Após esse video, você será capaz de projetar o ganho do controle proporcional
usando o lugar geométrico das raízes, ou outras palavras,
será capaz de obter o ganho necessário para que o polo malha fechada esteja
ponto específico do lugar geométrico.
Você já sabe que os polos malha fechada dependem do valor do ganho k e que polo
malha fechada, ou uma raíz do denominador da função de transferência malha fechada,
deve atender a uma restrição de fase e a uma restrição de módulo.
A fase de G de quadradinho k tem que ser igual a fase de menos 1 sobre k e o
módulo de G de quadradinho de k tem que ser igual ao módulo de menos 1 sobre k.
E você já viu, que a restrição de fase na verdade é: fase de G de
quadradinho k igual a menos 180 graus mais l 360 graus.
Então para verificar se ponto no Plano-s pode ou não ser polo malha fechada,
basta verificar se a fase de G desse ponto é menos 180 graus.
Por exemplo, vamos considerar G de s igual a 1 sobre s s mais
6 e vamos testar 3 pontos e verificar se eles podem ou não ser polos malha fechada,
ou outras palavras, se eles fazem parte do lugar geométrico das raízes.
Os nosso 3 pontos são: s 1 igual a menos 6 mais 6 j; s
2 é igual a menos 3 mais 3 j e s 3 igual a menos 3 mais 4 j.
Já sabemos que a fase de G de s vai ser igual a menos a fase de s menos
a fase de s mais 6.
Vamos calcular as fases de G de s para esses 3 pontos,
a fase de G de s 1 vai ser menos a fase de menos 6 mais 6 j menos a fase de 6 j.
E essas fases são: 135 graus e 90 graus, ou seja,
a fase de G de s 1 vai ser igual a menos 180 graus menos 90 graus,
que é igual a menos 225 graus, então o ponto s 1 não atende
a restrição de ângulo, e ele não faz parte do lugar geométrico das raízes.
Para o segundo, ponto temos a fase de G de s 2 igual a menos a fase de
menos 3 mais 3 j menos a fase de 3 mais 3 j.
Essas fases são 135 graus e 45 graus, ou seja,
a fase de G de s 2 vai ser menos 135 graus menos 45 graus
o que dá menos 180 graus e o ponto s 2 faz parte do lugar geométrico das raízes.
Finalmente para o último ponto, temos a fase de G de s 3 é igual a menos
a fase de menos 3 mais 4 j menos a fase de 3 mais 4 j.
Essas fases são 126,87 graus e 53,13 graus, ou seja,
a fase de G de s 3 vai ser menos 126,87 graus menos 53,13 graus,
o que dá menos 180 graus e o ponto s 3 faz parte do LGR.
Sabemos então que tanto o ponto s 2 quanto o ponto s 3 fazem parte do LGR,
assim como outros infinitos pontos,
mas quando s 2 será polo malha fechada e quando s 3 será polo malha fechada?
Para responder essa questão usamos a restrição de módulo.
A restrição de ângulo nos diz se ponto pode ou não ser polo malha fechada,
enquanto a restrição de módulo nos diz qual deve ser o valor do ganho para que
ponto específico seja polo malha fechada.
Vamos então calcular o valor de k para que s 2 seja polo
malha fechada e depois para que s 3 seja polo malha fechada.
Lembrando então que o módulo de G de quadradinho de k é igual ao módulo de
menos 1 sobre k,
podemos escrever k igual a 1 sobre o módulo de G de quadradinho de k.
Escrevendo ainda, G de quadradinho de k igual a numerador de G de quadradinho de k
sobre denominador de G de quadradinho de k, temos que o k vai ser o módulo do
denominador do quadradinho de k sobre o módulo do numerador de quadradinho de k,
e nosso exemplo, com G de s igual a 1 sobre s s mais 6, temos que o k vai
ser igual ao módulo do quadradinho de k vezes quadradinho de k mais 6 sobre 1.
Como o módulo do produto é o produto dos módulos, temos k igual a módulo de
quadradinho de k vezes o módulo de quadradinho de k mais 6.
Para s 2 igual a menos 3 mais 3 j nós temos: k igual ao
módulo de menos 3 mais 3 j vezes o módulo de 3 mais 3 j,
ou seja, k igual a 18, vamos conferir?
O T de s é k sobre s ao quadrado mais 6 s mais k,
com k igual a 18 temos: T de s igual a 18 sobre s ao quadrado mais 6 s mais 18
e as raízes de s ao quadrado mais 6 s mais 18 são menos 3 mais ou menos 3 j,
ou seja, s 2 é polo malha fechada, se k é igual a 18.
Vamos fazer o mesmo para s 3.
Para s 3 igual a menos 3 mais 4 j,
temos k igual ao módulo de menos 3 mais 4 j vezes o módulo de 3 mais 4 j,
ou seja, k igual a 25.
Com k igual a 25 temos: T de s igual a 25 sobre s ao quadrado mais 6 s mais
25 e as raízes de s ao quadrado mais 6 s mais 25 são menos 3 ou mais ou menos 4 j,
ou seja, s 3 é polo malha fechada se k é igual a 25.
Recapitulando, nós usamos a condição de ângulo para verificar
se ponto pode ou não ser polo malha fechada e uma vez confirmada que o ponto é
potencial polo malha fechada, usamos a condição de módulo,
para fazer com que esse ponto seja realmente polo malha fechada.
Agora você já é capaz de projetar o ganho do controle proporcional,
usando o lugar geométrico das raízes, desde que o polo desejado faça parte dele.
No próximo vídeo, vamos ver exemplo completo do projeto de
ganho proporcional no Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
