В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
2. ЭДС индукции контура переменного сечения в магнитном поле
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 ratings
From the lesson
Электромагнитная индукция
Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Относительный характер электрического и магнитного полей. Коэффициенты само- и взаимоиндукции. Теорема взаимности. Магнитная энергия и её локализация в пространстве. Энергетический метод вычисления сил в магнитном поле.
Meet the Instructors
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Давайте посмотрим вот такую задачу, у нее номер 7.8.
Значит, по двум вертикальным рейкам (вот две вертикальных рейки),
соединенным сопротивлением R снизу
(вот здесь сопротивление R снизу),
а сверху
ЭДС (значит, вот это ЭДС).
Величина этой ЭДС составляет 1 В,
а внутреннее сопротивление — 2 Ом.
Величина сопротивления внизу, которым замкнуты эти две рейки,
вот эти две вертикальных рейки — тоже 2 Ом.
И вот эти две
вертикальных рейки находятся во внешнем магнитном поле.
Ну то есть полностью вся эта система находится в магнитном поле B.
Я уж нарисую все линии силового поля, имея в виду,
что все это находится в магнитном поле B.
Поле направлено на нас, на наблюдателя,
и перпендикулярно плоскости доски.
Значит, величина этого поля задана, ну напишем
так: B = 10⁴ Гс.
Так вот по этой,
по этим рейкам скользит некая вот
такая вот перемычка из проводника.
Скользит.
Масса этой перемычки задана m = 10 г,
расстояние между этими вот
рейками равно l =
10 см.
Найти установившуюся скорость падения этого проводника.
Вот он падает, сюда движется со скоростью V.
Вот V — это установившаяся уже скорость.
V — установившаяся
скорость этого проводника.
Сопротивлением всех проводов,
реек, вот всё-всё-всё отсутствует, пренебречь.
Имеются в виду только два сопротивления, вот это и это.
И сама рейка не имеет сопротивления.
То есть она с нулевым сопротивлением.
Ну то есть пренебречь этим сопротивлением.
Еще раз повторяю: по двум вертикальным рейкам (вот здесь есть
поле g) скользит проводник массой 10 г и длиной 10 см,
это расстояние между этими проводящими рейками.
Контакт нигде не нарушается.
Значит, рейки замкнуты ЭДС с заданным внутренним сопротивлением,
и сопротивление внизу — тоже 2 Ом.
Вот надо найти установившееся значение скорости.
Все происходит во внешнем магнитном поле B,
которое перпендикулярно плоскости доски.
Ну вот скорость V у нас направлена вниз,
мы это сразу подчеркиваем.
Вот сразу видно, что векторное произведение V на
B (вот я его вот сюда вот так вот обозначу) направлено влево.
Векторное...
Это очень немаловажно!
[V, B] направлено влево.
Таким образом, ток...
Вот это — «плюс».
Таким образом, ток в верхней части этого контура идет по часовой стрелке.
Ну давайте, чтоб в процессе движения величину этого тока вот здесь вот,
в верхней части контура, обозначим как I₁,
вот ток по перемычке — I,
ну здесь, понятное дело, тоже I₁.
Вот здесь.
Вот сюда ток пойдет I₂, который может идти и замкнуть
уже цепь снизу, проходит через сопротивление 2 Ом.
Вот мы сразу написали некое соотношение,
что ток I — это есть сумма токов I₁ + I₂,
тем самым выполнив первый закон Кирхгофа: сумма токов для любой точки есть ноль.
Теперь запишем правило Кирхгофа для какого-либо контура.
Понятное дело, лучше для верхнего.
Итак, второе правило Кирхгофа — следующее: сумма ЭДС, действующих в контуре...
это я беру контур верхний, включающий рейку...
Сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на элементах этого контура.
Значит, как мы напишем?
ЭДС (вот оно действует) + ЭДС индукции, которая здесь возникает.
Чему она равна?
В гауссовой системе это пишем 1 / C * 1 / C * Blx с точкой.
x с точкой – это скорость.
V — это установившаяся скорость, а это — текущая скорость, которая начинается,
там при начальных движениях какая-то будет скорость.
Итак, еще раз повторяю: это ЭДС индукции,
которая возникает в этом контуре, мы ее так напишем.
Она попутно вот этому, как я уже сказал, ибо векторное произведение [V,
B] направлено также влево, поэтому они складываются.
И сумма падения напряжений I₁ * r.
Падение напряжения на самой перемычке отсутствует,
потому что мы пренебрегаем этими сопротивлениями.
Это первый...
первое уравнение.
Напишем еще правило Кирхгофа, еще для одного контура.
