Merhaba. Bundan önceki bölümlerimizde klasik fiziğin iki temel alanının denklemlerini çıkardık. Bir tanesi ısı enerjisinin korunması, buradan ısı iletimi denklemini çıkardık. Bu parabolik türden bir kısmi türevli diferansiyel bir denklemdi. Mekanik, gene klasik fiziğin önemli veyahut da üç alanından birisi. Burada katı cısımlerdeki dalga yayınlarının denklemini çıkardık. Burada hiperbolik türden olan dalga denklemini bulduk. Sonra akışkanlar mekaniğine geçtik. Orada sıkıştırılamayan, akışkan olan sıvılardaki denklemleri gördük. Burada Navier-Stokes denklemini çıkardık. Bu matematik derneğinin dünyanın 2000 yılında gelecek yüz yıl için önemli gördüğü konulardan bir tanesinin Navier-Stokes denkleminin iyice anlaşılması olduğunu söylemiştim. Sonra sıkıştırılabilen akışkanlar olarak gaz dinamiğine geçtik. Burada da genel denklemleri çıkardık ve bir özel durum olarak da küçük değişiklikler olduğu zamanki akustik denklemlerini çıkardık ve burada da gene fizik kökeni farklı olan bir durum olmasına rağmen, elastodinamikteki denklemlerden bulduğumuz dalga denklemini gene bulduk. Şimdi burada elektromanyetizmayı inceleyeceğiz. Tabii bizim dersimiz fizik dersi değil, onun için fiziki büyüklükleri tabii hepimiz merak ederiz bunu nerde diye pek çoğunuz da fizik dersleri aldı, ama fizik dersinin niteliğini bir kenara bırakıp elimizde bir takım etregraller bulunacak ve bunları Stokes veya Green-Gauss teoremiyle kullanarak kısmi türevli diferansiyel denklemleri elde ediyoruz. Hep diğerlerinde de öyle yaptık. Şimdi elektrikteki büyüklükler şöyle. Bir elektrik yükü yoğunluğu var. Bir elektrik akı vektörü var. Elektrik alanı var ve manyetik alan var. Bunları incelemek için, daha önceki korunum denklemlerinde bir tek hacim alıyorduk. Rastgele bir hacim, hacime v diyoruz. Bir bunun içinde bir yoğunluk vardı burada bir elektrik yoğunluğu, bir de bunun sınırlarında e, elektrik alanı ve b, manyetik alan olarak tanımlanıyor. s de bu hacmi sınırlayan yüzey, kapalı bir yüzey. İkinci olarak da, göreceğiz gene elektrik alanıyla manyetik alan arasında şöyle bir ilişkiler var. Elektrik alanıın c üzerindeki teğet üzerine izdüşümünün entegraliyle b arasında bir ilişki var. Tersine olarak da e yerine b, b yerine e koysanız b'nin yani manyetik alanın teğet üzerindeki izdüşümünün böyle bir c çevrimi üzerinde bu s, c çevrimi üzerine oturtulmuş rastgele bir yüzeyde bir elektrik akımıyla ilişkileri var. Şimdi bu fizik. Bunları çıkarmak bizim işimiz de değil, yüzlerce yıl da hatta belki binlerce yıl da düşünebilirsiniz. Çünkü insanlar başından beri gökteki şimşekleri görüyordu. İşte bunlar elektromanyetik olaylar. Sadece yeni teknoloji değil. Bunları alıp teknolojiye getirilmesi de çok uzun seneler sürdü. Şimdi şunu gözlemiş Gauss. Bir elektrik alanının demin tanımladığımız bölgedeki içeriye giden elektrik alanıyla içeride biriken elektrik yükü arasında bir ilişki olduğunu gözlemiş. Ve bunun, elektrik alanının sınırdaki birikimiyle içerideki biriken elektrik yükünün eşitliğini bulmuş. Bir tanesi dikkat ediniz iki katlı entegral, bir tanesi üç katlı