[MÚSICA] [MÚSICA] Nesta aula, nós vamos discutir a última propriedade importante dos nossos estimadores de mÃnimos quadrados ordinários. Essa propriedade é a propriedade de eficiência, ou seja, vamos discutir a variância do nosso estimador. Dada as cinco hipóteses que já discutimos, ou seja, incluindo também a hipótese sobre a variância e covariância dos erros, nós podemos enunciar o teorema que chamamos de Teorema de Gauss-Markov. Até por conta desse teorema, as cinco primeiras hipóteses são chamadas de hipóteses de Gauss-Markov. Sob essas cinco primeiras hipóteses, nós dizemos que o estimador de MQO é BLUE, que é a expressão em inglês para "Melhores Estimadores Lineares Não-Viesados". Ou seja, dentre todos os estimadores lineares em "y" que sejam não-viesados (que podem ser calculados por vários outros métodos), o estimador de MQO, quando valem essas hipóteses, é aquele que é o melhor, ou seja, ele tem a menor variância dentre todos. Como vimos, o não-viés e a variância pequenas são propriedades importantÃssimas para um estimador. Para demonstrar esse teorema, nós comparamos o estimador de MQO com um estimador linear qualquer que seja não-viesado, identificado aqui pelo "Beta til". O "Beta til" vai ser, então, uma função de "w" e "y", em que "w" depende de "x". Para que esse estimador, que é linear em "y", seja não-viesado, nós precisamos dessas três condições aqui. Primeiro, que o somatório do "wij" seja igual a zero. Segundo, que o somatório dos "wij" vezes o "xij" seja igual a 1. E que o somatório do "wij" vezes o "xik" seja igual a zero para toda variável "k" que não for a variável "j". A partir dessas condições, nós conseguimos demonstrar o não-viés desse estimador. Agora, basta calcular a variância desse estimador e comparar com a variância de MQO. Quando fazemos essa comparação, nós percebemos que a variância do estimador de MQO é sempre menor que a variância desse estimador "Beta til", a não ser que "Beta til" seja exatamente o estimador de MQO. A conclusão a que chegamos até aqui é que, se valem essas cinco primeiras hipóteses, o nosso estimador de MQO é o melhor possÃvel, além de ser bastante flexÃvel na forma de derivação. A grande questão é que muitas dessas hipóteses são muito difÃceis de serem assumidas. A partir de agora, nós veremos como podemos modificar o nosso estimador de mÃnimos quadrados ordinários quando essas hipóteses não são válidas. Não podemos nos esquecer que o nosso objetivo, aqui, é analisar a relação entre variáveis econômicas, que é dada pelos "Betas", que não conhecemos. Estamos tentando buscar os melhores estimadores para falarmos sobre essas relações. Os melhores estimadores são aqueles que estabelecem uma relação causal, que discutimos bastante no começo deste curso. A última discussão que faremos, aqui nesta aula, é sobre o R-quadrado. Lembre-se que o R quadrado é igual a 1 menos a soma dos quadrados dos resÃduos dividido pela soma dos quadrados totais. Nós vimos, também, que o estimador de MQO, ele maximixa o R-quadrado, uma vez que minimiza a soma dos quadrados dos resÃduos. Quando discutimos o modelo de regressão linear múltipla, nós temos que cada variável explicativa que adicionamos no modelo reduz a soma dos quadrados dos resÃduos, ou seja, sempre, ao incluirmos uma variável explicativa no modelo, nós temos um aumento do R-quadrado. A grande questão, aqui, é que toda vez que incluÃmos uma variável no modelo, nós temos também um parâmetro a mais para estimar, que é o parâmetro relacionado a essa variável. Assim, nós podemos calcular uma outra medida, que é chamada de R-quadrado ajustado, que faz a ponderação por essa perda de graus de liberdade que temos ao estimar um parâmetro a mais com a inclusão de uma variável. Note que basta ponderarmos a soma dos quadrados dos resÃduos e a soma dos quadrados totais pelos seus graus de liberdade corretos para termos essa medida de R-quadrado ajustado. Agora, o R-quadrado ajustado só aumenta quando a variável incluÃda for capaz de diminuir a soma dos quadrados dos resÃduos a ponto de compensar a perda que temos ao incluÃ-la e estimar um parâmetro a mais. Vocês terão que fazer alguns exemplos nos exercÃcios comparando essas duas medidas. [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA]
