Característica comum dos Polos em Malha Fechada

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Controle de Sistemas no Plano-s

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

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Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.

From the lesson

O Lugar Geométrico das Raízes

Neste módulo você aprenderá o que é o Lugar Geométrico das Raízes, também conhecido como Root Locus e aprenderá também como esboçar o LGR a partir da função de transferência do sistema em malha aberta.

O que é o Lugar Geométrico das Raízes - LGR - Root Locus3:45

Característica comum dos Polos em Malha Fechada7:45

Controle Proporcional Usando o LGR6:02

Exemplo de Projeto de Controle Proporcional no Plano-s4:12

Meet the Instructors

Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle

Após esse vídeo você será capaz de explicar que característica comum dos

polos malha fechada é utilizada para determinar o Lugar Geométrico das Raízes.

Dada uma função de transferência malha aberta G(s) a função de

transferência malha fechada para "iii" unitária negativa e ganho

proporcional K é T(s) = kG(s) / 1 + kG(s) Os polos da função

de transferência malha fechada, que são as raízes do polinômio denominador,

são as raízes da equação 1 + kG(s) = 0 Para caracterizar bem esses polos,

ou as raízes do denominador, vamos denotar as raízes por □k,

S é a variável complexa e □k são as raízes da equação para valor específico de k.

Então temos 1 + kG(□k) = 0 Podemos escrever essa

igualdade como kG(□k) = -1 Ou ainda como G(□k)

= -1 / k G(□k) é número complexo.

Na verdade, como k é número real G(□k) é número real,

mas todo número real é também número complexo, e podemos escrever a fase

de G(□k) é igual à fase de -1/k E o módulo de

G(□k) é o módulo de -1/k Considerando apenas o caso K maior 0,

-1/k é número real negativo e a fase de -1 / k é -180°.

Ou seja, a fase de G(□k) dever ser -180°.

Na verdade, a fase de G(□k) também pode ser +180°,

-540°, +540° -900°, +900° etc,

já que podemos dar várias voltas no sentido horário

ou anti-horário e continuaremos tendo número real negativo.

Depois você pode pensar no que acontece se k for menor que 0.

Então, na verdade temos G(□k) =

-180° + l360°, onde l é número inteiro.

Muito bem, como essa igualdade angular

vale para qualquer k maior que 0, podemos até retirar o índice K do □.

Então, qualquer que seja o valor de ganho k maior que 0,

as raízes do denominador da função de transferência malha fechada

devem respeitar a seguinte equação: fase de G(□k)=-180º + l360º,

e é essa característica angular que usamos

para determinar e esboçar o lugar geométrico das raízes.

Vamos conferir essa igualdade para o lugar geométrico das raízes de

sistema de primeira ordem com o 0, e para sistema de segunda ordem sem zeros.

Já vimos que o lugar geométrico das raízes para T(s) = k (s+b) /

s+a+k(s+b) é o trecho da reta real que vai de -a até -b.

Vamos pegar ponto entre -a e -b que denotaremos por -c.

A função de transferência malha aberta é s+b/s+a e

G(-c) será -c + b / -c + a e

a fase de G(-c) será a fase de -c +

b / -c + a Como a fase da divisão é a fase do numerador menos a fase do denominador,

temos: fase de G(-c) é igual a fase de (-c + b) menos a fase de

(-c + a) Como -c < -b e -c > -a,

temos -c + b <0 e -c + a > 0 E,

portanto, a fase de -c + b = -180° e a fase de -c+a = 0°.

E então a fase de G(-c) =- 180° Ou seja,

como era de se esperar, a fase de polo malha fechada é -180°.

Se -c<-b e -c<-a ou se

-c > -b e -c > -a, teremos a fase

de G(-c) ≠ -180° +l360°,

ou seja, não temos polos malha fechada à esquerda de -a e à direita de -b.

Já vimos também que para uma função de transferência malha aberta G(s) =

1 / s (s+a) o lugar geométrico das raízes do denominador da função de transferência

malha fechada é composto pelo trecho da reta real entre 0 e -a, e a reta

com parte real -a / 2 e parte imaginária variando de -infinito a +infinito.

Vamos analizar primeiro ponto -c entre 0 e -a,

e depois ponto com parte real -a/2 e parte imaginária D.

A função de transferência malha aberta é 1 / s(s + a).

A fase de G(s) será a fase de 1 / s(s + a) Como a fase do produto é a soma

das fases e a fase da divisão é a fase do numerador menos a fase do denominador,

temos fase de G(s) é igual a fase de 1 menos a fase de s menos a fase de s + a.

A fase de 1 é 0º, então temos a fase de de G(s)

é igual a menos a fase de s menos a fase de s+a Para s = -c

temos: menos a fase de -c menos a fase de -c + a.

Como -c < 0 e -c > -a,

temos: -c+a>0 e a fase de G(-c)

será igual a 180° para s = -a /

2+dj a fase de G(-a2 + dj) será

igual a fase de -a / 2+dj menos a fase de a / 2+dj.

Vamos obter essa fase graficamente.

Temos aqui -a / 2+dj e a/2 + dj,

note que temos triângulo isósceles, esses são os nossos ângulos de interesse.

Note que como a figura é triângulo isósceles, os ângulos internos são iguais

e, portanto, a fase de -a / 2 + dj e a fase

de a / 2 +dj são âgulos suplementares, ou seja, sua soma é 180°.

Então temos que a fase de G(-a / 2 + dj) é igual

a menos a fase de (-a / 2 +dj) mais a fase de (a / 2 + dj) que é igual a -180º.

O que confirma as nossas expectativas.

Agora você já é capaz de explicar que características comum dos polos

malha fechada é utilizada para determinar o lugar geométrico das raízes.

A fase de G(□) precisa ser igual a -180°+l360°.

Então, se a fase de G de determinado ponto no plano S for -180°,

esse ponto é uma possível raiz de 1+kG(s)=0, mas esse ponto só será

uma raiz de 1+kG(s)=0 para determinado valor de k, e não para qualquer k.

No próximo vídeo você verá como calcular o ganho necessário para que o polo

malha fechada esteja ponto especifico do lugar geométrico das raízes,

o que equivale a projetar o ganho de controle proporcional.

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