[音乐]Hi，欢迎回来。 接下来呢我们来看看序关系当中的一些特殊的元素。 首先呢就是最大、 最小元，和极大、 极小元。 那么最大、 最小，极大、 极小元这这些特殊的元素， 是在这个有序集当中的一个子集来进行定义的，所以呢就是说< A,≤ >是一个有序集， 然后在A里边有一个子集B，B是包含于A的， 那么在这个子集当中我们取 这么一个所谓的最小元，小元小b， 就最小元呢是这么定义的，b属于B，然后呢 并且任意的x，x主要是属于B， 那么这意味着b是≤x的。 那么按照这个谓词公式的这个理解、 语义来说， 我们结合这个哈斯图，那么 最小元，也就是说在b当中，这个子集里边， 这个最小元所有的这个其他的元素， 都排在这个b的上方，都排在b的上方，包括它自己啊，所有的都在它的上方。 那么最大元呢，反过来就是所有的元素 都在这个b的下方，在b的这个下边，哈斯图呢有一个链条， 那么所有的都在b的下面。 那么相应的呢，还有极小和极大元这个区别。 那么极小元呢定义就是b小于B，b属于B， 并且呢并不存在一个x，x属于B，x也不等于这个b， x呢小于等于b，那么这个这句谓词公式翻译过来也就是说， 不存在一个x排在b的下面了， 排在b的下面了，就是不存在x排在b的下面。 那么极大元也是不存在一个x排在b的 上面，不存在一个bx在b的上面，这是极大元。 那么我们从这个最小，比如我们说最小或者极小，它有什么区别呢？ 最小是说所有的都在b的 上面，那么极小就是说没有在它的下面了。 这是最小和极小之分。 那么它们之间的这个细微的差别，包括这个最大和极大这个差别， 那么就在于说这个子集B当中是否包含不可比较的元素。 那么情况是什么样呢？我们来看看下边的这个例子。 我们这个例子呢是由，这个有序集是由8个 元素构成的，然后它小于等于，那么它的这个 序关系是这个哈斯图所表示的这样， 我们看出来，跟这个三个元素的这个密集以及 这个包含于这个关系所形成的有序集，看成这个哈斯图是一样的。 当然 我们来看看如何在当中，极大、 极小元，最大、 最小元是什么样的？ 我们首先呢取一个子集{a,b,c,f}，那么a,b,c 然后f，就看下边下方的这个菱形， 是一个菱形的这么一个图样。 那么在这个 {a,b,c,f}这四个元素形成的这个子集当中， 它的最大元，当然显然是f，也就是所有的元素都在f的下方， 那么最小元呢，所有的元素都在a的上方，所以呢最小元是a。 那么极大、 极小元当然也还是，分别是f和a。 这没问题，那么在这个例子当中，最大元就是极大元，最小元也是极小元。 第二个子集，{a,b,c,d} a在下边，b,c,d上面是分了三个叉。 那么这里头呢它的最小元，就是所有的元素都排在a的上方，所以最小元是a。 但是呢它没有最大元，因为不存在一个元素 所有的元素都是排在下面，因为b,c,d这三个元素呢是相互之间不可比较的。 所以呢这个子集当中没有最大元。 但是呢它有极大元，也就是b,c,d都是极大元。 为什么呢？因为不会再有其他元素排在b,c,d的上面了。 所以呢，就是所有的都在下面，以及没有 元素在它们的上面了，这两个概念的区分就在于这儿了。 因为b,c,d之间相互是不可以比较的，所以呢b,c,d是极大元。 而a呢是最小元，同时也是极小元。 再看一个，{b,c,d,h}，{b,c,d,h}。 那么跟刚才的这个{a,b,c,d}正好是倒过来的，h呢在b,c,d的上面。 对吧？所以呢，我们可以知道它的最大元是h，但是呢没有最小元。 因为不会有一个，任何一个元素，说排在 所有的元素的下方，而b,c,d之间相互是不可比较的。 所以呢它极大元还是，仍然是h，而b,c,d呢就称为 这个子集的极小元。 那么关于极大元、 极小元，最大元及最小元有一些性质。 那么我们从上面的例子当中去归纳也能知道这些性质。 也就是B它的最大，或者最小元，同时也是它的极大，或者极小元。 