У нас же не задействован ток I₂.
Вот он контур, нижний.
Давайте его напишем.
В нижнем контуре действует только одна ЭДС.
Та, которая рождается вот в этой перемычке.
Мы ее повторим.
Это 1 / C * BLx с точкой = падению напряжений на элементах.
Элемент один-единственный, сопротивление 2 Ом.
Поэтому пишем I₂R.
Вот это теперь можно объединить.
Это два вторых правила Кирхгофа.
Для верхнего контура и для нижнего.
Вот этого недостаточно: нужно еще динамическое уравнение, которое свяжет...
динамическое уравнение уравнение...
второй закон Ньютона.
Как мы его напишем?
Масса на ускорение этого проводника есть mg,
направленное вниз «минус» амперова сила.
Амперова сила 1 / C * IlB Значит,
ток в этой перемычке — I, который является суммой двух этих токов.
Вот ключ к решению задачи.
По существу, все уравнения, необходимые для решения этой задачи, уже написаны.
И осталось вот дело техники — получить ответ.
Как это сделать?
Ну прежде всего здесь можно, во-первых, расписать...
написать выражение для x с точкой.
Для скорости.
Через...
ну, например, вот из этого уравнения.
x с точкой скорость, ну это текущая скорость,
то есть изменяющаяся, это есть...
вот из верхнего выражения (RC /
BL) (RC / BL) * I₂.
Вот это x с точкой.
И вот это разумно продифференцировать, то есть записать
следующим образом: x с двумя точками (я беру производную
от этого выражения) = RC (всё это константы)
/ Bl а здесь будет İ₂ с точкой, то есть дифференцирование по времени.
У нас этот ток, естественно, меняется.
И вот теперь, после того как я это написал,
можно это же приравнять вот этому ускорению.
Ведь это же ускорение!
Давайте его напишем, какое здесь будет ускорение.
x с двумя точками (вот через второй закон
Ньютона) = g − (BL /
mc) * I.
Ну давайте приравняем две этих величины.
То есть эту, вот можно сказать 1 И вот это 2, их надо приравнять.
Я это и пишу.
Rc / Bl *
I2 = g −
Bl / mc.
Ну а здесь ток есть сумма токов (I₁ + I₂).
Вот это равенство выполнено.
Теперь имеет смысл, поскольку у нас здесь вот участвует I₂,
вот эту I₁ выразить через I₂.
Ну I₁ выражается через I₂ тоже вот из этого же уравнения,
мы всё это прекрасно можем сделать.
Давайте напишем из какого уравнения его можно выразить.
Например, из этого: I₁, вот я ниже напишу,
= 1 / r, значит, (E +...
вот отсюда просто на r надо поделить,
I₁ = 1 / r ( E + (Bl / c) x с точкой).
Ну x с точкой можно сюда подставить, она у нас есть.
Вот Rc, Bl, I₂, я это и делаю.
Значит, получается E / r + Bl / c.
А теперь, вот это x с точкой.
Rc / Bl, * I₂.
Значит, ну, понятное дело, что тут кое-что сокращается.
Вот получается E / r + R… Да,
еще здесь маленькую r я забыл.
Вот...
+ R / r I₂.
А равно это всё, мы начали с этого, I₁.
То есть вот I₁ теперь можно
подставить вот в это равенство и дальше,
что называется, продолжить дальше.
Я это сейчас и сделаю.
Значит, что у меня тут получается?
g −...
чуть-чуть выше напишу,
lB / mc, скобка.
И теперь уже вот это выражение: (E / r +
R / r * I₂ + I₂).
Вот тут получилось некое уравнение,
которое, значит, можно уже записать.
Значит, Rc / Bl I₂… Вот только
надо здесь точку указать, I₂ с точкой.
Потому что это мы же продифференцировали.
Вот.
Мы приравниваем вот эту x с двумя точками,
Приравниваем вот к этому выражению,
поэтому там точка, то есть имеется в виду производное по времени для I₂.
Вот мы получили по существу дифференциальное уравнение,
которое нужно решить, вот оно здесь написано.
Давайте его и напишем в соответствующем виде.
Значит, ну вот отсюда прямо
dI₂ / dt = ну придется,
значит, перемножить вот этот вот, всё сюда перенести.
Получается gBl / Rc
− l² B² E / mc²r
и на R, тут возникает,
− l² B² / mc²R
(опять-таки на R большое),
отношение сопротивления (R / r + 1) I₂.
Вот такое достаточно сложное выражение получается.
Но, мы видим, что здесь есть некая константа,
вот я её выделю, давайте её обозначим сразу,
вот эта a будет, а вот эта константа при
токе — это будет b при токе.