entegral. Bir tanesi çünkü sınır üzerine, bir tanesi hacim üzerine. Gene manyetik olarak, alan olarak manyetik bir yük olmadığını keşfetmiş insanlar. Manyetik depol dediğimiz kutuplar. Ama tek manyetik yük bulunmamış doğada. Hani bu da bizim işimiz değil. Bize şuna görebiliriz. Böyle bir entegralin sıfır olduğunu biliyoruz. Sınırdan gelen manyetik alanın toplamı sıfır oluyor diye gözlemiş insanlar. Bizim işimiz bunları bi eşit benzer yapıya getirebilmek, çünkü bir tanesi alan üzerine entegral, bir tanesi hacim üzerine entegral. Burada da bir tane alan üzerine entegral var. Sonra gene şunu gözlemişler. Burada İngiliz bilim insanı Faradey'in ismiyle anılan bu endüksiyon yasası veya Amper, Fransız bilim insanı bu aydınlanma döneminde bunlar ortaya çıkmış. Böyle bir akı oldu. Yani bir elektrik manyetik alanı bi çevrim üzerindeki toplamının yüzey üzerinde bir elektrik alanı biriktirdiğini görmüşler ve elektrik akımı olduğunu da görmüşler. Mesela dinamolar buna göre çalışıyor. Bir şeyi döndürüyorsunuz manyetik alanı ve elektrik akımı elde ediyorsunuz. Gene elektrik alanının bir çevrim üzerindeki teğete dikinin içeride bir manyetik alan ürettiği görülmüş. Yani böyle bir çemberin içinden elektrik akımı geçirirseniz bunun etrafında bir manyetik alan olduğunu gözlemişler. Gene söylediğim gibi bunlar bizim işimiz değil. Bu fizikçilerin işi. Ama bu denklemleri bulmuşlar. Ama bizim işimiz burada başlıyor. Bu denklemlerden bir tarafında uyuşmaz bir bakıma görünen iki katlı bir entegral üç katlı bir entegrale eşit olacak. Burada iki katli bir entegral ama uzayın her yerinde olan bir b var çünkü her yerinde bir manyetik alan bulabiliyorsunuz. Benzer olarak, bir çevrim üzerinde bakınız buradaki iki şekilde de var. Biri, ilk iki tanesinde böyle hacim üzerine entegralle onu sınırlayan yüzey üzerinde entegral vardı. Burada kapalı bir yüzey. Burada ise bir çevrim olduğu için bunun üzerine bir kapalı bir yüzey oturtamazsınız. Ancak bir açık yüzey oturtabilirsiniz. Buradaki e elektrik alanının sınır üzerindeki entegrali bir manyetik alan doğruyormuş, bunun her her yerindeki bu s rastgele olduğu için bunun bütün uzayda bu manyetik alanı doğurduğunu, ürettiğini düşünebiliriz. Tersine burada b olsaydı, yani manyetik alanın çevrim üzerindeki entegralinden, birikiminden bir elektrik alanı doğduğunu görüyoruz. Bu fizik tarafı. İlgilenenler için söyledim. Ama bizim matematik olarak elimizde bu denklemler var. Şimdi ne yapabiliriz? Bunlar bakınız ilk iki tanesinde sınır üzerine dik vektörle iç çarpım ve bir yüzey entegrali var. Bu Gauss, Green-Gauss teoremine uygun bir yapıda. İkinciye bakıyoruz. Buradaki çevrimle bir açık yüzey üzerinde. Buradaki s'yle buradaki s'nin farkı var. Burada kapalı bir yüzey. Çünkü bir hacmi sınırlayabilmek için bir kapalı bir yüzeye ihtiyaç var. Burada ise bir açık yüzey olmak zorunda. Çünkü bir çevrimin üzerine bir kapalı yüzey sınırı getiremez bir çizgi. Ancak açık bir yüzey inşa edilebilir üzerine. Şimdi biz bunları alıp bu Green-Gauss teoremine uygun bu iki yapıya Gauss teoremini uygulayacağız. İkinci yapıda