[MÚSICA] Nesta aula, nós discutiremos o uso de polinômios no nosso modelo de regressão múltipla. Assim como vimos na aula anterior, em que usamos o logaritmo, vimos que esse uso transforma a relação entre "y" e "x" em não-linear. O uso de polinômios sobre uma mesma variável vai também trazer essa não-linearidade na relação entre "y" e "x". Lembrando sempre que a linearidade necessária, aqui, para as boas propriedades do nosso estimador é a linearidade sobre os parâmetros e não sobre a relação entre "y" e "x". Vamos ver um exemplo de como interpretaremos os nossos efeitos no uso de polinômio de segundo grau. Vejamos um exemplo de um polinômio mais simples, que é polinômio de segundo grau. Nós temos que "y" é igual ao "Beta 0", mais "Beta 1" "x" mais "Beta 2", "x" ao quadrado mais o termo de erro. Neste gráfico, nós podemos ver um exemplo de como esse modelo transforma o efeito de "x" em "y" em um efeito não-linear ou, por exemplo, efeito com rendimentos decrescentes, quando o nosso "Beta chapéu 1" é positivo e o "Beta chapéu 2" é negativo. Veja que temos aplicações para esses modelos em várias relações na economia, como, por exemplo, quando temos uma função de produção em que um dos insumos variáveis tem produtividade marginal decrescente. O efeito marginal, aqui, pode ser obtido nos mesmos moldes em que vimos o efeito marginal com o uso do logarÃtmo. Consideradas válidas as nossas hipóteses sobre o estimador de MQO, nós podemos derivar o nosso modelo na variável "x". Veja que, "ceteris paribus", "Delta y" sobre "Delta x" vai ser igual ao "Beta 1" mais 2 "Beta 2" "x", ou seja, o efeito de "x" sobre "y" depende, agora, do nÃvel de "x". Como vimos no exemplo em que "Beta 1" é positivo e "Beta 2" é negativo, nós temos que, para valores mais baixos de "x", o efeito é positivo, e esse efeito vai se tornando cada vez menos positivo e pode até virar negativo conforme aumentamos o valor de "x". Veremos, agora, o mesmo exemplo, considerando vários valores de "x". Então veja que, a partir de certo ponto, esse efeito fica negativo. Assim, para calcularmos o efeito marginal médio de "x" sobre "y", precisamos considerar alguma medida de "x". Para calcular o efeito marginal de "x" em "y", podemos calculá-lo ou em vários valores de "x" ou numa medida média de "x", como, por exemplo, a média amostral. Essa é a forma, em geral, que utilizamos para interpretar esses efeitos marginais que dependem do nÃvel da variável. Outro ponto interessante que podemos tirar desses modelos é o cálculo do ponto de inflexão, o ponto em que que essa função atinge, por exemplo, o seu máximo ou o seu mÃnimo, o que significa dizer que, antes desse ponto, nós temos um efeito com um sinal e, a partir desse ponto, muda o sinal do nosso efeito. No nosso exemplo, em que "Beta chapéu 1" é positivo e "Beta chapéu 2" é negativo, nós temos que o efeito passa de positivo para negativo. Se tivéssemos um "Beta chapéu 1" negativo e um "Beta chapéu 2" positivo, nós terÃamos exatamente o efeito inverso, ou seja, um efeito negativo até certo ponto de "x" e positivo, a partir daquele ponto. Nós podemos calcular esse ponto de máximo ou ponto de mÃnimo, em que o efeito muda de sinal, simplesmente igualando a zero o nosso efeito marginal. Ou seja, a nossa derivada de "y" em "x". Quando essa derivada é zero, significa que ou temos o ponto de máximo ou temos o ponto de mÃnimo. Uma vez que sabemos o valor de "Beta chapéu 1" ou de "Beta chapéu 2", o "x" vai ser a única incógnita aqui. Então, toda a vez que temos uma inversão de sinal entre o "Beta chapéu 1" e o "Beta chapéu 2", nós temos que esse efeito vai mudar de sinal a partir de certo ponto. Se temos um "Beta chapéu 1" positivo e um "Beta chapéu 2" negativo, nós vamos ter, então, um ponto de máximo. Se temos "Beta chapéu 1" negativo e "Beta chapéu 2" positivo, nós vamos ter, então, um ponto de mÃnimo. Para encontrar esse ponto de máximo ou ponto de mÃnimo, basta, então, igualarmos a zero a primeira derivada da nossa função, que é exatamente o nosso efeito marginal. Quando igualamos essa função a zero, nós temos que a única incógnita vai ser o "x", ou seja, encontramos o valor de "x" tal que a tangente da função é zero, que será o ponto de máximo ou de mÃnimo. Esse valor de "x" vai ser sempre a igual a menos "Beta chapéu 1" dividido por 2 "Beta chapéu 2". Assim como vimos o polinômio de segundo grau, podemos, também, ter polinômios de terceiro, quarto ou até "k" graus, a depender da especificação do modelo. A análise é sempre parecida com a que fizemos com o polinômio de segundo graru. Vamos deixar alguns exercÃcios para vocês resolverem com outros polinômios. Agora, vamos discutir uma mudança no nosso modelo bastante utilizada modelos de economia, que é o que chamamos de "produtos cruzados", ou seja, quando uma das variáveis no modelo é uma multiplicação entre duas variáveis. Um exemplo interessante é quando avaliamos, por exemplo, a produtividade do trabalho em função de variáveis climáticas. Pense no exemplo de trabalhadores agrÃcolas que trabalham sob as condições do tempo. Nós temos duas variáveis importantes que explicam a produtividade do trabalho desses indivÃduos, que são a temperatura do ar e a umidade relativa do ar. Alguns estudos mostram que temperaturas muito altas são mais prejudiciais quando a umidade relativa do ar é mais alta. Assim, faria sentido nós incluirmos, aqui no nosso modelo, uma terceira variável, então, que vai ser a multiplicação entre a temperatura e a umidade do ar. Nesse modelo, estamos chamando temperatura de "x1" e umidade de "x2". Então temos, agora, aqui, uma variável que é "x1" vezes "x2". Para avaliarmos o efeito de uma variação na temperatura, "ceteris paribus", ou seja, todas as nossas hipóteses anteriores assumidas, nós temos que o "Delta y" "Delta x1" vai ser igual ao "Beta 1" mais "Beta 3" "x2". Veja, então, que o efeito de temperatura sobre a produtividade marginal do trabalho vai depender no nÃvel de umidade relativa. Suponha que o "Beta 3" seja negativo, por exemplo. Nesse caso, quanto maior a umidade relativa do ar, menor vai ser a produtividade dos trabalhadores com o aumento da temperatura, que é exatamente o que alguns estudos cientÃficos mostram. Utilizamos, então, essas variáveis as quais chamamos de variáveis cruzadas, quando o efeito de uma variável depende do nÃvel de outra variável. Veja como fica o gráfico desse efeito que discutimos da temperatura sobre a produtividade marginal do trabalho. Na próxima aula, nós vamos discutir as variáveis "dummy", e o uso de produtos cruzados entre variáveis "dummy" é bastante utilizado nos modelos economia. [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA]
