Давайте посмотрим вот такую задачу, у нее номер 7.8. Значит, по двум вертикальным рейкам (вот две вертикальных рейки), соединенным сопротивлением R снизу (вот здесь сопротивление R снизу), а сверху ЭДС (значит, вот это ЭДС). Величина этой ЭДС составляет 1 В, а внутреннее сопротивление — 2 Ом. Величина сопротивления внизу, которым замкнуты эти две рейки, вот эти две вертикальных рейки — тоже 2 Ом. И вот эти две вертикальных рейки находятся во внешнем магнитном поле. Ну то есть полностью вся эта система находится в магнитном поле B. Я уж нарисую все линии силового поля, имея в виду, что все это находится в магнитном поле B. Поле направлено на нас, на наблюдателя, и перпендикулярно плоскости доски. Значит, величина этого поля задана, ну напишем так: B = 10⁴ Гс. Так вот по этой, по этим рейкам скользит некая вот такая вот перемычка из проводника. Скользит. Масса этой перемычки задана m = 10 г, расстояние между этими вот рейками равно l = 10 см. Найти установившуюся скорость падения этого проводника. Вот он падает, сюда движется со скоростью V. Вот V — это установившаяся уже скорость. V — установившаяся скорость этого проводника. Сопротивлением всех проводов, реек, вот всё-всё-всё отсутствует, пренебречь. Имеются в виду только два сопротивления, вот это и это. И сама рейка не имеет сопротивления. То есть она с нулевым сопротивлением. Ну то есть пренебречь этим сопротивлением. Еще раз повторяю: по двум вертикальным рейкам (вот здесь есть поле g) скользит проводник массой 10 г и длиной 10 см, это расстояние между этими проводящими рейками. Контакт нигде не нарушается. Значит, рейки замкнуты ЭДС с заданным внутренним сопротивлением, и сопротивление внизу — тоже 2 Ом. Вот надо найти установившееся значение скорости. Все происходит во внешнем магнитном поле B, которое перпендикулярно плоскости доски. Ну вот скорость V у нас направлена вниз, мы это сразу подчеркиваем. Вот сразу видно, что векторное произведение V на B (вот я его вот сюда вот так вот обозначу) направлено влево. Векторное... Это очень немаловажно! [V, B] направлено влево. Таким образом, ток... Вот это — «плюс». Таким образом, ток в верхней части этого контура идет по часовой стрелке. Ну давайте, чтоб в процессе движения величину этого тока вот здесь вот, в верхней части контура, обозначим как I₁, вот ток по перемычке — I, ну здесь, понятное дело, тоже I₁. Вот здесь. Вот сюда ток пойдет I₂, который может идти и замкнуть уже цепь снизу, проходит через сопротивление 2 Ом. Вот мы сразу написали некое соотношение, что ток I — это есть сумма токов I₁ + I₂, тем самым выполнив первый закон Кирхгофа: сумма токов для любой точки есть ноль. Теперь запишем правило Кирхгофа для какого-либо контура. Понятное дело, лучше для верхнего. Итак, второе правило Кирхгофа — следующее: сумма ЭДС, действующих в контуре... это я беру контур верхний, включающий рейку... Сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на элементах этого контура. Значит, как мы напишем? ЭДС (вот оно действует) + ЭДС индукции, которая здесь возникает. Чему она равна? В гауссовой системе это пишем 1 / C * 1 / C * Blx с точкой. x с точкой – это скорость. V — это установившаяся скорость, а это — текущая скорость, которая начинается, там при начальных движениях какая-то будет скорость. Итак, еще раз повторяю: это ЭДС индукции, которая возникает в этом контуре, мы ее так напишем. Она попутно вот этому, как я уже сказал, ибо векторное произведение [V, B] направлено также влево, поэтому они складываются. И сумма падения напряжений I₁ * r. Падение напряжения на самой перемычке отсутствует, потому что мы пренебрегаем этими сопротивлениями. Это первый... первое уравнение. Напишем еще правило Кирхгофа, еще для одного контура. У нас же не задействован ток I₂. Вот он контур, нижний. Давайте его напишем. В нижнем контуре действует только одна ЭДС. Та, которая