Este curso apresenta os principais conceitos do controle de sistemas e mostra suas vantagens e importância para a sociedade moderna. Você vai entender o que é o controle de sistemas e como o controle com realimentação funciona, e passará a perceber a sua presença em diversas situações em seu dia-a-dia, na natureza, no corpo humano e em diversos dispositivos, desde os mais simples até os mais complexos. Você vai perceber a necessidade de modelos teóricos para a análise e o projeto do controle de sistemas e aprenderá como verificar se um sistema atende a determinados requisitos de desempenho. Você também aprenderá como projetar um controle simples de modo a obter o melhor desempenho possível de um sistema de controle. Este é apenas o primeiro passo em direção a um vasto campo do conhecimento e lhe dará a base e a segurança necessárias para avançar em seus estudos no maravilhoso mundo do controle de sistemas.
Calculando a Saída do Sistema
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From the course by Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle de Sistemas
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A Função de Transferência
Transformada de Laplace. Função de Transferência, Calculando a saída do sistema.
Meet the Instructors
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
[MÚSICA] Após esse vídeo você
será capaz de citar os principais pares da transformada de Laplace, usar a expansão
frações parciais e calcular a saída de sistema para uma entrada qualquer.
Você já sabe como obter a função de transferência de
sistema a partir de sua equação diferencial.
E como a função de transferência é válida para toda e qualquer entrada,
podemos usá-la para obter uma saída específica para uma entrada específica.
Para tanto, precisamos da função de transferência e da transformada
de Laplace da entrada para obtermos a transformada de Laplace da saída.
Só lembrando: a partir da equação diferencial podemos escrever diretamente
a função de transferência, apenas copiando os coeficientes
que multiplicam as derivadas da saída e as derivadas da entrada.
E como é entrada podemos calcular a sua transformada de Laplace usando
a definição da transformada de Laplace.
U1(s) vai ser igual à integral de 0 ao infinito de e
elevado a menos st u1 de t dt.
Jazinga!
Não, não vamos calcular essa integral,
eu já tinha dito que calcular essa integral para diversas funções seria uma
desperdício de tempo, nós vamos usar uma tabela de transformadas de Laplace.
Os principais pares da transformada de Laplace estão disponíveis na forma de
tabela.
Então ao invés de calcularmos a integral,
basta procurar pela linha correspondente na tabela.
Por exemplo, a transformada de Laplace de degrau unitário é 1 / s,
de uma rampa unitária 1 / s ao quadrado,
de uma parábola 1 / s ao cubo e de uma exponencial de at é 1 / (s- a).
Vamos dar uma rápida olhada e nos familiarizar com esses sinais ou funções.
O degrau unitário é 0 para t menor que 0 e 1 para t maior ou igual a 0.
Esse é sinal de entrada muito comum que pode indicar por exemplo uma
altura desejada.
A rampa unitária, que é a integral do degrau unitário,
é 0 para t menor que 0 e t para t maior ou igual a 0.
Ela representa uma variação constante da entrada ou uma velocidade constante.
A parábola, que é a integral da rampa é 0 para t menor
que 0 e meio t ao quadrado para t maior ou igual a 0.
Ela representa uma aceleração constante.
Aqui temos 3 exponenciais com expoente positivo: exponencial de t,
exponencial de 1,5t e exponencial de 2t.
Elas começam 1 e aumentam indefinidamente à medida que t aumenta.
Quanto maior o expoente, mais rápido a exponencial aumenta.
E aqui temos 4 exponenciais com expoente negativo: exponencial de menos t,
de menos 2t, de menos 4t e de menos 10t.
As exponenciais negativas começam 1 e tendem a 0 e quanto
maior o módulo do expoente, mais rápido elas tendem a 0.
Aqui temos mais alguns pares de transformadas de Laplace: seno,
cosseno, exponencial vezes seno e exponencial vezes cosseno.
Apenas se estivermos usando uma entrada muito diferente e
que ainda não foi tabelada, precisaremos calcular a integral, mas se estivermos
usando entradas mais comuns, realmente não precisamos nos preocupar com isso.
Você vai encontrar várias tabelas da transformada de
Laplace na internet e qualquer livro de controle de sistemas.
É sempre bom ter uma tabela de transformadas à mão e decorar os
principais pares da transformada de Laplace.
Vamos dar uma rápida olhada nos sinais ou funções dessa segunda parte da tabela.
O seno e o cosseno são sinais periódicos e a grande
diferença entre os dois é o valor para t igual a 0.
O seno de 0 é 0 e o cosseno de 0 é 1.
Quanto maior valor de ômega, mais rápida é a oscilação.
Uma exponencial positiva faz a amplitude das oscilações aumentar
e uma exponencial negativa faz a amplitude das oscilações diminuir tendendo a 0.
Quanto maior o módulo do expoente, mais rápido a amplitude aumenta ou diminui.
E quando maior dáblio, mais rápida a oscilação.
Muito bem, agora você já sabe como obter a função
de transferência de sistema e como obter a transformada de Laplace da entrada.
Basta multiplicá-las para obter a transformada de Laplace da saída.