da Stokes teoremini uygulayacağız. Bunu hemen kolaylıkla görüyoruz. Birincisinde e nokta n d s'nin diverjans teoremiyle aldığımız zaman burada bir hacim entegrali oluyor. Sağ tarafta da bir hacim entegrali vardı. Demek ki bunların ikisini eşitleyince, çünkü bu v rastegele bir hacim, bu tür bir kısmi türevli diferansiyel denklem elde ediyoruz. Bu birincisi. İkincisi manyetik yük olmadığını keşfetmişler. Gene bu bizim işimiz değil. Böyle bir denklem verilmiş bize. Burada b kere n'nin bir kapalı yüzey üzerine entegralinin sıfır olduğunu, yani içeride bir şey birikmediğini söylüyor. Bu da Gauss teoremine çok uygun yapıda. Gauss teoremınden biliyoruz ki b n nokta n d s'nin entegrali bu b'nin diverjansının hacim üzerine entegraline gelir. Bu da her hacim için geçerli olabilmesi için Bu içerideki sıfır olması gerekir. Burada da ikinci denklemi buluyoruz. Üçüncü denklemde bakınız bu sefer bir çevrim üzerinde entegraller vardı. O zaman bunlar Stokes denklemine uygun bir yapı. Demek ki bunu Stokes denklemiyle, Stokes teoremiyle bir küçük d s buradaki, buradaki büyük d s yani çevrim entegralinden, yay üzerine entegralden alan yüzey üzerine entegrale çeviriyoruz. Sağda ve soldada da yüzeyler olduğu için ve bunu her çeşit yüzey için geçerli olduğu için burdan n ve d s'lerden bağımsız olan bu eşitliği buluyoruz. Bu da üçüncü denklemi elektromanyetizmanın. Dördüncü denklemde gene böyle bir olay keşfetmişler, bunu biz fizikçilerin işi, elektrik mühendislerinin işi, bu da gene sol taraftaki gene aynı bir evvelki yapıda bu Stokes teoremine uygun, Stokes teoremini uyguladığımız zaman bu bu b t üzerine bakınız burada e t vardı, bu b'nin rotasyoneli çıkıyor. Şimdi ne oldu? İki tarafta da rastgele yüzeyler üzerine entegrallerin eşitliği gerekiyor. Dolayısıyla n d s'siz, buradaki terimlerin eşit olması ancak bütün alanlar üzerine entegrali sağlayabilir. Bu da elektromanyetizmanın dördüncü denklemi oluyor. Şimdi burada denklemleri çıkarmış bulunuyoruz. Bunları biraz daha incelemeye çalışalım. Buradan çünkü biliyoruz ki elektromanyetizmanın en önemli bir özelliği dalga yayınlaması, bir ışınlama olması. Beni görüyorsunuz çünkü yüzümden yansıyan elektromanyetik dalgaları bir şekilde makinaya alıp sizlere iletebiliyoruz. Şimdi bunları inceleyelim. Bir de ortamda elektrik yükü ve elektrik akımı olmadığını varsayalım. O zaman bu denklemlerin, deki q ve ji'leri yok ettiğimiz zaman, buradaki q ve ji'leri yok ettiğimiz zaman daha sade denklemlerle karşılaşıyoruz. Dört tane denklem oluyor. Gördüğünüz gibi e'nin diverjansı sıfır, b'nin diverjansı sıfır. e'nin rotasyoneli b'nin zamana göre türevine eşit, b'nin rotasyoneli de bir katsayılara birlikte e'nin zamana göre türevine eşit. Şimdi bu ortamlarda havanın içinde de bir miktar elektrik yükü olduğunu düşünebilirsiniz ama ihmal edilecek ölçüde olduğu için beni, benim yüzümden gelen elektromanyetik dalgaları elektrik yükü olmayan bir ortamda yayılıyorlar. Şimdi onun için bu j ve q'nun sıfır olduğu denklemler önemli. Biz bu denklemlerde ne yapmamız lazım? Gördüğünüz gibi iki tane elimizde denklem