那么如果它有最大元或者最小元的话，那么它是唯一的，这个唯一性呢其实通过 可以通过这个序关系的这个反对称来进行证明。 而也就是说如果有两个最大元的话，那么它们之间相互是小于等于的，那既然相互小于等于， 那么通过反对称的性质，就是说它们两个元素呢是相等的，对吧？ 还有呢，如果B是一个有限集合，那么它的这个 极大、 极小元肯定是会存在的，肯定会存在的。 但是呢最大、 最小元未必会存在，但是 如果一旦存在这个最大、 最小元的话，那么它就是唯一的。 这个里头呢有一个特殊的情况，就是一个有序集， 它的子集拿出来以后，如果这个子集当中没有包含任何不可比较的元素的话， 那么在这个子集里就必然存在最大、 最小元，就必然存在最大、 最小。 但是呢，极大、 极小元对于 有限集来讲是必然会存在的，但是呢它未必是唯一的。 我们刚才也看了例子，会有三个a,b,c,d，那么 它有b,c,d这三个极大元，是吧？所以呢，它未必是唯一的。 但是如果说存在最大、 最小元的这个有限 集的话，那么它的极大、 极小元就等于最大、 最小元。 第二个， 第二组概念呢就是上（下）界和上（下） 确界的概念，那所谓的上（下）界就是也是针对于这个A的一个子集B来说， 那么B呢我们在哈斯图里头看到B，比如说占据这个哈斯图的中间，那所谓的上界就是说 是在B以上的所有的元素，下界呢就是在B以下的一些元素。 那么这些所谓的以上、 以下，那么这些元素呢它可能未必在B里边。 那么它更多地可能会在A里边，所以呢这个极大、 极小，最大、 最小， 那么这些元呢都是在B这个子集里头进行讨论，但是呢上（下）界呢是说 是在B和A之间，这么一个上界、 下界，所以B的上界a就这么定义的，a是属于A， 然后呢任意x，x属于B的话，那么x呢都排在A的下面。 那么这个呢就称为这个B的这个上界。 那么B的下界也同样是这样。 就是a属于A，然后呢任意的x，x属于B， 那么这个a呢都是排在x的下方， a都排在x的下方，这就是B的下界。 那么上上确界， 就是在这个所有的上界，它可能上界呢会有若干个， 那么所有的上界当中，这个最小元就称为上确界，那我们就知道就是在 比比这个B排得高的那些元素当中最低的那个， 最低的那个就属于是上确界。 那么下确界也就是排在B的下边， 那些元素当中最高的那个，就是属于下确界，所以呢是所有下界集合的 最大元，这叫做下确界。 我们同样也来 通过刚才的这个有序集来看看上下界和上下确界的例子。 我们首先取这个B呢是b,c,d，b,c,d这三个元素呢 它们的这个上界，上界公共的 这个都比，都比这个b,c,d要来得大的话， 那么唯一的就是h，就是h，所以呢它的上界就是h。 然后它的下界是a，a呢比它所有的都要来的小，那么 a和h那么既然是单元集，所以呢它有有上下确界 那么上确界就是h，然后下确界呢就是a。 第二个例子呢是c和d，c和d， 那么c和d呢，它同样也是两个不可比较的元素， 那么它的上界比c和d都要来的大 都排在它上面的就有两个，一个是g一个是h， 然后它的下界就是a，都比它要来的小。 那么在上界当中，两个元素当中有个最小元，就是g，所以呢g呢是它的上确界， 那么下确界呢还是a自己。 第三个例子呢，最后我们来看看 d和g，d和g这两个，我们发现d和g这两个，它们相互之间是可以比较的， 所以它的这个上界，就是排在d，g的上方的就有 有g和h，包括g本身，然后下界呢，是包括了d的 d和a，而上界的最小元就是g， 而下界的最大元就是d，所以它的下确界是d。 这个呢我们也可以看到说，如果这个元素是 相互之间可以比较的话，那么它的这个上下确界 就有可能在这个子集b里边。 那么归纳起来关于上下界和上下确界定理就有这么些。 如果说这个小b是大B最大或者最小元的话， 那么这个小b就是它的确界 如果是它的最大元，那么它就是它的上确界，最小元就是它的下确界。 