Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
8.1.8. Стационарность через характеристический многочлен [+доска]
Loading...
From the course by National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
365 ratings
From the lesson
Стационарные временные ряды
Даты, встаньте в ряд! :)
Meet the Instructors
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Подведем краткий итог: одному уравнению может соответствовать много
нестационарных решений и одно стационарное решение.
Соответственно, когда мы будем писать одно уравнение, ну например,
yt = 2 + 0,5yt – 1 + εt мы будем подразумевать именно стационарное решение,
где y0 нормально с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4/3,
y1 так же распределено, y2 так же распределено и так далее.
Если же уравнение не допускает стационарного решения,
то есть все решения, которые не дает нестационарный,
мы будем кратко говорить, что это вот нестационарный процесс.
И на самом деле фраза «стационарный процесс» будет подразумевать что есть
хотя бы одно стационарное решение у этого уравнения.
Точно так же, как и процесс скользящего среднего,
авторегрессионый процесс можно записать с помощью оператора лага.
Лаг помножить на yt = yt – 1, и в такой конвенции, например,
процесс yt = 2 + 0,5yt – 1 + εt – 0,06yt – 2 можно записать,
вынеся все y в одну сторону и получится (1 –
0,5L + 0,06L квадрат) * yt = 2 + εt.
И оказывается, что стационарность процесса AR можно
определить только исходя из вот этого сомножителя с лагом,
который находится перед yt.
Именно поэтому это выражение в скобках (1 – 0,5L + 0,06L квадрат)
оно заслуживает особого названия, оно называется характеристическим многочленом,
потому что это действительно многочлен, который зависит от объекта L, и,
соответственно, стационарность AR процесса оказывается
определяется корнями этого характеристического многочлена.
Здесь важно сделать маленькое предупреждение.
В некоторых источниках характеристический многочлен определяется с
использованием форвардного оператора, то есть оператора f,
в который от yt = yt +1 у него выходят другие корни, они соотносятся тем,
что корни одного это единичка делить на корни другого, но тем не менее всегда надо
смотреть аккуратно что вы подразумеваете под характеристическим многочленом.
В этой лекции в нашем курсе мы под характеристическим многочленом
подразумеваем f(L) от (0,5L + 0,06L квадрат).
И, соответственно, при нашем понимании характеристического
многочлена у нас возникает следующая теорема: если корни,
все корни характеристического уравнения AR процесса по модулю строго больше одного,
то у процесса неважно какие конкретно корни,
то у процесса существует единственное стационарное причинное решение,
то есть решение, в котором yt выражается через прошлые шумы,
через εt, εt – 1, εt – 2 и так далее.
И сейчас мы на нескольких примерах по характеристическому
уравнению AR процесса выясним есть у него стационарные решения или нет.
Рассмотрим примеры трех процессов и определим какие из них могут иметь,
какие из трех уравнений могут иметь стационарные решения.
Пример 1.
yt = 7 + 0,5yt – 1
– 0,06 yt
– 2 + εt.
Соответственно, составляем,
записываем это с помощью оператора лага yt = 7 + 0,5 * L
* yt – 0,06 * L в квадрате * yt + εt.
Переносим все с y в одну часть и получаем (1 – 0,5
L + 0,06L в квадрате)
* yt = 7 + εt.
И вот это вот перед yt — это характеристический многочлен.
f(L) = (1 – 0,5L + 0,06L квадрат).
Соответственно, если
мы решим уравнение 1 – 0,5 пусть будет
какой-нибудь x + 0,06 x квадрат = 0,
то мы получим следующие корни.
Значит находим стандартный дискриминант,
= b квадрат 0,5 в квадрате
– 4 * 0,06 =
0,01 и получаем что
x1,2 =
минус b 0,5
± √0,01 деленное на 2 * 0,06.
Отсюда получаем, что x1 = 0,5
+ 0,1 деленное на 0,12,
а x2 = 0,5 – 0,1 деленное на 0,12.
Ну здесь мы получаем 0,6 на 0,12,
здесь мы получаем 0,4 делить на 0,12.
Видно, что оба корня по модулю больше одного.
Из этого мы делаем вывод, что процесс,
что у этого уравнения есть
стационарное решение.
Рассмотрим пример 2.
yt =
–3 +
1,2yt –
1 – 0,2 yt – 2 + εt.