var. e ile b arasında. Eğer biz b'leri yok edip sırf e cinsinden, e'leri yok edip sırf b cinsinden denklemler bulabilirsek işimiz epeyce kolaylaşabilir. Onun için bunu biraz daha ilerleme yapabilmek için şöyle yapalım. Birinci denklemin rotasyonelini alalım. Daha önce gördüğümüz bir özellik vardı. Bir rotasyonelin rotasyoneli, onu birazdan göreceğiz, iki tarafta da bunun rotasyonelini aldık. Bunun rotasyonelini aldık, sağdaki denklemin de rotasyonelini aldık. Şimdi bakınız birincisini önce alalım. Burada rotasyonelin rotasyoneli var e'nin. Burda rotasyonel dolayısıyla b'nin t'ye göre türevi var. Burda da denklemin t'ye göre türevini alalım. Bakınız burda b'nin t'ye göre türevi var. Burada da zaten birinci türevi vardı o zaman ikinci türevi oluyor. Gördüğünüz gibi buradaki sağdaki terimle soldaki terim aynı. Bunları birbiriye toplarsak bakınız sol tarafta da bu rotasyonel bulunacak, sağ tarafta da. Bunlar birbirini yok eder. Demek ki sol tarafta bu kalır, sağ tarafta da bu zamana göre ikinci türev kalır. Bir adım daha ilerleriz. Rotasyonelin rotasyonelinin şöyle bir büyüklük olduğunu gördük temel özellikler arasında. Laplasyenin eksi işaretlisi, diverjansın da gradyanı. Ama e'nin diverjansı sıfırdı elektromanyetizmada. Bakınız bunu bulduk eğer ortamda elektrik yükü yoksa. Biz de o durumu inceliyoruz. Dolayısıyla burada sadece eksi laplasyen e kalır. Sol tarafta bizim eksi rotasyonelin rotasyoneli vardı. Demek ki burada laplasyen kalır. Sağ tarafta bakınız bazı katsayılarla birlikte e'nin t'ye göre ikinci türevi vardı. Bu katsayılara da bir bölü c kare dersek, gördüğünüz gibi laplasyen eşittir zamana göre ikinci türev oluyor. Bu da bir dalga denklemi. Gördüğünüz gibi gene fiziki kökeni çok farklı olan bir ortamda yani elektromanyetizmayla katı cisimlerdeki titreşimlerin, gazlardaki titreşimlerin aynı kökenlere, aynı denkleme vardığını gördük. Bu yaptığımız işlemleri b'yi sadeleştirip e üzerinden çalışmıştık. Tersini de yapabiliriz, e'yi sadeleştirip b üzerinden çalışabiliriz. O zaman da aynı bu denklemin eş değerini buluyoruz. Burada c'yi yukarda burada aşağıda kalmış ama aynı şey c'yi bu tarafa getirirseniz. Gene bir dalga denklemi buluyoruz ve elektromanyetizmanın denklemlerini çıkarmış oluruz. Ve bakınız burada kullandığımız altıncı haftada gördüğümüz en temel şeyler. Green Gauss teoremi veyahut diverjans teoremi, Stokes teoremi ve vektörlerin işlemleri. Rotasyonelin rotasyoneli, laplasyen, diverjans, gradyan hepsinin bir arada peşpeşe geldiğini görüyoruz. Bunla da sizlere bu öğrendiklerinizin çok ciddi temel uygulamaları olduğunu vurgulamak için bu örnekleri getirdim. Ve böylece de doğanın temel kuralarını da fiziki kökenler çok farklı omak üzere matematiğin birleştirici gücünü görüyoruz. Gene bir şey daha yapmak istiyorum. O da bir vektör alanını bir gradyan ve bir rotasyonel olarak ayrıştırabileceğimizi görmüştük. Burada bir fi, üç tane de p'den bileşim var. Dört bilinmeyen. Burada halbuki üç denklem var. Bunu dörde tamamlamak için bir ilave kısıtlama daha getirmek lazım. Bu tek kısıtlama değil ama en