Итак, давайте попробуем решить задачу 7.61 из нашего задачника.
7.61.
Вот нарисую некий сердечник,
у которого постоянно сечение.
Ну в данном случае пусть он имеет круглую форму,
хотя форма тут совершенно ни к чему.
Вот примерно это выглядит так.
Этот сердечник имеет некий паз,
ширина этого паза — l,
ну а длина вот,
собственно, сердечника
— L.
На этот сердечник намотана катушка,
эта катушка имеет N витков,
и она запитывается каким-то постоянным током I.
Магнитная проницаемость материала сердечника — μ.
По условию, магнитная проницаемость много больше единицы,
ну это у хорошей стали всегда так выполняется.
Ну вот читаю дальше текст.
Значит, в сердечнике электромагнита имеется малый зазор l,
в котором пластинка из того же материала вставлена,
вот это и есть та самая пластинка.
Материал этой пластинки ровно тот же самый, тоже μ.
Вот я её даже заштрихую, эту пластинку.
Какую работу нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить пластинку?
Значит, представим себе, что мы удаляем эту пластинку.
Ну вот я рисую как бы сторону, куда мы удаляем,
вытаскиваем эту пластинку и совершаем работу против магнитных сил.
Значит, ну, по условию задачи,
сечение везде этого, как я уже говорил,
вот его сечение S везде одинаково, нигде это не нарушается,
магнитная проницаемость среды равна единице, ну вот и, собственно, всё.
Ну наверное, надо считать, что l много меньше L, то есть вот,
вот эта ширина этой пластинки много меньше длины этого магнитного провода L.
Итак, какую же надо совершить работу.
Как найти такую работу?
Ну очевидно, что проще всего, ничего не интегрируя,
просто написать выражение для магнитной энергии вначале,
какая здесь сосредоточена магнитная энергия во всём этом
контуре вот при наличии этой пластинки с той же магнитной проницаемостью,
и когда мы вытащили уже эту пластинку и остался воздушный зазор.
И для этого случая тоже можно написать количество той энергии,
которая здесь будет сосредоточена.
Разность этих энергий и даст нам ту работу, которую нужно совершить.
Итак, вот пишу, до изъятия
этой пластинки что мы можем найти?
По теореме о циркуляции вектора H,
вот этот H * dl, что же это такое.
По этому полному контуру,
который здесь показан вот, а что это такое?
B / μ — это, собственно, H,
и длина вот этого большого контура, где длина магнитного провода, * L.
Ну раз, плюс, поскольку здесь есть ещё зазор,
но он с той же магнитной проницаемостью, то же самое,
B / μ, но только l маленькое, чему это должно быть равно?
Это должно быть равно, как мы знаем, 4π / c * ток * число витков.
То есть 4π / c, соответственно теореме о циркуляции,
значит надо умножить на величину тока и умножить
на сколько раз пересекается вот этим током площадка,
нанесённая, как бы натянутая на этот контур.
Это вот теорема о циркуляции для вектора H, отсюда мы находим поле B.
B легко находится, это 4π *
INμ / (c * сумму,
ну на полную длину в данном случае, этого контура).
Магнитная энергия, начальная магнитная энергия,
вот я пишу букву н в начале этого процесса,
это есть B² / 8πμ
и умножить на объём этого пространства,
где сосредоточена энергия, где она сосредоточена, внутри этого сердечника,
значит сечение сердечника умножить на его длину L + l.
И все дела.
Ну вот теперь?
если мы подставим сюда значение B, возведём в квадрат,
вот я не буду утомлять ваше внимание, просто напишу готовый ответ, тут всё...
много чего сокращается и получается вот такое выражение:
2πI² *
N²μ * S / (c² (скорость
света) и полную длину L + l).
Вот начальная магнитная энергия, сосредоточенная в этом сердечнике.
После того, как мы вытащим этот сердечник, у нас получится следующее.
После изъятия.
После изъятия этой пластинки.
Что тут, та же самая теорема о циркуляции.
H * dl уже в этом случае, ну здесь будет другое, наверное, поле,
ну будет выглядеть несколько иначе.
Снова B / μ, это H, на какой длине,
на длине L, а дальше воздушный зазор.
В силу того, что у нас нормальной компоненты вектора B не прерывается,
а вот этому сечению вот B всегда перпендикулярно,
поэтому тут остаётся то же самое поле B,
только уже магнитную проницаемость воздуха можно считать равной единице.
Поэтому мы, что называется, смело пишем B умножить на длину этого элемента, это l.
Единственное, что надо всё-таки поставить, вот это B', потому что поле другое.
Правая часть остаётся той же самой, 4π / c * I * N.
Отсюда мы находим это самое B'.
B', ну новое магнитное поле,
это будет 4π * IN поделить опять-таки на c²,
а здесь будет L / μ + l, как видим,
ну вот некая другая величина.
Осталось подсчитать энергию.
Вот конечная вот, чему она равна?
Ну, как и в прошлом случае, B'² / 8π,
значит, здесь мы должны уже её разделить.
То, что сосредоточено в металле, и то, что сосредоточено в воздухе.
В металле по-прежнему 8πμ * S * L, на длину металлического
контура + воздушный зазор, B'² * 8π,
просто, и здесь надо умножить ещё на S и на l.
Вот конечное значение.
Теперь если мы сюда подставим вот это значение, B', то опять
после очень простых преобразований напишем, что же тут получится.
Ну а что тут получится, я напишу ответ,
потому что загружать вас вот этими выкладками,
сами их можете проделать.
N²S / c², здесь будет (L / μ + l).
Ну осталось найти разность этих величин.
Вот для того, чтобы подсчитать величину этой работы,
надо вычесть начальную энергию,
она больше конечной, эта разность и будет той самой работой.
Давайте это сделаем.
Значит, начальная.
2πI² * N²μc
/ c² * (L + l),
вычитаем уже вот
эту, 2πI²N²S
поделить опять-таки на c² (L / μ + l).
Ну что тут можно сделать.
Понятно, что можно, вот эти здесь одинаковые члены,
их можно вынести за скобку, и по вынесении за скобку тут получается вот что.
Более того, привести всё к общему знаменателю, что я сейчас и сделаю,
и тогда будет понятно, чем я пренебрегаю.
2πI² * N²S / c²,
а здесь получается вот такая дробь,
μL + μ²l − μl
и − μL, вот так вот.
Здесь будет (L + l) *
(L + μl).
Ну вот вы видите, что здесь можно пренебречь,
поскольку L много больше l, этим,
значит, μL вот с этим μL сокращается,
ну и дальше уже достаточно просто написать, собственно, ответ.
2π * I²N²Sμ² / c²L,
можно так вытащить за скобку,
здесь будет отношение L к l, + μ.
Вот такой вот ответ,
достаточно очевидный, вот я это проделал, вот это ответ.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
