[MÚSICA] Após esse vídeo você será capaz de aplicar a Transformada de Laplace para obter a função de transferência de sistema e de explicar o que são polos e zeros de uma função de transferência. Você já sabe que pode obter uma representação matemática de sistema na forma de uma equação diferencial e já conhece a Transformada de Laplace e suas principais propriedades. Mas como isso nos ajuda na análise no projeto? Bem, dada uma equação diferencial que rege o comportamento de sistema e que deve ser respeitada para toda e qualquer entrada, por exemplo y 2 pontos mais a1y ponto mais a0y é igual a b0u. Podemos aplicar a Transformada de Laplace aos dois lados da igualdade, seguida usamos a propriedade da linearidade e a propriedade da transformada da derivada considerando condições iniciais nulas, ou seja, y de 0 igual a 0 e y ponto de 0 igual a 0. Podemos colocar Y(s) evidência e podemos escrever a relação entre a Transformada de Laplace da saída e a Transformada de Laplace da entrada e essa relação é válida para toda e qualquer entrada. Essa relação entre a Transformada de Laplace da saída do sistema e a Transformada de Laplace da entrada do sistema para condições iniciais nulas é chamada de Função de Transferência e normalmente é denotada por G(s). Como essa relação é válida para qualquer entrada, podemos usar a Função de Transferência do sistema para obter a Transformada de Laplace da saída para uma entrada específica. Daqui a pouco voltaremos a isso, mas antes de usar a Função de Transferência para obter a saída de sistema para uma entrada específica, vamos ver alguns exemplos da obtenção da Função de Transferência a partir da equação diferencial ordinária. Por exemplo se a equação diferencial do sistema for y 2 pontos mais 2 y ponto mais 3 y igual a 1, aplicando a Transformada de Laplace para condições iniciais nulas, obtemos s ao quadrado Y(s) mais 2 s Y(s) mais 3 Y(s) igual a U(s). Colocando Y(s) evidência e rearranjando os fatores, chegamos a G(s) igual a 1 sobre s ao quadrado mais 2 s mais 3. Outro exemplo: y 3 pontos mais 8y 2 pontos mais 4y igual a 2u. Podemos aplicar a Transformada de Laplace e colocar Y(s) evidência de uma vez e seguida escrever a Função de Transferência. G(s) vai ser igual 2 sobre s ao cubo mais 8s quadrado mais 4s. Mais exemplo: y 2 pontos mais 3y ponto mais 5y igual a 2u ponto mais u. Novamente aplicamos a Transformada de Laplace e colocamos Y(s) e U(s) evidência apenas 1 passo e depois escrevemos G(s) é igual a 2 vezes s mais 1 sobre s quadrado mais 3s mais 5. Você já deve ter notado que podemos escrever a Função de Transferência de sistema apenas copiando os coeficientes da equação diferencial, não notou? No numerador da Função de Transferência temos os coeficientes das derivadas da entrada e no denominador da Função de Transferência os coeficientes das derivadas da saída e o número de derivadas corresponde ao expoente de s. Desse modo, a partir da equação diferencial ordinária podemos escrever diretamente a Função de Transferência e vice-versa. Por exemplo, dada a Função de Transferência G(s) igual a s mais 1 sobre s quadrado mais 5s mais 10. Qual é a equação diferencial correspondente? Simples, a equação diferencial é y 2 pontos mais 5 y ponto mais 10y igual a u ponto mais u. Lembrando então que a Função de Transferência de sistema, normalmente denotada por G(s) por definição é a razão entre a Transformada de Laplace da saída do sistema e a Transformada de Laplace da entrada para condições iniciais nulas e podemos obtê-la facilmente apenas copiando os coeficientes da equação diferencial do sistema, desde que a equação diferencial seja linear e tenha coeficientes constantes. E é isso mesmo o que você está pensando. A equação diferencial, que não é muito simpática e é difícil de se tratar, vai se transformar uma simpática razão de polinômio. Está, a razão de polinômios pode não ser tão simpática assim, mas já é bem mais simpática que a equação diferencial, embora a equação diferencial tenha seu charme. Lembra que eu falei que você poderia considerar que a Transformada de Laplace apenas empacota o nosso sinal? Então, o que temos aqui é a Transformada de Laplace empacotando a entrada, a saída e suas derivadas e é mais simples trabalhar com esse conjunto de pacotes, que são as transformadas, do que com a equação diferencial original. Antes de vermos como usar a Função de Transferência na análise de sistema, vamos ver duas definições de características da Função de Transferência: os polos e os zeros. Os polos de uma Função de Transferência nada mais são do que as raízes do denominador da Função de Transferência, ou os valores de s para os quais o denominador da Função de Transferência se anula. Lembrando que os coeficientes do denominador da Função de Transferência são os coeficientes que multiplicam as derivadas da saída na equação diferencial do sistema, os polos são as raízes do polinômio obtido com esses coeficientes. Os zeros de uma Função de Transferência nada mais são do que as raízes do numerador da Função de Transferência ou os valores de s para os quais o numerador da Função de Transferência se