kullanışlı kısıtlama. p'nin de diverjansı sıfır olmalı ki dört bilinmeyene karşı dört denklem olsun. Dört bilinmeyen bir fi üç tane de p olmak üzere dört bilinmeyen, denklem sayısı da üç tane bu vektör denkleminden bileşenlerinden birinci, ikinci, üçüncü bileşeni birde diverjans bir sayısal bir ifade olduğu için de bir denklem. Benzer olarak b'yi de bu potansiyellerine ayıralım. Bu f sayısal bir potansiyel, r vektör potansiyeli. Benzer olarak fi sayısal potansiyel, p vektör potansiyeli. Bu ayrıştırmaları düşünürsek şimdi şu denklemleri de bulmuştuk. 467'nci sayfada bu temel bulduğumuz denklemlerden birisiydi. Şu denklemleri bulmuştuk. Şimdi bunları işlemek istiyoruz. Birinci denklemde e'yi yereştirirsek bakınız gradyanın rotasyoneli olacak, e gradyanın rotasyoneli sıfırdır. Bunu da temel özdeşliklerden biliyoruz. Bu düştü. Buradan ise rotasyonelin rotasyoneli geliyor. E rotasyonelin rotasyoneli bize laplasyen veriyordu bir eksi farkıyla. Dolayısıyla burada da zaten bir eksi var. Dolayısıyla ordan kurtuluyoruz. Bunu da götürüp aldığımız zaman, yani bu yerleştirdiğimiz zaman gradyanın rotasyonelini alacağız, rotasyonelin rotasyonelini alacağız. Gradyanın rotasyoneli düşecek gene. Geriye sadece bu rotasyonelin rotasyoneli kalıyor. E rotasyonelin rotasyonei de aynı buradaki p'deki olduğu gibi laplasyen veriyor. Bizim temel denklemlerimizden bir tanesi de bunların yanı sıra e'nin diverjansı sıfırdı, b'nin diverjansı sıfırdı. Bunlar bizim aklımızdan yazdığımız şeyler değil. Denklemlerden korunum yasalarından geldi. Demek ki e'yi bu şekilde alırsak e'nin diverjansı laplasyen verir. Bir rotasyonelin diverjansı da bu vektör işlemleriyle ilgili temel özelliklerden. O da sıfır olur. Dolayısıyla e'nin diverjansından sadece laplasyen fi kalır. O da eşit sıfır olur. Benzer olarak da b'nin diverjansından sıfır kalır. Bu denklemlerde de gördüğünüz gibi laplasyen geldi. b'nin t ye göre türevi geldi. Burada gene b'nin b ile ilgili rektör potansiyelinin laplasyeni geldi. Bir eksi işareti hep oluyor zaten. Bu eksi de kendini burda gösteriyor. bu katsayılar kere d e d t kaldı. Şimdi burada önemli bir sonuç bulmuş oluyoruz, Biz bu denklemlerde sayısal potansiyellerin laplasyeninin sıfır olduğunu görüyoruz. Bu mesela elektrik potansiyeli diyoruz. İşte elektrik potansiyelinin sağladığı denklem bu. Öbürkülerde ise p ile b arasında ilişki var. r ile de e arasında ve çok birbirine de benzer ilişkiler. Yalnız hemen şunu yapabiliriz. Bu denklemlerin rotasyonelini alalım. Bakınız burada rotasyonel p gelir bunun laplasyeni olur. Burada da b'nin rotasyoneli. E b'nin rotasyonelinin r'nin laplasyeni olduğunu biliyoruz. Laplasyenleri de düşürünce geriye bu denklem kalıyor. Görgüğünüz gibi p'nin rotansiye, rotasyoneli r'nin zamana göre türevi. r'nin rotasyoneli de p'nin zamana göre türeviyle ilişkili. Şu sonuca varıyoruz. Bakınız sayısal potansiyeller birbirinden bağımsız. Bu elektrik potansiyelinin laplasyeni sıfır. Bu da manyetik alanın rotasyoneli o da, laplasyeni o da sıfır. Yani bunlar birbirinden bağımsız ama p ile r yani vektör potansiyelleri