Опять же все записываем с оператором лага и переносим в одну часть все y.
Получаем (1 – 1,2 * L + 0,2 * L в
квадрате) * yt = – 3 + εt.
Повторяем те же самые вычисления, значит,
характеристический многочлен 1 – 1,2L + 0,2 L квадрат.
Ну приравниваем это к нулю с какой-нибудь неизвестной 1 –
1,2x + 0,2x в квадрате = 0 И тут
находим один из корней — это единичка,
x1 = 1, а x2 это,
соответственно, у нас 1 деленное на 0,2.
Если 1 можно угадать, а этот посчитать по теореме Виета.
Ну и, соответственно, мы получаем что вот модуль x2 он,
конечно, больше единички, с этим не поспорить, а вот
модуль x1 уже равен единичке.
И стало быть условие теоремы не выполнено,
и у этого процесса нет стационарного решения,
процесса нет
стационарного решения.
Третий пример.
Пример 3.
yt = 2
+2yt – 1 –
2 yt – 2 + εt.
Опять записываем с помощью оператора лага и переносим все y в левую часть.
Получаем (1 – 2L + 2L в квадрате) * yt = 2 + εt.
Правая часть никак не влияет на стационарность,
но вот мы посмотрим на корни левой части.
Итак, характеристический многочлен — это 1 – 2L + 2L квадрат,
и записываем это как уравнение с какими-нибудь переменными
x: 1 – 2x + 2x в квадрате = 0.
Находим.
Дискриминант...
Дискриминант (iii) квадрат 4- (минус)
(4 * 2) 8 = (- 4).
Здесь мы получаем ситуацию комплексных корней.
Ну, (- 4) — это (±2i) в квадрате.
Ну, есть такая договоренность, что комплексное число i в квадрате = (- 1).
И, соответственно, мы получаем корни.
X1,2 = 2± корень из дискриминанты,
это в нашем случае 2i, деленное
на (- 4).
И получаем одно решение: X1
= (1 + i)/2, а второе решение получаем:
(i- 1)/2.
Соответственно, нам надо найти модуль каждого из этих комплексных чисел.
Ну, я напомню, что комплексные числа...
Здесь отображается действительная часть, здесь мнимая: (1 + i)/2.
Это соответственно, 1/2 + 1/2 * i.
Здесь единичка и здесь единичка.
Нам надо вложить 1/2 так и 1/2 по вертикальной мнимой оси.
А это, соответственно, (- 1/2) + 1/2 * i.
И это пойдет вот так вот: второй корень.
И чтобы найти их длину, — длина у них, конечно, будет одинаковая,
судя по рисунку, — воспользуемся теоремой Пифагора.
И у нас длина будет: √1/2 в квадрате + 1/2 в квадрате.
Длина катета в квадрате, длина катета в квадрате — извлекаем корень,
получаем √1/4 + 1/4, это √1/2 и это < 1.
Соответственно, мы приходим к выводу, что наш процесс...
У этого процесса нет стационарных,
нет стационарных решений.
Следует отметить одну маленькую особенность.
Иногда характеристическим корнем модели называют не X,
не корни характеристического уравнения, а обратные к ним величины.
То есть в разных учебниках по-разному,
но будьте осторожны — такое важное предупреждение.
Если вы вдруг будете читать какую-то книжку...предупреждение...
и увидите там якобы совершенно противоположный результат о том,
что корни когда < 1, тогда процесс стационарен.
Это значит в этой книжке немножко по-другому определяется понятие
корня модели, и если вы выписали характеристический многочлен,
ƒ(L) — это характеристический многочлен, то есть если процесс у вас имеет
вид: ƒ(L) * Yt = C + εt,
то условие стационарности — это модуль корня |X|
> 1 для любого Xi-того корня.
А иногда в некоторых учебниках делают по-другому и используют...
Ну, характеристический многочлен остается таким же,
но иногда говорят, что: «Хорошо, мы нашли его корни, X1,
..., Xp, а дальше мы выпишем обратные
к корням величины: λ1 = 1/X1,
λ2 = 1/X2,
..., λp = 1/Xp».
И тогда в такой трактовке, если речь идет о величинах,
обратным к корням характеристического многочлена, тогда, естественно,
условие стационарности, это то, что модуль любого |λi| < 1 для всех λi.
Будьте осторожны.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