рождается вот в этой перемычке. Мы ее повторим. Это 1 / C * BLx с точкой = падению напряжений на элементах. Элемент один-единственный, сопротивление 2 Ом. Поэтому пишем I₂R. Вот это теперь можно объединить. Это два вторых правила Кирхгофа. Для верхнего контура и для нижнего. Вот этого недостаточно: нужно еще динамическое уравнение, которое свяжет... динамическое уравнение уравнение... второй закон Ньютона. Как мы его напишем? Масса на ускорение этого проводника есть mg, направленное вниз «минус» амперова сила. Амперова сила 1 / C * IlB Значит, ток в этой перемычке — I, который является суммой двух этих токов. Вот ключ к решению задачи. По существу, все уравнения, необходимые для решения этой задачи, уже написаны. И осталось вот дело техники — получить ответ. Как это сделать? Ну прежде всего здесь можно, во-первых, расписать... написать выражение для x с точкой. Для скорости. Через... ну, например, вот из этого уравнения. x с точкой скорость, ну это текущая скорость, то есть изменяющаяся, это есть... вот из верхнего выражения (RC / BL) (RC / BL) * I₂. Вот это x с точкой. И вот это разумно продифференцировать, то есть записать следующим образом: x с двумя точками (я беру производную от этого выражения) = RC (всё это константы) / Bl а здесь будет İ₂ с точкой, то есть дифференцирование по времени. У нас этот ток, естественно, меняется. И вот теперь, после того как я это написал, можно это же приравнять вот этому ускорению. Ведь это же ускорение! Давайте его напишем, какое здесь будет ускорение. x с двумя точками (вот через второй закон Ньютона) = g − (BL / mc) * I. Ну давайте приравняем две этих величины. То есть эту, вот можно сказать 1 И вот это 2, их надо приравнять. Я это и пишу. Rc / Bl * I2 = g − Bl / mc. Ну а здесь ток есть сумма токов (I₁ + I₂). Вот это равенство выполнено. Теперь имеет смысл, поскольку у нас здесь вот участвует I₂, вот эту I₁ выразить через I₂. Ну I₁ выражается через I₂ тоже вот из этого же уравнения, мы всё это прекрасно можем сделать. Давайте напишем из какого уравнения его можно выразить. Например, из этого: I₁, вот я ниже напишу, = 1 / r, значит, (E +... вот отсюда просто на r надо поделить, I₁ = 1 / r ( E + (Bl / c) x с точкой). Ну x с точкой можно сюда подставить, она у нас есть. Вот Rc, Bl, I₂, я это и делаю. Значит, получается E / r + Bl / c. А теперь, вот это x с точкой. Rc / Bl, * I₂. Значит, ну, понятное дело, что тут кое-что сокращается. Вот получается E / r + R… Да, еще здесь маленькую r я забыл. Вот... + R / r I₂. А равно это всё, мы начали с этого, I₁. То есть вот I₁ теперь можно подставить вот в это равенство и дальше, что называется, продолжить дальше. Я это сейчас и сделаю. Значит, что у меня тут получается? g −... чуть-чуть выше напишу, lB / mc, скобка. И теперь уже вот это выражение: (E / r + R / r * I₂ + I₂). Вот тут получилось некое уравнение, которое, значит, можно уже записать. Значит, Rc / Bl I₂… Вот только надо здесь точку указать, I₂ с точкой. Потому что это мы же продифференцировали. Вот. Мы приравниваем вот эту x с двумя точками, Приравниваем вот к этому выражению, поэтому там точка, то есть имеется в виду производное по времени для I₂. Вот мы получили по существу дифференциальное уравнение, которое нужно решить, вот оно здесь написано. Давайте его и напишем в соответствующем виде. Значит, ну вот отсюда прямо dI₂ / dt = ну придется, значит, перемножить вот этот вот, всё сюда перенести. Получается gBl / Rc − l² B² E / mc²r и на R, тут возникает, − l² B² / mc²R (опять-таки на R большое), отношение сопротивления (R / r + 1) I₂. Вот такое достаточно сложное выражение получается. Но, мы видим, что здесь есть некая константа, вот я её выделю, давайте её обозначим сразу, вот эта a будет, а вот эта константа при токе — это будет b при токе. Это b, поскольку это константы. Поэтому, по сути, это выражение