anula. Lembrando que os coeficientes do numerador da Função de Transferência são os coeficientes que multiplicam as derivadas da entrada na equação diferencial do sistema, os polos são as raízes do polinômio obtido com esses coeficientes. Por falta de nome melhor, também chamamos de polos e zeros às raízes do denominador e do numerador de transformadas de Laplace. Vamos fazer parênteses e falar sobre raízes de polinômios com coeficientes reais. Mesmo que você já saiba tudo sobre raízes e números complexos, sempre é bom refrescar a memória. Se você ainda não sabe tudo, vai ficar mais perto disso. Dado polinômio de grau n, s elevado a n mais a n menos 1 s elevado a n menos mais, mais, mais, mais, mais, mais a 2 s ao quadrado mais a 1 s mais a 0, com todos os coeficientes reais, ou seja, a n menos 1, a n menos 2, a n menos 3, tarararararará, a 2, a 1, a 0 são todos números reais. Se você preferir e se sentir mais confortável, podemos trocar o s por x ou por y, mas isso não muda as raízes do polinômio. Vamos chamar o nosso polinômio de P(s) ou P(x) ou P(y) ou P de qualquer variável que você queira usar. Afinal de contas essa variável será substituída por números para o cálculo do valor do polinômio. As raízes do polinômio são os valores para os quais P desse valor é 0. Vamos chamar esses valores, ou as raízes, de quadradinho, então p de quadradinho é 0, ou seja, se no lugar do s, do x, do y eu colocar este valor do quadradinho, não é, o P do quadradinho vai ser 0. Se os coeficientes são reais, as raízes do polinômio são números reais ou pares complexos conjugados. Pares complexos conjugados? Muito bem! Vamos usar alguns exemplos numéricos de 2º grau. Comecemos com s ao quadrado mais 3s mais 2. Lembra da Fórmula de Bhaskara? Delta é igual a b ao quadrado menos 4ac. E as raízes são menos b mais ou menos raiz de delta sobre 2a. Achou que nunca mais ia ver essa fórmula, não é? Bom, está aí ela de novo. Para o nosso polinômio temos: a é igual a 1, b igual a 3 e c igual a 2. Substituindo os valores de a, b e c na Fórmula de Bhaskara chegamos a 2 raízes reais: menos 1 e menos 2. Podemos verificar o nosso resultado substituindo as raízes encontradas no polinômio original e verificando se ele realmente se anula. Note também que, uma vez conhecidas as raízes do polinômio, podemos escrevê-la na forma fatorada: produto de fatores s menos cada uma das raízes. Mas e se delta for menor do que 0? Por exemplo, se o nosso polinômio for s ao quadrado mais 2s mais 2? Nesse caso, delta vai ser igual a 4 menos 8, que é menos 4, que podemos escrever como 4 vezes menos 1. E na hora de calcular as raízes nos deparamos com problema: temos a raiz quadrada de número negativo, que a princípio não existe. Pelo menos não existe número real que seja raiz quadrada de número negativo. Mas expandindo o nosso conjunto de números, dos números reais para os números complexos, onde existe número denotado por i ou às vezes por j, tal que i ao quadrado é igual a menos 1, podemos obter as raízes do polinômio e essas raízes são menos 1 mais i e menos 1 menos i. Sua parte real é menos 1 e sua parte imaginária é mais ou menos i. Os números com mesma parte real e parte imaginária oposta são chamados de complexos conjugados. Podemos agora substituir as 2 raízes complexas conjugadas no polinômio original e verificar se ele se anula e também podemos escrever esse polinômio na forma fatorada. Então se os coeficientes são reais, as raízes do polinômio são números reais ou pares complexos conjugados e uma vez determinadas essas raízes podemos escrever o polinômio na forma fatorada. Desse modo, dada uma Função de Transferência na forma de uma razão de polinômios, também podemos escrevê-la na forma fatorada usando os polos e zeros da Função de Transferência. Por exemplo, se a Função de Transferência for s mais 3 sobre s ao quadrado mais 3s mais 2, podemos escrevê-la na forma fatorada como s mais 3 sobre s mais 1 vezes s mais 2. De forma geral então, se temos numerador de ordem m e denominador de ordem n, temos m zeros e n polos e podemos escrever a Função de Transferência como produto de fatores de zeros sobre produto de fatores de polos. Denotando os zeros por z1, z2 até zm e os polos por p1, p2 até pn, temos: G(s) é igual a bm vezes s menos z1 vezes s menos z2 vezes s menos z3 tarararararará s menos m menos 1 vezes s menos zm, isso tudo sobre s menos p1, s menos p2, s menos p3, s menos p4 tarararararará s menos p1 vezes s menos pn. Normalmente será útil termos o denominador da Função de Transferência na forma fatorada, mas não será necessário fatorar o numerador. O procedimento mais comum é: a partir de uma descrição do sistema, que pode ser diagrama, obtemos a equação diferencial, a partir da equação diferencial, obtemos a Função de Transferência, calculamos os polos da Função de Transferência e escrevemos ela com o denominador fatorado. Mas porquê ou para quê isso veremos no próximo vídeo. Agora você já deve ser capaz de aplicar a Transformada de Laplace para obter a Função de Transferência de sistema e de explicar o que são polos e zeros de uma Função de Transferência. [MÚSICA] [SOM]
