Следующая задача 10.26 вот
о чем: она посвящена
резонансам токов и резонансам напряжений.
Предлагается вот такая цепочка: катушка индуктивностью
L/2, дальше идет емкость 2C,
дальше вот такое соединение
катушки и емкости.
Вот.
И все это ведет к
источнику переменной ЭДС – E.
Вот тут какой-то ток, конечно, течет по этой цепи.
Итак, читаю текст.
«Определить частоты источника ЭДС,
соответствующие резонансам токов и резонансам напряжений».
Значит, резонансы.
Первое: резонансы напряжений.
Второе: резонансы токов.
Вот в этой цепи могут быть.
Кроме того, нужно «построить график сдвига фазы тока
относительно ЭДС источника, в зависимости от частоты источника,
считая сопротивление последнего пренебрежимо малым».
То есть, сразу обращаем внимание на то,
что здесь сопротивление полностью отсутствует.
Вот такая идеальная цепь, состоящая только из катушек и емкостей, и ничего другого.
И сопротивление самого источника тоже будем считать пренебрежимо малым.
Вот в этой связи мы можем написать выражение для импеданса этой цепи.
Ну импеданс – это вот такое вот комплексное сопротивление,
которое следует написать по правилам, таким же как вот при обычном
последовательном и параллельном соединении резисторов.
Понимаю, что у нас вот это вот реактивное сопротивление катушки такое-то.
Реактивное сопротивление,
соответствующее сопротивление переменному току конденсатора, такое-то и так далее.
Вот пишем: iω L/2.
Это реактивное сопротивление вот 1-й катушки.
Она включена последовательно вот с источником,
вот последовательно с емкостью 2C.
Ну лучше всего это написать так: сразу мнимую 1,
вот эту i, я отправляю с i знаменателя наверх.
Поэтому здесь появляется −i.
Вот.
И пишу: 1 / (ω * 2C).
Вот обратите внимание, надо было написать 1 / i ω * 2C.
Вот эта i переправилась наверх, потому что в определении ну,
понятное дело, возникает здесь «минус».
Дальше.
Наконец здесь параллельное соединение
катушки индуктивностью L и емкостью C.
Вот такое параллельное соединение.
Как написать его сопротивление?
Его сопротивление записывается ну, в общем-то,
также как в обычном резисторе: Там, R1 R2 / R1 + R2.
Мы так и напишем.
Вот.
Единственное, что мы сделаем – вот эту мнимую 1, вот эту i,
которая возникает в знаменателе, мы также отправим наверх.
Тогда внизу будет ωL − 1 / ωC,
а наверху будет iωL * 1 iωC.
Вот, собственно говоря, вот это R1 и R2 – это как бы,
ну я так вот говорю, по образу, как подсчитать
общее сопротивление параллельной цепочки.
Вот значит iωL * 1 / iωC и дальше на их сумму.
А их сумма с учетом того, что это вот это i здесь существует.
Вот оно и отправило это i сюда наверх со знаком «минус».
И здесь возник, соответственно, «минус».
Вот мы видим: здесь i сокращается, но здесь-то оно остается.
И тогда это все уже можно легко преобразовать.
То есть i вытащить за вот скобку,
а здесь оставить вот следующую комбинацию.
Она такая будет: [ω в квадрате
LC − 1 – вот из этих двух элементов,
вот этих, последовательно соединенных – / 2ωC.
Здесь «минус».
Ну здесь i у нас ушло благополучно.
Значит, будет ωL / ω в
квадрате LC − 1].
Скобку мы закрыли.
Вот что здесь получается.
Итак, мы видим, что импеданс этой цепочки чисто мнимый.
Ну он таким и должен быть,
потому что здесь только реактивные элементы: катушки, емкости.
Никаких активных сопротивлений нет.
Ну вот теперь идем дальше.
Итак, когда же наступает резонанс напряжения?
Да когда, вот это, в данном случае z равно 0.
Это резонанс напряжения.
Резонанс напряжения.
Почему так?
Да потому что вся цепочка, она реактивна.
И в резонансе напряжений вот должно, вот это вот, импеданс должен быть равен 0.
Ну я в связи с этим, поскольку надо приравнять вот эту скобку,
вот то, что в квадратных скобках, к 0, напишу сразу же, что тут у нас получается.
Отсюда следует, вот буквально вот из этого выражения.
Это будет (ω в квадрате LC − 1) в квадрате
= 2 ω в квадрате LC и решить по существу это уравнение.
Отсюда будет следовать, ну некое биквадратное уравнение.
Давайте его распишем.
ω в 4 L-квадрат C-квадрат
− 2 ω-квадрат L-квадрат,
C (L без квадрата)...
LC + 1 = 2 ω в квадрате LC.
Ну вот видим, можно сделать следующее: ω в квадрате
обозначить как x, ну LC, допустим, как некую a.
