Подведем краткий итог: одному уравнению может соответствовать много
нестационарных решений и одно стационарное решение.
Соответственно, когда мы будем писать одно уравнение, ну например,
yt = 2 + 0,5yt – 1 + εt мы будем подразумевать именно стационарное решение,
где y0 нормально с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4/3,
y1 так же распределено, y2 так же распределено и так далее.
Если же уравнение не допускает стационарного решения,
то есть все решения, которые не дает нестационарный,
мы будем кратко говорить, что это вот нестационарный процесс.
И на самом деле фраза «стационарный процесс» будет подразумевать что есть
хотя бы одно стационарное решение у этого уравнения.
Точно так же, как и процесс скользящего среднего,
авторегрессионый процесс можно записать с помощью оператора лага.
Лаг помножить на yt = yt – 1, и в такой конвенции, например,
процесс yt = 2 + 0,5yt – 1 + εt – 0,06yt – 2 можно записать,
вынеся все y в одну сторону и получится (1 –
0,5L + 0,06L квадрат) * yt = 2 + εt.
И оказывается, что стационарность процесса AR можно
определить только исходя из вот этого сомножителя с лагом,
который находится перед yt.
Именно поэтому это выражение в скобках (1 – 0,5L + 0,06L квадрат)
оно заслуживает особого названия, оно называется характеристическим многочленом,
потому что это действительно многочлен, который зависит от объекта L, и,
соответственно, стационарность AR процесса оказывается
определяется корнями этого характеристического многочлена.
Здесь важно сделать маленькое предупреждение.
В некоторых источниках характеристический многочлен определяется с
использованием форвардного оператора, то есть оператора f,
в который от yt = yt +1 у него выходят другие корни, они соотносятся тем,
что корни одного это единичка делить на корни другого, но тем не менее всегда надо
смотреть аккуратно что вы подразумеваете под характеристическим многочленом.
В этой лекции в нашем курсе мы под характеристическим многочленом
подразумеваем f(L) от (0,5L + 0,06L квадрат).
И, соответственно, при нашем понимании характеристического
многочлена у нас возникает следующая теорема: если корни,
все корни характеристического уравнения AR процесса по модулю строго больше одного,
то у процесса неважно какие конкретно корни,
то у процесса существует единственное стационарное причинное решение,
то есть решение, в котором yt выражается через прошлые шумы,
через εt, εt – 1, εt – 2 и так далее.
И сейчас мы на нескольких примерах по характеристическому
уравнению AR процесса выясним есть у него стационарные решения или нет.
Рассмотрим примеры трех процессов и определим какие из них могут иметь,
какие из трех уравнений могут иметь стационарные решения.
Пример 1.
yt = 7 + 0,5yt – 1
– 0,06 yt
– 2 + εt.
Соответственно, составляем,
записываем это с помощью оператора лага yt = 7 + 0,5 * L
* yt – 0,06 * L в квадрате * yt + εt.
Переносим все с y в одну часть и получаем (1 – 0,5
L + 0,06L в квадрате)
* yt = 7 + εt.
И вот это вот перед yt — это характеристический многочлен.
f(L) = (1 – 0,5L + 0,06L квадрат).
Соответственно, если
мы решим уравнение 1 – 0,5 пусть будет
какой-нибудь x + 0,06 x квадрат = 0,
то мы получим следующие корни.
Значит находим стандартный дискриминант,
= b квадрат 0,5 в квадрате
– 4 * 0,06 =
0,01 и получаем что
x1,2 =
минус b 0,5
± √0,01 деленное на 2 * 0,06.
Отсюда получаем, что x1 = 0,5
+ 0,1 деленное на 0,12,
а x2 = 0,5 – 0,1 деленное на 0,12.
Ну здесь мы получаем 0,6 на 0,12,
здесь мы получаем 0,4 делить на 0,12.
Видно, что оба корня по модулю больше одного.
Из этого мы делаем вывод, что процесс,
что у этого уравнения есть
стационарное решение.
Рассмотрим пример 2.
yt =
–3 +
1,2yt –
1 – 0,2 yt – 2 + εt.
Опять же все записываем с оператором лага и переносим в одну часть все y.
Получаем (1 – 1,2 * L + 0,2 * L в
квадрате) * yt = – 3 + εt.
Повторяем те же самые вычисления, значит,
характеристический многочлен 1 – 1,2L + 0,2 L квадрат.
Ну приравниваем это к нулю с какой-нибудь неизвестной 1 –
1,2x + 0,2x в квадрате = 0 И тут
находим один из корней — это единичка,
x1 = 1, а x2 это,
соответственно, у нас 1 деленное на 0,2.
Если 1 можно угадать, а этот посчитать по теореме Виета.
Ну и, соответственно, мы получаем что вот модуль x2 он,
конечно, больше единички, с этим не поспорить, а вот
модуль x1 уже равен единичке.
И стало быть условие теоремы не выполнено,
и у этого процесса нет стационарного решения,
процесса нет
стационарного решения.
Третий пример.
Пример 3.
yt = 2
+2yt – 1 –
2 yt – 2 + εt.
Опять записываем с помощью оператора лага и переносим все y в левую часть.
Получаем (1 – 2L + 2L в квадрате) * yt = 2 + εt.
Правая часть никак не влияет на стационарность,
но вот мы посмотрим на корни левой части.
Итак, характеристический многочлен — это 1 – 2L + 2L квадрат,
и записываем это как уравнение с какими-нибудь переменными
x: 1 – 2x + 2x в квадрате = 0.
Находим.
Дискриминант...
Дискриминант (iii) квадрат 4- (минус)
(4 * 2) 8 = (- 4).
Здесь мы получаем ситуацию комплексных корней.
Ну, (- 4) — это (±2i) в квадрате.
Ну, есть такая договоренность, что комплексное число i в квадрате = (- 1).
И, соответственно, мы получаем корни.
X1,2 = 2± корень из дискриминанты,
это в нашем случае 2i, деленное
на (- 4).
И получаем одно решение: X1
= (1 + i)/2, а второе решение получаем: