[МУЗЫКА] В качестве первого из применений теоремы Коши и её следствий рассмотрим как получается известное вам разложение Тейлора немного под другим ракурсом, в частности, для аналитических функций комплексной переменной z. Для этого рассмотрим функцию f(z), которая аналитична на контуре C и внутри него. Пусть точка a — некоторая точка в этом контуре, и точка a + h — другая точка в этом контуре, и мы построим ряд, который позволяет получить выражение для функции f в точке a + h через интеграл по контуру и в дальнейшем через производную функции f в точке a. Чтоб быть более конкретным, напишем одно из следствий теоремы Коши в следующем виде... [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Здесь мы всего лишь воспользовались тем, что функция f(z) аналитична на контуре и внутри него. После этого можно построить формальное разложение Тейлора и сделать его строгим, если учесть явный вид остаточного члена в следующем виде. Да, раскладываться мы, соответственно, будем по степеням параметра h, так что первые несколько членов выражения можно написать следующим образом: это интеграл по контуру C... И для того, чтобы построить это разложение, мы просто можем разложить эту дробь. Первый член — это, конечно, просто z – a. Дальше возникают производные функции 1 * z – a, умноженные на степени параметра h. Для того, чтобы несколько сократить вывод, я не буду явно выписывать первые n членов ряда и остаточный член, но имейте в виду, что в условиях, в которых мы работаем, то есть когда функция f(z) аналитична на контуре С и внутри него, можно оценить явным образом остаточный член и показать, что он стремится к нулю с ростом количества членов в разложении. Это классическая теорема, вы можете найти её в учебнике. Сейчас мы просто получим явный вид нескольких первых членов. То есть, во-первых, из структуры выражения очевидно, что оно будет иметь вид ряда по отрицательным степеням h... [БЕЗ_ЗВУКА] Да, ещё раз обращу ваше внимание, что для того чтобы доказать сходимость этого ряда, следует проанализировать свойство остаточного члена, специальным образом оценить его — обратитесь за этим, пожалуйста, к учебнику — но пока давайте посмотрим на первый член этого разложения. То есть, например, a0 имеет вид, который диктуется непосредственно самой теоремой Коши, так как это есть не что иное как значение функции f в точке аi, а0 — это просто интеграл. 1/2π интеграл по контуру C f(z)dz/(z – a) Легко, глядя на это выражение, написать обобщение. Оно имеет следующий вид. an-тое... это 1/2πi интеграл по контуру C f(z)dz делить на (z – a)^n. Теперь давайте осознаем, как же именно это связано с тем, что мы привыкли воспринимать как разложение Тейлора в классическом действительном анализе. Посмотрим на это выражение по-другому. Его можно написать следующим образом... [БЕЗ_ЗВУКА] То есть домножим и разделим на n-факториал. [БЕЗ_ЗВУКА] В принципе, из такой формы записи мы можем предположить, что комбинация an/n! предстваляет собой не что иное как n-тую производную функции f в точке a. Ну действительно, по предположению мы знаем, что такая производная существует Давайте попробуем вычислить её другим способом, а именно: напишем, что f(a) — давайте вот так вот скажем — мы знаем, что внутри контура f(z) есть просто интеграл по контуру С dz'f(z') z' – z. Ну и действительно мы видим, что если мы в это выражение подставим вместо z a, то мы сразу же осознаем, что f(a) есть не что иное как a0. Таким образом отсюда уже следует, что а0 — это f(a). И действительно, это означает, что первый член этого ряда воспроизводит известную вам формулу Тейлора. Теперь давайте перепишем это немного иначе f(a) — это 1/2πi интеграл по контуру [БЕЗ_ЗВУКА] z – a. Теперь видно, что если мы начнём это выражение дифференцировать по a, то n-тая производная функции в точке a будет даваться ничем иным, как... [БЕЗ_ЗВУКА] Достаточно продифференцировать по a выражение, стоящее здесь в виде дроби 1/(z – a), и это нам даст просто n!/(z – a)^n. Таким образом, из сопоставления выражений для an-того и для n-той производной функции f в точке a мы увидим что, действительно, при использовании связи вот этих двух соотношений мы видим, что наше разложение, которое мы получили в рассматриваемых условиях, то есть когда функция аналитична внутри всего круга и производная существует, превращается в хорошо известное нам разложение Тейлора вида h^n/n! f^(n) в точке a. И это объясняет название этой теоремы как теоремы Тейлора. [МУЗЫКА]