ikisi de birbirine bağımlı. Bu önemli bir sonuç. Biraz daha bir ilerleme yaparsak gene bu temel özdeşliklerimizi hep gözümüzün önünde bulunsun diye tekrar yazıyorum. Bunlardan dalga denklemleri elde etmeye çalışacağız. Yani sekizinci adım dediğim de bu. Şu denklemleri bulmuştuk. Burada bulduğumuz bu son iki denklem. Bunlar daha ayrışmamış durumda p'yle r bir arada, r'yle p bir arada. Şimdi bunlardan birincisinin rotasyonelini alsak, ne oluyor gene? Rotasyonelin rotasyeni oluyor p cinsinden. Burdan eksi p'nin laplasyeni geliyor. İkinci denklemde t'ye göre bir türev var. Bunun rotasyonelini alıyoruz. Burada yapılan yeni bir işlem yok. İkinci denklemde ise bu denklemin t'ye göre kısmi türevini alalım. Sol tarafta yapacak bir şey yok. Sağ tarafta ise birinci türev vardı. İkinci türev geliyor. Şimdi ne kazandık? Şunu kazandık. Bakınız bunun sağ tarafında t'ye göre türevin rotasyoneli var. Burda rotasyonelin t'ye göre türevi var. Bu gene Clairaut teoreminde t ile bu gradyan işlemcisinin içinde bulunan x, y, z birbirinden bağımsız değişkenler olduğu için türevin sırası değiştirilebilir. Bunu göz önünde tutarak, bu birinci denklemle ikinci denklemi topladığımız zaman bakınız sağ tarafta bu terim var. Bunun da sol tarafında bu terim var. Topladığımız zaman bunlar birbirini götürür. Dolayısıyla sol tarafta sadece eksi laplasyen kalır. Sağ tarafta da eksi t'ye göre ikinci türev kalır bu katsayıda. Bir eksi burda var. Bir eksi burda var. Onlar da birbirini götürdüğü için, bakınız laplasyen eşittir bir sayı kere t'ye göre ikinci türev. E bu da bir dalga denklemi. Demek ama önemli bir kazanımımız var. Çünkü çünkü p artık r'den bağımsız oldu. Demek ki denklemleri çözmek için p cinsinden çalişmak çok daha kolay olacak. Çünkü üç bilinmeyenli üç denklem. Halbuki sekiz bilinmeyenli sekiz denklem çözmemiz gerekecekti başlangıçta. Aynı işlemleri bu sefer öbür sırada yaparsak yani birinci denklemde t'ye göre türev alıp ikinci denklemde rotasyoneli alırsak aynı işlemler tekrarlanır ve gene buradaki bu katsayı olmak üzere bu sefer r cinsinden bir dalga denklemi bulunur. Bu da gene çok önemli bir kazanım. Sekiz bilinmeyenli denklemlerle uğraşacağımız yerde, üç bilinmeyen bir arada, üç bilinmeyen bir arada denklemle uğraşıyoruz. Bu da büyük bir kolaylık sağlıyor. Gene dalga denklemini bulduk. Daha önce de sürekli ortamlarda katı cisimlerdeki elastise denklemlerini ve gazlardaki akustik denkleminden de aynı dalga denklemlerine ulaşmıştık. İşte burada da fiziki kökenleri oldukça farklı alanlarda bile aynı denklemlere varıldığını görüyoruz. Çünkü doğanın temel denklemleri çok başından itibarende bunu defalarca gördük üç türde oluşuyor ve bu da matematiğin gücünü, toparlayıcı birleştirici gücünü gösteriyor. Çünkü fiziki kökenleri çok farklı olaylar bile aynı denklem altına geliyor. Bu sonuçları derlersek, yani doğanın korunum yasalarından elde ettiğimiz temel diferansiyel denklemleri şu üç türü, daha önce de gördüğümüz bu üç türü bu sefer çıkararak bulmuş oluyoruz. Dalga denklemi. Bu elastodinamikten, gaz dinamiğinden, elektrodinamikten