имеет такой вид: a – b * I₂. Ну а это дифференциальное же уравнение dI₂ / dt равно вот этому. Ну конечно, оно имеет свое решение. Давайте я напишу этот интеграл dI₂ / (a − bI₂), а здесь просто интеграл по dt. Осталось расставить пределы. Какие пределы? Ну мне же нужно как I₂ зависит от времени, от 0 до какого-то текущего значения I₂. А здесь от 0 до t, в начале никакого тока, конечно, не было... OI₂. «Это почему?» — вы скажете. Да потому что перемычка не имеет сопротивления, и поэтому – вот я сюда уже вам показываю, смотрите, вот эта перемычка, у неё сопротивление отсутствует, поэтому она блокирует вот эту ЭДС в начальный момент времени, и ток течет, вот этот ток, который равен E / r, течет по этой перемычке. А сюда ничего не попадает. То есть в начальный момент начальные условия I₂ = 0. А дальше, понятное дело, он начинает попадать и сюда, то есть течет через r₂, и вот это обстоятельство мы сейчас и поймем. Как изменяется этот ток. Ну знаете, я просто напишу ответ, потому что тут явно логарифм сидит. Здесь просто t. И всё это прекрасно выражается. Ну я напишу t = −1 / b ln (a − bI₂) / a. Ну отсюда опять-таки можно уже выразить этот ток I₂. I₂(t), он зависит от времени, конечно, a / b (1 − e в степени −bt). Ну с условиями прекрасно выполняются. Смотрите, при t = 0, это 0, вот при t равном бесконечности, то есть в бесконечно удаленном времени, а нам собственно это и нужно, надо найти установившееся значение тока. Величина тока — это просто отношение a / b. Вот. И тут совершенно понятно, что это такое. Нам нужно найти x с точкой. x с точкой при t стремящемся к бесконечности. Ну а чему x с точкой равно? Вон там написано: Rc / Bl... И вот Rc / Bl и на величину этого тока. Ну понятное дело, надо t устремить к бесконечности. Чему всё это равно? Rc / Bl, значит, a / b, потому что этот член уходит в 0 экспонента. Ну и тогда остается вот немножко повозиться с арифметикой. То есть подставить вот эту желтую скобку a, поделить на b и получить окончательный ответ. Ну вот я этот окончательный ответ вам и напишу, с тем, чтобы уж совсем не тратить время на эти преобразования. gmrc² (его удобно вот так вот записать) gmrc² − EBlc (gmrc² − EBlc) / l² b², а здесь будет(1 + r / R). (gmrc² − EBlc) / l² b² (1 + r / R) Вот что у нас получилось. Это установившееся значение скорости. Ну вот навести здесь какой-нибудь вот физический смысл, увидеть, ну в принципе можно. Вот смотрите, мы с вами договорились, что скорость установившаяся, она направлена вниз. Наверху в числителе у нас разность, и поэтому это выполняется, что у нас x с точкой, ну, который и есть искомое V установившееся > 0, то есть вниз, если выполнено следующее условие. Вот это gmrc² больше, чем, вот я так и напишу, gmrc² > gmrc² > Eblc. Ну вот отсюда получается, что mg, вес, должен быть больше E / r. Это что такое? Это начальный ток. lb, единица на c, l на b. А это – амперова сила получается. Поэтому… Тут вот спрятано. То есть ток Ilb / c. Вот если вес превышает в начальный момент вот эту величину, то вот это всё движется вниз. Но это может быть и не так. Вот это x с точкой, то есть установившаяся скорость, может быть направлена и вверх. При каком условии? При условии, что mg будет меньше вот этой величины. И это возможно. Вот такая любопытная задача. Она, конечно, очень трудоемкая в смысле всяких преобразований, здесь легко ошибиться, но вот её смысл очень прозрачен. Обратите внимание, что нам понадобилось написать законы Кирхгофа, первый, протоки, установить, куда они текут и как; второй закон Кирхгофа для двух контуров; ну и собственно уравнение… второй закон Ньютона, уравнение движения этой перемычки. И еще такой простой прием. Вот это выражение для скорости продифференцировать с тем, чтобы воспользоваться уравнением, вторым законом Ньютона, уравнением движения. Тогда мы получаем спокойно ответ в этой задаче.