Это b, поскольку это константы.
Поэтому, по сути, это выражение имеет такой вид:
a – b * I₂.
Ну а это дифференциальное же уравнение dI₂ / dt равно вот этому.
Ну конечно, оно имеет свое решение.
Давайте я напишу этот интеграл dI₂ /
(a − bI₂),
а здесь просто интеграл по dt.
Осталось расставить пределы.
Какие пределы?
Ну мне же нужно как I₂ зависит от времени,
от 0 до какого-то текущего значения I₂.
А здесь от 0 до t, в начале никакого тока, конечно, не было...
OI₂.
«Это почему?» — вы скажете.
Да потому что перемычка не имеет сопротивления,
и поэтому – вот я сюда уже вам показываю, смотрите,
вот эта перемычка, у неё сопротивление отсутствует,
поэтому она блокирует вот эту ЭДС в начальный момент времени, и ток течет,
вот этот ток, который равен E / r, течет по этой перемычке.
А сюда ничего не попадает.
То есть в начальный момент начальные условия I₂ = 0.
А дальше, понятное дело, он начинает попадать и сюда,
то есть течет через r₂, и вот это обстоятельство мы сейчас и поймем.
Как изменяется этот ток.
Ну знаете,
я просто напишу ответ, потому что тут явно логарифм сидит.
Здесь просто t.
И всё это прекрасно выражается.
Ну я напишу t = −1 /
b ln (a − bI₂) / a.
Ну отсюда
опять-таки можно уже выразить этот ток I₂.
I₂(t), он зависит от времени, конечно,
a / b
(1 − e в степени −bt).
Ну с условиями прекрасно выполняются.
Смотрите, при t = 0, это 0, вот при t равном бесконечности,
то есть в бесконечно удаленном времени,
а нам собственно это и нужно, надо найти установившееся значение тока.
Величина тока — это просто отношение a / b.
Вот.
И тут совершенно понятно, что это такое.
Нам нужно найти x с точкой.
x с точкой при t стремящемся к бесконечности.
Ну а чему x с точкой равно?
Вон там написано: Rc / Bl...
И вот Rc / Bl и на величину этого тока.
Ну понятное дело, надо t устремить к бесконечности.
Чему всё это равно?
Rc / Bl, значит, a / b,
потому что этот член уходит в 0 экспонента.
Ну и тогда остается
вот немножко повозиться с арифметикой.
То есть подставить вот эту желтую скобку a,
поделить на b и получить окончательный ответ.
Ну вот я этот окончательный ответ вам и напишу, с тем,
чтобы уж совсем не тратить время на эти преобразования.
gmrc² (его удобно вот так вот записать)
gmrc² − EBlc
(gmrc² − EBlc) / l² b²,
а здесь будет(1 + r / R).
(gmrc² − EBlc) / l² b² (1 + r / R) Вот что у нас получилось.
Это установившееся значение скорости.
Ну вот навести здесь какой-нибудь вот физический смысл,
увидеть, ну в принципе можно.
Вот смотрите, мы с вами договорились,
что скорость установившаяся, она направлена вниз.
Наверху в числителе у нас разность,
и поэтому это выполняется, что у нас x с точкой,
ну, который и есть искомое V установившееся > 0,
то есть вниз,
если выполнено следующее условие.
Вот это gmrc² больше, чем, вот я так и напишу,
gmrc² >
gmrc² > Eblc.
Ну вот отсюда получается, что mg,
вес, должен быть больше E / r.
Это что такое?
Это начальный ток.
lb, единица на c, l на b.
А это – амперова сила получается.
Поэтому… Тут вот спрятано.
То есть ток Ilb / c.
Вот если вес превышает в начальный момент
вот эту величину, то вот это всё движется вниз.
Но это может быть и не так.
Вот это x с точкой, то есть установившаяся скорость,
может быть направлена и вверх.
При каком условии?
При условии, что mg будет меньше вот этой величины.
И это возможно.
Вот такая любопытная задача.
Она, конечно, очень трудоемкая в смысле всяких преобразований,
здесь легко ошибиться, но вот её смысл очень прозрачен.
Обратите внимание, что нам понадобилось написать законы Кирхгофа,
первый, протоки, установить, куда они текут и как;
второй закон Кирхгофа для двух контуров; ну и собственно
уравнение… второй закон Ньютона, уравнение движения этой перемычки.
И еще такой простой прием.
Вот это выражение для скорости продифференцировать с тем,
чтобы воспользоваться уравнением, вторым законом Ньютона, уравнением движения.
Тогда мы получаем спокойно ответ в этой задаче.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
