Controle Proporcional Usando o LGR

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From the course by Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle de Sistemas no Plano-s

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Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.

From the lesson

O Lugar Geométrico das Raízes

Neste módulo você aprenderá o que é o Lugar Geométrico das Raízes, também conhecido como Root Locus e aprenderá também como esboçar o LGR a partir da função de transferência do sistema em malha aberta.

O que é o Lugar Geométrico das Raízes - LGR - Root Locus3:45

Característica comum dos Polos em Malha Fechada7:45

Controle Proporcional Usando o LGR6:02

Exemplo de Projeto de Controle Proporcional no Plano-s4:12

Meet the Instructors

Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle

Após esse video, você será capaz de projetar o ganho do controle proporcional

usando o lugar geométrico das raízes, ou outras palavras,

será capaz de obter o ganho necessário para que o polo malha fechada esteja

ponto específico do lugar geométrico.

Você já sabe que os polos malha fechada dependem do valor do ganho k e que polo

malha fechada, ou uma raíz do denominador da função de transferência malha fechada,

deve atender a uma restrição de fase e a uma restrição de módulo.

A fase de G de quadradinho k tem que ser igual a fase de menos 1 sobre k e o

módulo de G de quadradinho de k tem que ser igual ao módulo de menos 1 sobre k.

E você já viu, que a restrição de fase na verdade é: fase de G de

quadradinho k igual a menos 180 graus mais l 360 graus.

Então para verificar se ponto no Plano-s pode ou não ser polo malha fechada,

basta verificar se a fase de G desse ponto é menos 180 graus.

Por exemplo, vamos considerar G de s igual a 1 sobre s s mais

6 e vamos testar 3 pontos e verificar se eles podem ou não ser polos malha fechada,

ou outras palavras, se eles fazem parte do lugar geométrico das raízes.

Os nosso 3 pontos são: s 1 igual a menos 6 mais 6 j; s

2 é igual a menos 3 mais 3 j e s 3 igual a menos 3 mais 4 j.

Já sabemos que a fase de G de s vai ser igual a menos a fase de s menos

a fase de s mais 6.

Vamos calcular as fases de G de s para esses 3 pontos,

a fase de G de s 1 vai ser menos a fase de menos 6 mais 6 j menos a fase de 6 j.

E essas fases são: 135 graus e 90 graus, ou seja,

a fase de G de s 1 vai ser igual a menos 180 graus menos 90 graus,

que é igual a menos 225 graus, então o ponto s 1 não atende

a restrição de ângulo, e ele não faz parte do lugar geométrico das raízes.

Para o segundo, ponto temos a fase de G de s 2 igual a menos a fase de

menos 3 mais 3 j menos a fase de 3 mais 3 j.

Essas fases são 135 graus e 45 graus, ou seja,

a fase de G de s 2 vai ser menos 135 graus menos 45 graus

o que dá menos 180 graus e o ponto s 2 faz parte do lugar geométrico das raízes.

Finalmente para o último ponto, temos a fase de G de s 3 é igual a menos

a fase de menos 3 mais 4 j menos a fase de 3 mais 4 j.

Essas fases são 126,87 graus e 53,13 graus, ou seja,

a fase de G de s 3 vai ser menos 126,87 graus menos 53,13 graus,

o que dá menos 180 graus e o ponto s 3 faz parte do LGR.

Sabemos então que tanto o ponto s 2 quanto o ponto s 3 fazem parte do LGR,

assim como outros infinitos pontos,

mas quando s 2 será polo malha fechada e quando s 3 será polo malha fechada?

Para responder essa questão usamos a restrição de módulo.

A restrição de ângulo nos diz se ponto pode ou não ser polo malha fechada,

enquanto a restrição de módulo nos diz qual deve ser o valor do ganho para que

ponto específico seja polo malha fechada.

Vamos então calcular o valor de k para que s 2 seja polo

malha fechada e depois para que s 3 seja polo malha fechada.

Lembrando então que o módulo de G de quadradinho de k é igual ao módulo de

menos 1 sobre k,

podemos escrever k igual a 1 sobre o módulo de G de quadradinho de k.

Escrevendo ainda, G de quadradinho de k igual a numerador de G de quadradinho de k

sobre denominador de G de quadradinho de k, temos que o k vai ser o módulo do

denominador do quadradinho de k sobre o módulo do numerador de quadradinho de k,

e nosso exemplo, com G de s igual a 1 sobre s s mais 6, temos que o k vai

ser igual ao módulo do quadradinho de k vezes quadradinho de k mais 6 sobre 1.

Como o módulo do produto é o produto dos módulos, temos k igual a módulo de

quadradinho de k vezes o módulo de quadradinho de k mais 6.

Para s 2 igual a menos 3 mais 3 j nós temos: k igual ao

módulo de menos 3 mais 3 j vezes o módulo de 3 mais 3 j,

ou seja, k igual a 18, vamos conferir?

O T de s é k sobre s ao quadrado mais 6 s mais k,

com k igual a 18 temos: T de s igual a 18 sobre s ao quadrado mais 6 s mais 18

e as raízes de s ao quadrado mais 6 s mais 18 são menos 3 mais ou menos 3 j,

ou seja, s 2 é polo malha fechada, se k é igual a 18.

Vamos fazer o mesmo para s 3.

Para s 3 igual a menos 3 mais 4 j,

temos k igual ao módulo de menos 3 mais 4 j vezes o módulo de 3 mais 4 j,

ou seja, k igual a 25.

Com k igual a 25 temos: T de s igual a 25 sobre s ao quadrado mais 6 s mais

25 e as raízes de s ao quadrado mais 6 s mais 25 são menos 3 ou mais ou menos 4 j,

ou seja, s 3 é polo malha fechada se k é igual a 25.

Recapitulando, nós usamos a condição de ângulo para verificar

se ponto pode ou não ser polo malha fechada e uma vez confirmada que o ponto é

potencial polo malha fechada, usamos a condição de módulo,

para fazer com que esse ponto seja realmente polo malha fechada.

Agora você já é capaz de projetar o ganho do controle proporcional,

usando o lugar geométrico das raízes, desde que o polo desejado faça parte dele.

No próximo vídeo, vamos ver exemplo completo do projeto de

ganho proporcional no Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1.

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