И тогда получится следующее уравнение: x-квадрат,
a-квадрат − 4 ax + 1 = 0.
Ну и решить это уравнение.
Ну я приведу его к приведенному виду: x-квадрат − (4
/ a)x + (1 / a-квадрат) = 0.
Ну решение легко записывать следующим образом.
Значит, как у квадратного уравнения.
Значит, коэффициент при первой степени со знаком «минус» надо брать и делить на 2.
То есть получается +2 / a ± корень
квадратный из 4 / a-квадрат − свободный член.
Свободный член – 1 / a в квадрате в этом квадратном уравнении.
То есть получается вот такая вот вещь: 2 /
a ± корень из 3 / a.
Ну то есть, возвращаясь уже к частотам, вот.
Ибо ω в квадрате – это есть x.
Мы напишем сразу ответы.
У нас два корня.
ω1 – это есть (корень квадратный
из 2 − корень из 3) / LC.
И второй корень, ω2 – это есть (корень квадратный
из 2 + корень из 3) также / LC.
Итак, вот две частоты,
которые соответствуют резонансу напряжений в этой задаче.
Резонанс токов, в свою очередь,
наступает тогда, когда в данной, конечно,
в такой вот реактивной цепочке… наступает тогда,
когда импеданс должен быть равен 0, поэтому резонанс
токов, резонанс токов — это вот
что: когда Z в (−1) степени = 0.
А Z — это вот коэффициент при i.
Его нужно приравнять нулю.
Ну мы так и сделаем.
2ωc 2ωc
* (ω в квадрате * LC − 1),
2ωc * (ω в квадрате * LC − 1 / (ω в квадрате LC 2ωc * (ω в
квадрате * LC − 1 / ((ω в квадрате LC − 1) в квадрате − 2ω в квадрате LC)).
Вот из этого, вот это, обратное ему выражение.
То, что в знаменателе было, ушло в числитель,
а числитель отправили в знаменатель.
И вот это приравниваем 0.
Ну здесь решение однозначно,
оно совершенно понятно, одно единственное, то есть ω,
вот некое нулевое в квадрате, это 1 / LC.
И оно соответствует как бы резонансу вот в этой параллельной цепочке,
где параллельно катушка и конденсатор.
Вот в этой параллельной цепочке происходит то, что мы называем — резонанс токов.
Таким образом мы отметили 3 частоты: ω1, ω2,
соответствующие резонансу напряжения, и ω0 в квадрате,
1 / LC — это соответствует резонансу токов.
Так вот, напоминаю, что нам надо построить
график сдвига фазы тока i относительно
ЭДС источка в зависимости от частоты источника.
То есть вот что.
Вот отметим сюда эту частоту источника,
а сюда, соответственно, сдвиг по фазе.
Фазовый сдвиг, ну какой-то угол φ, допустим.
Ну что это за угол?
Понятно, что здесь сдвиг по фазе между током и напряжением.
Или π пополам,
или (−π) пополам, ничего другого здесь быть не может.
То есть во-первых, надо отметить все эти частоты, где они расположены.
Ну допустим, ω1 расположено вот как-то здесь, дальше,
за ним идет, ну как бы легко догадаться по этим числам, что ω0 где-то между ними.
Вот здесь ω0, сюда ее напишу.
И наконец, ω2, ну например, вот здесь.
Значит ω1 — это резонансы напряжения.
Так вот при частотах меньших вот ω1 у нас цепочка имеет
емкостной характер, и сдвиг по фазе здесь будет (+π) пополам.
Дальше, поскольку идет резонанс напряжений,
идет рывок, и сразу же вот это вот,
это π пополам, и здесь у нас есть еще (−π) пополам.
Происходит рывок такой,
и вот дальше устанавливается сдвиг по фазе между током и напряжением.
Ну кто кого опережает.
Вот это емкостный характер, емкостный характер цепочки.
А здесь, наоборот, индуктивный.
Ну вот наступает тем не менее резонанс напряжений,
резонанс токов вот здесь вот вклинивается, ω0 в квадрате.
Это 1 на...
просто ω0 это 1 на корень из LC, то она снова тоже меняет сдвиг
по фазе на π пополам, и опять изменение.
И дальше уже вот такая получается хитрая зависимость.
То есть то емкостной, то индуктивный.
То есть все время меняется сдвиг по фазе, и разрыв этого,
вот разрыв этой разности фаз между током и напряжением,
вот этот разрыв, он происходит через,
после преодоления соответствующего резонанса либо токов,
либо напряжений.
Вот.
Ну на векторной диаграмме, поскольку отсутствует.
Вот векторную диаграмму рисовать даже не имеет никакого смысла,
поскольку отсутствует активное сопротивление,
то это всего-навсего вот два конкурирующих вектора.
Вектор падения напряжения на...
Что преобладает?
Либо катушка, это цепь работает, либо как вот емкость.
Вот это мы здесь и отметили, задача решена.