Vamos ver exemplo.
Por exemplo, se a equação diferencial do sistema for
y 2 pontos + 3y ponto + 2y igual a 2u e a entrada for
degrau unitário, isto é, 0 para t menor que 0 e 1 para t maior ou igual a 0,
a função de transferência é 2 / s quadrado + 3s +
2 e a transformada de Laplace do degrau unitário é 1 / s.
Então a transformada de Laplace da saída será 2
/ s quadrado + 3s + 2 x (1 / s) e podemos
escrever como 2 / (s x (s quadrado + 3s + 2)
ou ainda como 2 / (s ao cubo + 3s quadrado + 2s).
Ou ainda fatorando o denominador temos
Y(s) = 2 / s (s + 1) (s + 2).
E agora bastaria obter a transformada inversa de Y1.
O problema é que não encontramos essa transformada uma tabela de transformadas.
Existe uma fórmula para obter a transformada inversa de Laplace,
mas eu nem vou mostrar essa fórmula para vocês,
ao invés disso vamos usar pequeno truque matemático: a expansão frações parciais.
Vamos usar esse mesmo exemplo numérico e vamos partir da transformada de Laplace
com denominador fatorado.
2 / s (s + 1) (s + 2).
Podemos escrever essa razão de polinômios como uma soma de
frações cujos denominadores são os fatores do denominador.
Para ver isso basta fazermos a soma dessas
frações e para somar frações precisamos do mínimo múltiplo
comum dos denominadores que nesse caso é s (s + 1) (s + 2).
Multiplicamos cada uma das frações pelos fatores que estão faltando no denominador,
fazemos as multiplicações nos numeradores,
somamos as frações e verificamos que temos o mesmo denominador da fração original.
E para que a igualdade seja verdadeira, precisamos calcular os valores de A,
B e C de modo que os numeradores também sejam iguais.
Vamos colocar as potências de s evidência no numerador
e agora vemos facilmente que precisamos ter A igual a 1,
A + B + C = 0 e 3A + 2B + C = 0.
Substituímos A igual a 1 nas outras duas equações e chegamos
a B mais C igual a menos 1 e 2B mais C igual a menos 3.
Podemos subtrair uma equação da outra ou substituir C igual a menos
1 menos B na segunda equação e chegamos a B igual a menos 2 e depois a C igual a 1.
Vamos conferir o nosso resultado.
As frações parciais são: 1 / s, -2 / (s + 1) e 1 / (s + 2).
Realizando as multiplicações e depois as somas,
chegamos a 2 / s (s + 1) (s + 2), que era a nossa fração original.
E agora podemos encontrar facilmente cada uma dessas frações parciais uma tabela de
transformadas de Laplace basta lembrarmos que a transformada de Laplace é linear.
Na tabela vemos que a transformada do degrau unitário é 1 / s,
então a transformada inversa de 1 / s é o degrau unitário e
a transformada de Laplace da exponencial de at é 1 / (s- a).
Então a transformada inversa de 1 / (s- a) é a exponencial
de at e a transformada inversa de 1 / (s + 1),
que podemos escrever como 1 / (s- (- 1)) é a exponencial de menos 1t.
E a transformada inversa de 1 / (s + 2) é a exponencial de menos 2t.
Mas e a transformada inversa de- 2 / (s + 1)?
Como transformada de Laplace e consequentemente a transformada inversa
são lineares, basta multiplicar por menos 2.
E agora temos a expressão matemática para o sinal de saída, Y1 de t vai
ser igual a 1 menos 2 vezes o exponencial de menos t mais o exponencial de menos 2t.
Vamos ver mais exemplo, mas dessa vez vamos usar truque
para calcular os numeradores das frações parciais, que chamamos de resíduos.
A equação diferencial do sistema é y 2 pontos + 11 y ponto
+ 10y igual a 20u e a entrada será novamente degrau unitário.
A função de transferência é 20 / (s ao quadrado + 11s +
10) e a transformada da entrada é 1 / s.
A transformada da saída é então 20 / s (s + 1) (s + 10).
Expandindo frações parciais temos: A / s + B / (s
+ 1) + C / (s + 10) e o truque para calcular cada
dos resíduos é multiplicar a transformada de Laplace pelo denominador da
fração correspondente e então fazer s igual ao polo correspondente.
Vamos ver como isso funciona no exemplo.
Vamos começar calculando A, o denominador da fração parcial correspondente é s,
então multiplicamos a igualdade toda por s.
Seguida cancelamos os ss comum no numerador e no denominador,
fazemos s igual ao polo correspondente, que é 0 e chegamos a A igual a 2.
Vamos fazer a mesma coisa para o segundo resíduo, B.
Começamos multiplicando por s mais 1, simplificamos as frações
e fazemos s igual a menos 1, que é o polo correspondente à fração parcial.
Então B é igual a menos 20 nonos.
Acho que você já percebeu que as outras frações parciais são anuladas
no processo e que o resíduo que procuramos ficará sozinho no lado direito da equação.
Então podemos simplificar o processo e usar apenas a fração original.
