonces tenemos aquí los dos triángulos con sus catetos determinados ¿no? ¿Pero cómo podemos obtener el valor de x a partir de estos triángulos? Bueno resulta que estos triángulos son triángulos que se conocen en la matemática como triángulos que son semejantes. ¿Por qué decimos que son semejantes? Las figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño. Yo no sé si ustedes vean, osea a mi me dan ganas de, si yo pudiera sacar este triangulito. lo podría poner arriba y luego voltearlo ¿no?, y ponérselo encima al otro triángulo y se verían prácticamente iguales, salvo en su tamaño ¿no? Entonces eso es lo que es la semejanza, ¿okay? Ellos tienen, hay criterios para decidir cuando dos triángulos son semejantes y uno de ellos es, bueno, realmente con saber que sus ángulos correspondientes sean iguales, con eso you podemos decidir que los triángulos tienen la misma forma, más no el mismo tamaño, o sea son semejantes. Entonces esto lo podríamos hacer ahorita con respecto a estos triángulos, porque fíjense ustedes en la situación. Tenemos realmente aquí estos dos ángulos que están aquí que son ángulos rectos, ¿por qué?, pues porque tenemos aquí noventa grados ¿no? Por otro lado estos ángulos que están aquí, son los ángulos que se forman cuando se cruzan dos rectas, ¿sí? Siempre que se cruzan dos rectas, quedan un par de ángulos ¿no?, correspondientes que son iguales. Se les llama opuestos por el vértice ¿sí? . Este ángulo y este ángulo están opuestos por el vértice y se forman en la intersección de esta recta y esta recta, y entonces estos dos ángulos también son iguales ¿no? Y si por otro lado ustedes recuerdan que cualquier triángulo ¿no?, su suma de ángulos tiene que dar ciento ochenta ¿sí?, pues con eso you podrán aceptar que los ángulos que nos faltaban también tienen que ser iguales. Si you tenían dos ángulos iguales y la suma con el tercer ángulo tiene que dar ciento ochenta, bueno pues eso va a ser que sean entonces los tres ángulos iguales. Les dije que la suma de los ángulos del triángulo es ciento ochenta grados ¿cierto? Más no crean que eso es una verdad absoluta, es relativa. Hay geometrías, ahorita estoy trabajando en una geometría euclidiana. Hay geometrías no euclidianas en donde los triángulos, su medida de ángulos es menor que ciento ochenta o su medida de ángulos en otras geometrías es mayor que ciento ochenta. Aunque no lo crean, así es la cuestión, o sea en matemáticas hay mucho todavía que aprender ¿no?, sobre las geometrías no euclidianas. Pero bueno, ahorita estamos en la geometría euclidiana, todo tranquilo, aquí el ángulo es recto, la suma es ciento ochenta. Tenemos nuestros tres ángulos iguales y entonces podemos decir que estos dos triángulos que están aquí son semejantes ¿no? Y si ellos son semejantes, entonces sus lados correspondientes también son proporcionales. O sea yo puedo hacer algo como lo que va a hacer aquí esta manita, miren, podemos traernos para este triángulo la x, y este ocho, ¿sí? Y de este otro triángulo nos traemos el diez menos x y el seis. Pero vean cómo la manita los escribió digamos en forma correspondiente. Si aquí tomamos el x de aquí, en este lado aparece el diez menos x ¿no? Si aquí tomamos el ocho que es el lado vertical, acá también tomamos el seis del lado vertical y lo colocamos aquí. Lo que hemos generado con esto es una ecuación qué, es una ecuación lineal, ¿se dan cuenta? . O sea yo puedo trabajar, pasar ese seis de ese lado, el ocho del otro lado, claro con el paréntesis, multiplicar, tengo esa ecuación lineal y bueno ahora todo el trabajo nos lo hizo la animación ¿no? . Hasta la, este simplificación. Nos quedó un cuarenta entre siete Esta expresión de aquí que salió de la proporcionalidad de los lados ¿no?, de los lados este, correspondientes nos generó una ecuación lineal que resolvimos y nos queda cuarenta séptimos. Este cuarenta séptimos es, acuérdense la solución óptima, ¿por qué? Porque lo que hicimos fue you trazar aquí la recta vertical que nos diera la longitud menor ¿no?, en el tendido del cable. ¿Cuál cable?, you ni se acuerdan cual era el cable ¿no?, ahorita lo vamos a recordar. Regresemos a nuestra situación, ¿cuál es entonces nuestra conclusión? O sea lo que tendríamos nosotros que decir es, que para que la longitud del cable sea mínima, ¿qué deberíamos de tomar? Tendríamos que decir que esta longitud x, o sea desde la base del poste mayor hasta el punto donde llegue el cable al suelo, tiene que ser ¿cuánto?, cuarenta séptimos ¿no?, cuarenta séptimos de metro ¿no? . Y con ese dato, pues pondremos ahí nuestro cable ¿no?, para asegurarnos que, cualquier otro lugar que lo hubiéramos puesto, si lo ponemos acá y tiramos ¿no?, de aquí hasta acá y luego subimos hasta acá, seguramente con esa longitud vamos a usar más cable del que realmente se necesita. Hay maneras de optimizar las cosas ¿no? Ahorita esta manera, esta solución la obtuvimos que dijimos visualmente. Traté de aprovechar conocimiento que tengo sobre la geometría, sobre lo que se hizo desde Grecia ¿no?, sobre la visualización que siempre ha acompañado a la matemática desde sus orígenes. No obstante, me gustaría agregarles que cuando estudiamos you en la escuela, en una educación formal, la matemática se ha dividido y la tenemos aritmética, tenemos geometría, tenemos álgebra, tenemos geometría analítica. A veces esa manera de digamos, de parcializar el conocimiento matemático, yo pienso que no ha ayudado. Eso nos permite digamos, que en nuestra cabeza podamos tener todo ese conocimiento como si lo tuviéramos nosotros en cajoncitos ¿no?, y lo pudiéramos traer en el momento preciso. Eso es lo que me hace también hacerles propuestas como lo que estamos viendo ahorita y como todo este discurso ¿no? Y hicimos una demostración donde tuve que traerme un poquito de geometría, un poquito de trigonometría ¿no?, podemos traernos nosotros un poquito de geometría, un poquito de trigonometría, un poquito de nuestra ecuación lineal también, y todo esto para qué, para poder ofrecer digamos una solución que sea más rica en el sentido de que interactúan distintos conocimientos. Eso no es fácil de lograr cuando tenemos nuestro conocimiento digamos separado ¿okay? Bueno, igual el problema está resuelto pero que, nuestra intención es ahora tener una solución con cálculo ¿no? you tenemos nuestra solución con cálculo, vamos a tener nosotros también la oportunidad de enriquecer todo nuestro conocimiento matemático, recordando otras cuestiones y de nuevo trabajando con nuestra habilidad para este trabajo con la representación algebraica. Me parece que you en este video no vamos a lograrlo ¿no?, pero yo los espero para que en el siguiente ¿no?, intenten ¿no?, intenten ustedes construir la función ¿sí?, cuya, cuya longitud digamos precisamente la del cable, es la que tenemos que optimizar. O sea hay que construir la función que me calcula la longitud del cable ¿no?, cuando hemos fijado x ¿no?, como la longitud desde la base del poste mayor al punto en el suelo a donde va a llegar ese cable ¿no? Si este, me acompañan en el próximo video, igual yo lo retomaré, lo haremos juntos y trabajaremos y opinaremos sobre, qué tal ahora con esta solución de cálculo.
