Задача 5.33.
Вычислить коэффициент взаимной индукции
между катушкой намотанной на тор прямоугольного сечения и
бесконечно прямым проводом, идущим по оси этого тора.
Длина катушки, длина стороны сечения параллельного
провода равна a, перпендикулярная b,
радиус внутренней поверхности тора R, число витков N.
В общем тут, давайте я это изображу лучше сначала.
Итак, значит, ну попытаюсь.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Собственно это катушка прямоугольного сечения.
Вот она такая, значит тут
вот наверное еще вот этот есть провод.
Вот такая часть будет видна у этого тора прямоугольного сечения.
Осталось нарисовать виточки, ну виточки
наверное вот так надо рисовать.
Ну я условно конечно, и так далее.
Можно тут еще как-то вот так.
И так далее.
Вот здесь, допустим, с той стороны выходит
провод и тут же заходит этот сюда,
и вот соответственно к этим виточкам, ну наверное как то вот так.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну и так далее.
Ну я так в подробностях конечно могу все это рисовать.
Бог с ними, ладно.
Будем надеяться что тут вот все
получится более-менее понятно.
Итак, вот все заполнено виточками.
И здесь тоже конечно тут все заполнено, в общем этот тор заполненный виточками.
Так вот.
Теперь значит задано, что...
еще одно.
Надо, наверное, все-таки посмотреть вот это вот.
Эту проекцию, тогда будет совсем понятно.
Вот проекция на этот тор.
Значит, это сечение.
Сторона этого сечения равна b,
вот этот отрезок — это a,
а радиус внутренней поверхности
внутреннего цилиндра этого тора, такого прямоугольного сечения R.
Итак, заданы вот эти размеры a на b,
радиус, вот этот внутренний радиус R.
Что еще известно?
Число витков N, N — число витков,
число витков.
Итак, вычислить коэффициент взаимной индукции между катушкой,
намотанной на вот такой тор прямоугольного сечения и бесконечно прямым проводом,
расположенным по оси этого тора.
Ну давайте я вот таким вот ядовито-зеленым цветом изображу, вот он идет по оси.
И там дальше как то проходит.
У меня немножко не совпадает, но это все уходит на бесконечность.
Это провод, который проходит через, он бесконечно протяженный,
вот даже покажу, что он туда куда-то уходит на бесконечность и здесь тоже
как-то уходит на бесконечность.
Ну здесь немножко не на оси у меня получилось, не важно, вот в этой проекции.
Итак, вычислить коэффициент взаимной индукции.
Он обозначается буквой M, коэффициент взаимной индукции.
Значит, как его подсчитать в данном случае?
Понятно, что если по прямому проводу пропустить ток,
бесконечно протяженный, то магнитные, силовые линии этого тока,
они пронизывают вот это сечение,
вот это заштрихованное сечение, каким-то образом
пронизывают и можно подсчитать магнитный поток,
который пронизывает сечение этого тора.
А источником этого магнитного поля является бесконечно протяженный провод.
Значит магнитный поток, вот пишу,
провода, через катушку,
вот через катушку, словами.
Как его подсчитать?
Ну как его подсчитать?
Значит ну во-первых N витков в этой катушке,
конечно надо все и дальше разобраться с одним из этих витков.
Как это сделать?
Ну интеграл, значит B (r) умножить на элементарную площадку adr.
Ну хорошо, покажу эту элементарную площадку,
наверное надо бы ее так вот выделить.
Вот смотрите, вот эта элементарная площадка,
вот она красненьким заштрихована.
Расстояние до нее — это r, толщина этой,
как бы этого слоя dr, длина a,
значит площадь вот эта площадь ds — это площадь.
Ну а поле B от этого, ну допустим у нас ток течет вот так вниз,
поэтому поле B вот сюда, пронизывающее, вот оно,
этот виточек вот, вот ну пронизывающая эту площадочку.
И таким образом магнитный поток, пронизывающий эту вот
красненькую площадочку, заштрихованную — это есть B (r) * adr.
И надо проинтегрировать, понятное дело от,
вот радиуса R
до R + b,
R + b и все прекрасно подсчитается.
Поле прямого провода, оно прекрасно нам известно.
Пишу N, поле прямого провода, ну хорошо 2I
/ Cr adr.
Ну что тут получается?
Интеграл от R до R + b.
Ну получается логарифм.
Получается 2I aN /
C * ln (R + b) / R.
Итак, это магнитный поток,
пронизывающий эту катушку...
витки, точнее витки этой катушки.
То есть число витков N.
Ну а коэффициент при токе,
это и будет в данном случае коэффициентом взаимной индукции.
Вот он.
Вот не включающий C, конечно.
Вот, вот то, что я вот здесь вот записал.
Это будет коэффициент взаимной индукции.
Таким образом,
M это есть, ну надо было написать так 1 / C MI,
где I — это ток, текущий по проводу.
Вот только так, вот все это легко считается.
M = 2aN ln (1 + b / R).
И мы видим, что коэффициент взаимной индукции,
правильно все, имеет размерность длины, то есть сантиметры.
Вот и в Гауссовой системе единиц.
Вот мы получили требуемый ответ.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