Vamos fazer isso para calcular o terceiro resíduo, C.
C vai ser igual a s mais 10 vezes 20 sobre s,
s mais 1 s mais 10 calculado para s igual a menos 10.
Fazendo a simplificação e a substituição, chegamos a C igual a 2 nonos.
A expansão frações parciais fica então: 2 sobre
s menos 20 nonos vezes 1 sobre s mais 1 mais 2 nonos vezes 1 sobre s mais 10.
Tire o mínimo e some as frações para conferir a igualdade.
Usando a tabela de transformadas de Laplace, chegamos a y 1 de t é igual
a 2 menos 20 nonos exponencial de menos t mais 2 nonos exponencial de menos 10t.
Podemos generalizar a fórmula para a obtenção de cada dos resíduos.
O resíduo é igual ao denominador da fração correspondente vezes a Transformada
de Laplace completa calculado para s igual ao polo correspondente.
Vamos aplicar a fórmula ao nosso primeiro exemplo: Y(s)
é igual a 2 sobre s s mais 1s mais 2.
Temos 3 frações parciais: A sobre s, B sobre s mais 1 e C sobre s mais 2.
A é igual a Y de s vezes s calculado para s igual a 0,
o que dá 2 sobre 2 que é igual a 1.
B é igual a Y de s vezes s mais 1 calculado para s igual a menos
1 que dá 2 sobre menos 1 que é igual a menos 2.
C é igual a Y de s vezes s mais 2 calculado para s igual a menos 2,
que dá 2 sobre menos 2 vezes 1 que é igual a 2 sobre 2 que é igual a 1.
Note ainda que não precisamos ficar reescrevendo a Transformada,
podemos apenas sumir com o fator correspondente no denominador.
Por exemplo para calcular A, cobrimos o s do denominador
e fazemos s igual a 0; para calcular B, cobrimos o s mais 1 do
denominador e fazemos o s igual a menos 1; para calcular C,
cobrimos o s menos 2 do denominador e fazemos s igual a menos 2.
Esse cálculo rápido só não vai resolver todos os nossos problemas se
a Transformada da saída tiver polos repetidos ou múltiplos.
Vamos ver exemplo, a função de transferência do sistema é 2 sobre
s mais 1 s mais 2 e a transformada da entrada é 1 sobre s mais 1.
Ou seja, a entrada é uma exponencial decrescente e elevado a menos t.
Então a Transformada de Laplace da saída é G de s
que é 2 sobre s mais 1 ao quadrado s mais 2.
Podemos expandir essa Transformada de Laplace frações parciais
de 2 modos: com apenas duas frações parciais com denominadores
s mais 1 ao quadrado e s mais 2 ou com 3 frações parciais
com denominadores s mais 1 s mais 1 ao quadrado e s mais 2.
Eu prefiro essa segunda expansão por 2 motivos: primeiro, porque
é mais fácil encontrar correspondência tabelas de transformadas e segundo,
porque podemos usar o truque para calcular o resíduo de 2 das 3 frações parciais.
Vamos fazer isso: multiplicamos por s mais 1 ao quadrado e seguida fazemos
as simplificações e depois fazemos s igual a menos 1 e chegamos a E igual a 2.
Nosso truque também funciona para o cálculo de F.
E agora só precisamos determinar D,
o que pode ser feito facilmente se substituirmos E e F na equação.
Vou deixar que você faça as contas, o resultado deve ser D igual a menos 2.
Existe uma fórmula para calcular D diretamente, mas como ela envolve uma
derivada e como não é muito comum encontrarmos polos múltiplos,
eu acho melhor obter esse último resíduo fazendo a soma das frações.
Isso é modo de verificar se os outros resíduos foram calculados corretamente.
Se você não for capaz de encontrar o último resíduo,
é porque pelo menos dos outros foi calculado errado.
Se optarmos por expandir Y de s apenas 2 frações parciais,
podemos usar o nosso truque para calcular C que é igual ao F que já calculamos,
mas não conseguimos calcular nem A nem B diretamente.
No máximo o que conseguimos multiplicando a equação por s mais 1 ao quadrado,
simplificando e fazendo s igual a menos 1, é chegar a B menos A igual a 2,
o que não resolve o nosso problema.
Então para determinar A e B precisamos tirar o mínimo múltiplo comum
e somar as frações, mas podemos já usar C igual a 2, que já foi calculado,
e precisaremos ter A igual a menos 2 e B igual a 0.
Note que menos 2 sobre s mais 1 mais 2 sobre s mais 1 ao
quadrado é igual a menos 2s sobre s mais 1 ao quadrado.
E lembre-se: você sempre pode obter as frações parciais
escrevendo os numeradores literais com os resíduos A, B, C, D, etc.
calculando o mínimo múltiplo comum dos denominadores,
realizando a soma e igualando os numeradores.
O truque apenas facilita esse processo.
Agora você já deve ser capaz de citar os principais pares
da Transformada de Laplace, usar a expansão
frações parciais e calcular a saída do sistema para uma entrada qualquer.
[MÚSICA] [SOM]
[SOM]
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