[MUSIC] Bienvenidos a una nueva clase del curso introducción a los modelos de demanda de transporte. Hoy hablaremos de modelos de distribución de viaje, y en particular explicaremos cómo estimar o calibrar matrices de viajes a partir del concepto de entropía. Por ahora mencionemos, asociado al concepto de entropía La existencia de estado macro, de estado meso, y de estado micro. A continuación vamos a explicar cada uno de ellos en detalles, y para hacer más amena la explicación, vamos a verlo dentro de un ejemplo. Consideremos la siguiente situación de transporte. Tenemos dos zonas de transporte, cada una de estas zonas genera dos viajes y cada una de estas zonas atrae dos viajes. Por otro lado tenemos cuatro personas que viven en esta área metropolitana que solamente tiene dos zonas de transporte. Estas cuatro personas o viajeros se llaman Pablo, Mario, Lucila y Jimena. Recuerden lo que les dijimos, cada zona genera dos viajes de transporte y cada zona trae dos viajes de transporte. Por lo tanto, O sub A son los dos viajes que genera la zona A, O sub B son los dos viajes que genera La zona B. D sub A son los dos viajes que atrae la zona A, y D sub B son los dos viaje que atrae la zona B. O sub A, O sub B, D sub A y D sub B son los llamados estados macro. Es decir, nos definen va cantidad de viajes que genera y atrae cada una de las zonas de transporte. Por lo tanto, teniendo en cuenta estas restricciones de estado macro, es decir que cada zona genera dos viajes y que cada zona atrae dos viajes. ¿Cuál es la matriz de viaje más probable?, ¿cuál es la matriz que mejor representa los viajes que ocurren en esta zona? Mejor dicho, en esta área metropolitana. Con las características del problema planteado hay tres posibles matrices de viajes. La opción uno es la posibilidad de que dos viajes sean generados en la zona A, se destinan a la zona B y dos viajes son generados en la zona B y se destinan a la misma zona B. La opción dos, es que dos viajes se generen en la zona A y se destinen a la zona B. Y que dos viajes se generen en la zona B y se destinen a la zona A. Y la tercera alternativa que tenemos es que la zona A genera dos viajes, un viaje destinándose a la misma zona, y un viaje destinándose a la zona B. Y exactamente lo mismo para la zona B. La zona B genera dos viajes, uno de ellos se define a la zona A y otro se destina a la zona B. Teniendo en cuenta que cada zona genera dos viajes y atrae dos viajes no hay ninguna otra matriz posible que las tres que acabamos de considerar. Bien, entonces cada una de estas tres posibles matrices representa un estado meso diferente. En otras palabras, en el ejemplo que estamos planteando tenemos tres posibles matrices de viaje y cada matriz de viaje representa un estado meso diferente. ¿Cuál va a ser la matriz de viajes que nosotros vamos a considerar como la matriz calibrada de viajes? Va a ser aquella matriz más probable, y la matriz más probable es aquella combinación de estados meso que arroja la mayor cantidad de estados micro posibles. Por lo tanto, ahora vamos a ejemplificar a qué nos referimos por estados micros. Vamos a considerar la primer matriz de viaje postulada. La primer matriz de viaje postulada decía que la zona A genera dos viajes que son atraídos por la misa zona. Y la zona B genera otros dos viajes que son atraídos, una vez más, por la misma zona B. En la primera matriz que tenemos representada en esta transparencia, Mario y Pablo están viajando al interior de la zona A. Y Lucila y Ximena están viajando al interior de la zona B, y ahí tenemos configurado un posible estado micro. Otro estado micro, ¿Cuál sería? Que Lucila y Mario están viajando dentro de la zona A, y Ximena y Pablo están viajando al interior de la zona B. Otro estado micro posible sería que Ximena y Mario estén viajando al interior de la zona A, y Lucila y Pablo al interior de la zona B. Un cuarto estado micro posible sería que Ximena y Lucila estén viajando al interior de la zona A, y Mario y Pablo al interior de la zona B. O también podríamos tener un quinto estado micro en el cual Ximena y Pablo viajan al interior de la zona A, y Lucila y Mario al interior de la zona B. O el sexto y último estado micro posible serían Lucila y Pablo viajando al interior de la zona A, y Ximena y Mario viajando al interior de la zona B. En otras