Итак, дорогие друзья, пришло время обсудить, как разобранные ранее методы, особенно выделения регулярных ветвей и определения разрезов, работают на практике и эта наша лекция и вся неделя будет посвящена практическим упражнениями, а именно с демонстрацией, как все наши методы позволяют нам брать интегралы более сложных типов. Итак, давайте рассмотрим первый интеграл - это стандартный интеграл, он разобран в вашем учебнике Лаврентьев, Шабат и тем не менее я считаю, что он настолько хорош, что стоит обсудить его действительно и прямо на лекции. Итак, давайте приступим. Вот, собственно, сам по себе наш интеграл. Итак, что же можно о нем сказать, мы видим, что есть кубический корень, то есть у нас подинтегральная функция - это в общем-то многозначная функция комплексного переменного, давайте прям ее отдельно выпишем. Значит мы знаем, что чтобы доопределить ее однозначно в комплексной плоскости, необходимо провести разрез и вообще правила взятия таких интегралов, одно из главных правил состоит в том, чтобы разрез нужно по возможности проводить так, чтобы он совпадал с контуром. Мы видим, что у нас здесь 2 точки ветвления "z=1-1" и, соответственно, конечно и контур у нас, как раз проходит между этими двумя точками ветвления и в соответствии с правилом, только что озвученным, хотелось бы провести разрез от "-1 до 1". Давайте так и сделаем, давайте проведем этот наш разрез и мы видим, что контур попал внутрь нашего разреза, мы вернемся к этому моменту несколько позже, а сейчас давайте обсудим главное, мы знаем, что такие разрезы в принципе опасны тем, что они не всегда определяют нашу функцию однозначным образом. Итак, первая наша проверка состоит в следующем, определяет ли этот разрез однозначно нашу многозначную функцию. Для этого, как мы помним, просто нужно сделать следующее, нужно отследить, как изменяется функция при движении по замкнутому контуру вокруг всего разреза, а именно вернется ли она к прежнему значению. Мы же видим, что при таком вращении аргумент числа "1-z" и видно, что это просто число оно поворачивается на "2Пи" против часовой стрелки, то есть в положительном направлении. Итак, изменение аргумента числа "1-z" - это есть "2Пи", равным образом, как и изменение аргумента числа "1+z", вот она, так же поворачивается против часовой стрелки и оно тоже равняется "2Пи" и по этой причине, конечно, изменение аргумента всей нашей функции - это есть, что "Дельта arg f" - это и есть степень "-1/3" общая, значит "1-z" входят под корень в первой степени - это будет "2Пи", а "1+z в квадрате", значит вторая степень "+2" умножить на "2Пи" и получается таким образом "-2Пи". Итак, аргумент функции, к счастью, тоже совершает полный оборот и она возвращается к своему прежнему значению. Эта проблема решена, значит функция определена однозначно, теперь давайте определимся с нашим контуром, как поступить, сейчас он лежит внутри нашего разреза. Общая идеология всей теории функций комплексного переменного, состоит в том, чтобы контуры каким-то образом замкнуть, поэтому единственно возможный вариант, который по сути для нас остается - это следующее, нужно пустить контур чуть выше нашего разреза, ну скажем слева направо, можно вообще-то и справа налево, сейчас я об этом скажу отдельно, затем обогнуть одну точку ветвления, вернуться по точно такому же контуру, но вдоль нижнего берега разреза, замкнуть и получается такая гантелька, то есть получился некий замкнутый контур, идея как обычно в том, чтобы выразить интеграл по замкнутому контуру, через исходный интеграл, а интеграл уже по замкнутым контурам посчитать по теореме вычетов. Так, давайте посмотрим удастся ли сделать первый пункт, а именно выразить интеграл по замкнутому контуру, через наш исходный интеграл. Видно, что у нас этот интеграл по замкнутому контуру, состоит из четырех подконтуров, а именно обозначим это контур, как бы с символом "+", этот контур с символом "-", это у нас будет "Эпсилон 1", а это будет "Эпсилон -1", то есть окружность, соответственно, "Эпсилон" каждая с центром в точке "1" и "-1". Итак, интеграл по замкнутому контуру теперь у нас равен, интеграл давайте обозначим так "I++I-+I эпсилон 1+I эпсилон -1", давайте сначала сконцентрируемся на интегралах "I+" и "I-". Итак, прежде всего, мы помним, что коль скоро у нас есть многозначная функция, нужно выделить каким-то образом регулярную ветвь, как же мы это сделаем? А вот смотрите, у нас вот интеграл, контур которого идет чуть выше верхнего берега разреза, его конечно хочется отождествить с исходным интегралом, давайте так и сделаем, то есть мы будем считать, что наша многозначная функция "f от z", она принимает значение, которое есть значение арифметического корня на верхнем берегу разреза, это и будет определение нашей регулярной ветви. Итак, "f" от "x" "+I0" - это есть просто арифметический корень, то есть, в данном случае, просто напишут, что это больше 0, когда "x" принадлежит интервалу от "-1" до "1", строго говоря "-1" и "1" конечно включать не надо, но это мелочи. Итак, таким образом у нас регулярный вид выделено и давайте теперь выразим интеграл по нижнему контуру через интеграл по верхнему контуру и да интеграл по верхнему берегу разреза, теперь совпадает с исходным интегралом, поскольку у нас назначение функции совпало с арифметическим значением. Итак, рассмотрим теперь интеграл по нижнему берегу разреза, для того чтобы его выразить через интеграл по верхнему, необходимо просто сравнить значение регулярных ветвей нашей многозначной функции, сверху и снизу. Итак, давайте так и сделаем. Запишем, что же такое "f" от "x-I0", вот скажем у нас 2 точки, значит это "x+I0", а это "x-I0" и видно, что они просто связаны перемещением по такому замкнутому контуру и давайте, чтобы было лучше видно, выделю отдельным цветом - это не дополнительный контур - это просто вспомогательный контур, который помогает нам определить значение регулярной ветви в точке "x-I0". Итак, что же происходит, когда мы движемся отсюда сверху вниз. Видно, что у нас число "1+z", оно вообще никак не вращается и его аргумент не поворачивается, то есть при вращении аргумента будет 0, а вот при вращении аргумента числа "1-z" - это собственно "2Пи", причем по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, давайте так и напишем, что дельта "arg" "1-z" равняется "-2Пи", а дельта "arg "1+z" - это просто 0, как следствие, у нас изменение аргумента всей функции - это есть "-2Пи в степени "-1/3" и просто напросто "0" в степени "-2/3", то есть получается "2Пи на 3". Итак, таким образом, мы теперь можем записать, что у нас "f от x-I0" = "f от "x+I0" на "е" в степени "2Пи i/3" и коль скоро мы установили связь между двумя функциями, теперь легко выразить интеграл по замкнутому контуру, через наш исходный интеграл. Давайте это сделаем.
