Nesse vídeo, vamos ver exemplo completo do projeto de ganho proporcional do Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1. A função de transferência malha aberta do nosso sistema é 10 sobre s, s mais 10 e o requisito de desempenho será overshoot de no máximo 5% com o menor instante de pico possível. É claro que podemos escrever a função de transferência malha fechada 10k sobre s ao quadrado mais 10s mais 10k e usar as equações 2 ksi ômega n é igual a 10 e ômega n ao quadrado igual a 10k, com ksi igual a 0,69 para determinar ômega n e k. Mas vamos usar o que já sabemos do lugar geométrico das raízes para determinar o polo malha fechada e então o ganho k. Já sabemos que para sistema de segunda ordem do Tipo 1 sem zeros o lugar geométrico das raízes será o trecho da reta real entre o 2º polo e a origem mais a mediana entre 0 e o 2º polo. E o requisito de ksi de no mínimo 0,69 nos leva a ângulo beta menor que 46,37 graus. Podemos traçar a reta com inclinação beta e ver onde ela cruza o LGR. Esse ponto de cruzamento atendo o requisito de desempenho de overshoot e faz parte do LGR, ou seja, é potencial polo malha fechada. A partir do LGR e do requisito de desempenho do Plano-s, temos também que esse ponto é o de mínimo instante de pico que atende ao requisito de overshoot. Podemos calcular esse ponto usando o fato de que a parte real dos polos malha fechada será menos 10 sobre 2, que é igual a menos 5 e o ângulo beta. Podemos escrever: tangente de beta é igual a ômega d sobre 5 e ômega d é igual a 5 vezes a tangente de beta, onde beta é o arco cuja tangente é a raiz de 1 menos ksi ao quadrado sobre ksi. Temos então ômega d igual a 5,25 e os polos malha fechada serão menos 5 mais ou menos 5,25j. E, para que isso aconteça, precisamos ter k igual a módulo de quadradinho vezes o módulo de quadradinho mais 10 sobre 10. Espera aí, de onde veio esse 10 no denominador? Lembre-se de que a restrição de módulo é: módulo de G de quadradinho de k é igual a módulo de menos 1 sobre k. E nesse exemplo temos: G de s é igual a 10 sobre s s mais 10. Portanto o módulo de G de quadradinho de k é o módulo de 10 sobre o módulo de quadradinho de k vezes quadradinho mais 10. E k, que é igual a 1 sobre o módulo de G de quadradinho de k vai ser igual ao módulo de quadradinho de k vezes o módulo de quadradinho mais 10 sobre 10. Calculando k, obtemos: k aproximadamente igual a 5,26. Vamos conferir esse resultado usando o Simulink. Execute o Matlab e crie novo modelo Simulink baseado no template Controlita MF, ajuste o ganho para 5,26, lembre de usar ponto no Matlab, e o Zero Pole para 10 sobre s s mais 10, alterando o segundo polo de menos 2 para menos 10 e o ganho de 1 para 10, altere a Transfer Function para 52,6 sobre s ao quadrado mais 10s mais 52,6 para simular a mesma resposta. Rode a simulação e verifique que o overshoot é de 5 por cento, conforme requerido. Pode alterar o valor do ganho e verificar que aumentando o ganho, o overshoot aumenta e diminuindo-o o overshoot diminui. Mas o instante de pico também diminui. Então o ganho k igual a 5,26 é realmente o que melhor atende aos requisitos de desempenho. Acabamos de ver exemplo completo de projeto de ganho proporcional no Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1. No próximo vídeo, começaremos a ver como fazer esboço rápido do lugar geométrico das raízes.