palabras. Nuestra primera matriz, nuestro primer estado meso posible tiene asociados seis estados micros. Si consideramos la segunda matriz de viajes donde dos personas partían su viaje en A y se terminaba su viaje en B. Y otras dos personas partían su viaje en la zona B y terminaban su viaje en la zona A. Esta nueva matriz de viaje nos genera otro estado meso y este otro estado meso, una vez más por analogía con el ejemplo anterior, tiene asociados seis posibles estados micro. Les dejo a ustedes como tarea calcular cada uno de los seis posibles estados micro. Por último recuerden que tenemos la tercera matriz, ¿la tercera matriz cuál era? La zona A genera dos viajes, uno se destina a la misma zona y otro a la zona B. Y la zona B genera dos viajes, uno se destina a la zona A y otro se destina a la zona B. En este caso lo que se puede verificar es que el total de estados micros que se generan son 24. Les dejo a ustedes la tarea de determinar cuáles son los 24 estados micro posibles, asociados a esta tercera matriz posible o a este tercer estado meso posible. Hemos visto entonces que nuestra primera matriz posible de viajes o nuestro primer estado meso, posible de viajes, que tenía asociados 6 estados micros. Nuestra segunda posible matriz tenía asociado también 6 estados micros. Y, la tercera matriz que consideramos tiene asociados 24 estados posibles estados micros. ¿Qué significa esto? Que nuestra matriz de viaje más probable es nuestra tercera matriz. ¿Por qué? Porque es la matriz que tiene asociada la mayor cantidad de estados micro posibles. Por lo tanto, de los tres estados mesos o tres matrices posibles, nos quedamos con la tercera matriz y decimos que esta es nuestra matriz de viajes. Matemáticamente el problema que hemos resuelto para calcular la cantidad de estados micros es el siguiente. Voy a abordarlo en relación a la primera matriz que consideramos y voy a operar en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, vamos a considerar en primer lugar los viajes que son al interior de la zona A. En segundo lugar los viajes que son de la zona A a la zona B. En tercer lugar los viajes que son de la zona B a la zona B. Por último los viajes que son de la zona B a la zona A. Matemáticamente, ¿qué problema hemos resuelto? Para nuestra primera posible matriz lo que hemos dicho es hay dos viajes que corresponden al interior de la zona A. Por lo tanto, matemáticamente, esto es la combinatoria de dos viajes dentro de un potencial de cuatro viajes. Y con ello esto está representado con la primer combinatoria o el primer cociente que aparece en el numerador factorial de cuatro. Y en el denominador tenemos factorial de dos multiplicado por factorial de dos. En la segunda celda de la matriz no hay ningún viaje, por lo tanto ahí lo que tenemos es cero viajes dentro de un posible total de dos viajes. En la tercera celda de la matriz tenemos dos viajes, por lo tanto aquí lo que tenemos es la combinatoria de dos viajes dentro de un potencial de dos viajes. Y en la última celda de la matriz lo que tenemos es cero viajes de un total posible de cero viajes. Por lo tanto aquí lo que tenemos son cuatro fracciones, la primer fracción como you dije la fracción es factorial de cuatro, dividido factorial de dos, dividido factorial de dos, la segunda fracción es. Factorial de dos dividido factorial de cero dividido factorial de dos. La tercer fracción o división es factorial de dos dividido factorial de dos, dividido factorial de cero. Y la última fracción es factorial de cero en el numerador y factoriales de cero en el denominador. Resolvemos esta ecuación y obtenemos los seis estados micro posibles. Aquí vemos cómo resolvemos matemáticamente el problema para la segunda matriz. Y una vez más obtenemos como resultado seis estados micros posibles. Y aquí tenemos la resolución para nuestra tercera matriz o nuestro tercer conjunto de estados mesos posibles. Y lo que vemos aquí es que al calcular el total de estas dos micros posibles obtenemos el número 24. En otras palabras, comprobamos ahora matemáticamente que la tercera matriz es la que tiene asociada la mayor cantidad de estados micros. Y por lo tanto decimos que esta es nuestra matriz de viajes, la que resulta ser va matriz de viajes más probable, ¿por qué? Porque tiene mayor cantidad de estados micro asociados.