那么如果小b是大B的上下界， 而且呢这个小b是在这个大B里边，就是它 它属于这个子集的话，那么b呢就一定是他的最大最小元， 而且根据上面，就一定是它的上下确界。 而B呢如果有这个上下确界的话，那么上下确界是唯一的，因为上下确界是 上确界是最小元，下确界是最大元，那么根据前面的最 最大最小里面定理，最大最小元肯定是唯一的，所以上下确界也是唯一的。 但是上下界它未必会存在，而且存在的时候也未必 未必唯一的，我们也看到上下界会有包含多个元素这个例子。 那么有了上下界之后，也未必存在于上下 上下确界，因为确界是属于上界当中的最小元或者是说最大元 这种情况，而最大最小元未必会存在。 我们来看第三组概念，就是链和反链。 那么所谓的链呢，我们从这个右边这个函数图就可以看到， 是这么样一个函数图，那么所谓的链我们说就像 一根从上面往下垂的这一根链条一样，所以它叫链。 如果说子集B当中任意两个元素都可以比较， 那么这个子集B就称之为这个链，叫chain。 那么按照这个谓词公式呐，这个定义就是任意x任意y，x、 y都属于B， 那么要么是x≦y，要么y≦x，也就是它们相互肯定是可以比较的。 反链 那么反链呢就是正好相反。 所以如果子集B当中任何两个 元素都不可比较的话，那么这个呢就叫做反链。 那么在形式化的定义就是任意x任意y，x、 y属于B，x≠y 然后呢这个x≦y是否定的 x，y≦x也是否定的。 那么就这个旁边的这张图，就是这个函数图例子来， 它的链呢，比如说2、 6、 12、 36，就这一根链，而且是一根最长的链，对吧， 那么当然你如果只是一部分也可以是链，6、 12、 36也可以是链 那么12、 24也可以是链，当然不用一定挨在一起，因为它具有 传递性啊，比如3和12或者3和36都是这样的一条链。 那么反链呢，比如像2、 3就是一个反链，它们相互之间不可比较。 24、 36也是反链，而且呢单个的元素比如说就6，那么它也是一个反链， 因为按照反链的定义，这个x≠y如果不成立的话，那么 那么前链为假，那么它也是为真，所以单元素的话，它也是反链。 那么我们会把这个B当中包含 这个元素的个数，也就是B这个集合的基数就称之为链或反链的长度。 啊，有多长。 那么关于这个链和反链有一些性质，啊， 跟这个划分有关系，它是这么说的， A≦是一个有限的一个有序集 B呢是A当中一个子集，那要是如果说A当中最长的链的长 长度为n的话，那么A它一定存在一个划分， 这个划分呢会划分n个单元，就是 就是最长链的长度这么多个单元，然后每一个单元都是一个反链， 这个证明我们就不再证明，但是我们可以从这个图上，函数图上可以画，看出来 这样的一个图呢，它的最长链显然是比如像3、 6、 12、 24 那么最长链为4对吧，那么它可以划分为四个划分的单元， 我们可以想象有一把刀给它水平的切分， 那么2、 3就是一个单元，6是一个单元，12是一个单元， 24、 36还是一个单元，所以呢它有四个单元，每个单元呢 都是一个反链。 序关系呢就是这么多。 那么当然如果我们把这个序关系当中的某一个特性给它修改一下， 因为序关系是自反、 反对称和传递， 如果把自反改成反自反，也可就是说不存在xRx的话 那么这样的关系就称之为半序关系， 半序关系，我们就把带有半序关系再加上 集合就称之为半序集。 那么 那么半序集呢会有很多的例子，我们其中举两个 实际上就相当于把这个≦这个=号给去掉了。 那么比如说实数集上的大于关系，它就是一个半序关系， 而且自然数集合上的小于关系，也是一个半序关系。 那么小于等于就是一个序关系，当然也有一些人际关系上也是半序关系的例子， 比如说公司内部的职员他的下属关系 那么就属于一个半序，因为自己不会是自己的下 属，说以他不具有自反性质，是反自反的， 这就是一个半序关系，那么根据关于半序关系，我们 不会再介绍更多的细节内容，总之让大家跟序关系做一个对比， 那么将来也许在有的时候你可能会用得到这样的一个概念。