gelen denklemler. Bazen sayısal fonksiyon bazen vektör fonksiyonu cinsinden. Ama bu vektör fonksiyonunu da birinci, ikinci, üçüncü bileşen cinsinden ayırırsak işte bunun gibi sayısal dalga denklemleri olacak. Ama üç tane bir arada olacak. Bunlar hiperbolik türden ve bunlar dalga denklemleri. Benzer olarak ısı denklemini yaptığımız zaman sol taraf gene laplasyen çıkmıştı. Sağ tarafta ise ikinci türev değil birinci türev oluyor. Buna da sızma denklemi veya batı dillerinden gelen difüzyon denklemiyle Türkçe'de de kullanıyoruz. Denklemini elde etmiş oluyoruz. Bu parabolik tür ve işte sızma veya difüzyon denklemi diyeceğimiz denklemler. Eğer bir elastisite probleminde elektrodinamikte, gaz dinamiğinde zamandan bağımsızsa olaylar u t'ye bağımlı olmayacaktır. Bu terimler düşer. O zaman sadece laplasyen kalır. Bakınız burada da düşer. Bu zaman t'ye göre ki fiziki anlamı zaman, birinci mertebe türev, o da düşer. Dolayısıyla hepsi de bunların laplasyen denklemine gidiyor. Eğer ortada bir yoğunluk varsa mesela elektrik yükü gibi, bir madde yoğunluğu gibi ısı kaynağı gibi o zaman burada da bir sıfır yerine bir başka terim bulunur. Bu da Poisson denklemine getirir bizi. Bu tür denklemlere de eliptik tür diyoruz. İşte bunlar da gene bu dinamik olayların elastodinamiğin, zamandan bağımsız, t'den bağımsız olan hali elektrostatik oluyor. Termodinamikte termostatik oluyor bu ısı denkleminden ve elektrodinamikte de elektrostatik denklemi oluyor. Bunlar da Laplace ve Poisson denklemleri olarak birincisi Laplace, ikincisi Poisson denklemleri olarak bulmuş oluyoruz. Başında gerekçesini vermeden ve örneklerle desteklemeden bu üç tür olacağını söyemiştik ve bu denklemlerin çıkarılması da kısmi türevli çalışmaların en önemli amaçlarındandır. Amaçları gördük. Araçları da bir gözden geçirelim. Bu denklemleri çıkarmak, bu amaçlara ulaşmak için kullandığımız araçlar da Green-Gauss ve Stokes teoremleri. Gradyan, diverjans, rotasyonel ve laplasyenin uygulamaları ile vektörlerin sayısal ve vektör potansiyellerine ayrıştırılmasını gördük. Yani oldukça zengin bir araç türünü de anamlı örneklerde uygulama fırsatı elde ettik. Altıncı haftaki derste bu Green-Gauss teoremi ve Stokes teoremiyle ilgili hesaplamalar gördük çeşitli geometriler üzerine. Onları da yapabilmek önemli. Fakat bu hesaplamaların ötesinde yani sayısal hesaplamaların ötesinde bu denklemleri çıkarabilmek için de bu Stokes ve Gauss Green teoremlerinin kullanılmasını bilmek en önemli. Zaten bu teoremler de bu denklemleri çıkarabilmek amacıyla uğraşılar sonunda kendiliğinden ortaya çıkmış konulardır. Umuyorum bilgilerinizde zenginleşmeler olmuştur. Bir son söz yazacağım ama bunu yazmadan evvel sizlerin de biraz üzerinde düşünmenizi bekliyorum neler getirdi bu ders size. Onları da, hatta bana e-mail de atarsanız memnun olurum. Hepinize iyi gelecekler diliyorum. Umuyorum burada kazandığınız bilgileri, temel bilgileri gerek fiziki bilimlerde gerek teknoloji ve mühendislik bilimlerinde göreceğiniz derslerde kullanma fırsatı bulacaksınız. Hepinize iyi günler. Başarılar. Hoşça kalın
