Após esse vídeo você será capaz de explicar que característica comum dos
polos malha fechada é utilizada para determinar o Lugar Geométrico das Raízes.
Dada uma função de transferência malha aberta G(s) a função de
transferência malha fechada para "iii" unitária negativa e ganho
proporcional K é T(s) = kG(s) / 1 + kG(s) Os polos da função
de transferência malha fechada, que são as raízes do polinômio denominador,
são as raízes da equação 1 + kG(s) = 0 Para caracterizar bem esses polos,
ou as raízes do denominador, vamos denotar as raízes por □k,
S é a variável complexa e □k são as raízes da equação para valor específico de k.
Então temos 1 + kG(□k) = 0 Podemos escrever essa
igualdade como kG(□k) = -1 Ou ainda como G(□k)
= -1 / k G(□k) é número complexo.
Na verdade, como k é número real G(□k) é número real,
mas todo número real é também número complexo, e podemos escrever a fase
de G(□k) é igual à fase de -1/k E o módulo de
G(□k) é o módulo de -1/k Considerando apenas o caso K maior 0,
-1/k é número real negativo e a fase de -1 / k é -180°.
Ou seja, a fase de G(□k) dever ser -180°.
Na verdade, a fase de G(□k) também pode ser +180°,
-540°, +540° -900°, +900° etc,
já que podemos dar várias voltas no sentido horário
ou anti-horário e continuaremos tendo número real negativo.
Depois você pode pensar no que acontece se k for menor que 0.
Então, na verdade temos G(□k) =
-180° + l360°, onde l é número inteiro.
Muito bem, como essa igualdade angular
vale para qualquer k maior que 0, podemos até retirar o índice K do □.
Então, qualquer que seja o valor de ganho k maior que 0,
as raízes do denominador da função de transferência malha fechada
devem respeitar a seguinte equação: fase de G(□k)=-180º + l360º,
e é essa característica angular que usamos
para determinar e esboçar o lugar geométrico das raízes.
Vamos conferir essa igualdade para o lugar geométrico das raízes de
sistema de primeira ordem com o 0, e para sistema de segunda ordem sem zeros.
Já vimos que o lugar geométrico das raízes para T(s) = k (s+b) /
s+a+k(s+b) é o trecho da reta real que vai de -a até -b.
Vamos pegar ponto entre -a e -b que denotaremos por -c.
A função de transferência malha aberta é s+b/s+a e
G(-c) será -c + b / -c + a e
a fase de G(-c) será a fase de -c +
b / -c + a Como a fase da divisão é a fase do numerador menos a fase do denominador,
temos: fase de G(-c) é igual a fase de (-c + b) menos a fase de
(-c + a) Como -c < -b e -c > -a,
temos -c + b <0 e -c + a > 0 E,
portanto, a fase de -c + b = -180° e a fase de -c+a = 0°.
E então a fase de G(-c) =- 180° Ou seja,
como era de se esperar, a fase de polo malha fechada é -180°.
Se -c<-b e -c<-a ou se
-c > -b e -c > -a, teremos a fase
de G(-c) ≠ -180° +l360°,
ou seja, não temos polos malha fechada à esquerda de -a e à direita de -b.
Já vimos também que para uma função de transferência malha aberta G(s) =
1 / s (s+a) o lugar geométrico das raízes do denominador da função de transferência
malha fechada é composto pelo trecho da reta real entre 0 e -a, e a reta
com parte real -a / 2 e parte imaginária variando de -infinito a +infinito.
Vamos analizar primeiro ponto -c entre 0 e -a,
e depois ponto com parte real -a/2 e parte imaginária D.
A função de transferência malha aberta é 1 / s(s + a).
A fase de G(s) será a fase de 1 / s(s + a) Como a fase do produto é a soma
das fases e a fase da divisão é a fase do numerador menos a fase do denominador,
temos fase de G(s) é igual a fase de 1 menos a fase de s menos a fase de s + a.
A fase de 1 é 0º, então temos a fase de de G(s)
é igual a menos a fase de s menos a fase de s+a Para s = -c
temos: menos a fase de -c menos a fase de -c + a.
Como -c < 0 e -c > -a,
temos: -c+a>0 e a fase de G(-c)
será igual a 180° para s = -a /
2+dj a fase de G(-a2 + dj) será
igual a fase de -a / 2+dj menos a fase de a / 2+dj.
Vamos obter essa fase graficamente.
Temos aqui -a / 2+dj e a/2 + dj,
note que temos triângulo isósceles, esses são os nossos ângulos de interesse.
Note que como a figura é triângulo isósceles, os ângulos internos são iguais
e, portanto, a fase de -a / 2 + dj e a fase
de a / 2 +dj são âgulos suplementares, ou seja, sua soma é 180°.
Então temos que a fase de G(-a / 2 + dj) é igual
a menos a fase de (-a / 2 +dj) mais a fase de (a / 2 + dj) que é igual a -180º.
O que confirma as nossas expectativas.
Agora você já é capaz de explicar que características comum dos polos
malha fechada é utilizada para determinar o lugar geométrico das raízes.
A fase de G(□) precisa ser igual a -180°+l360°.
Então, se a fase de G de determinado ponto no plano S for -180°,
esse ponto é uma possível raiz de 1+kG(s)=0, mas esse ponto só será
uma raiz de 1+kG(s)=0 para determinado valor de k, e não para qualquer k.
No próximo vídeo você verá como calcular o ganho necessário para que o polo
malha fechada esteja ponto especifico do lugar geométrico das raízes,
o que equivale a projetar o ganho de controle proporcional.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
