Otro aspecto importante en el aprendizaje de la geometría es la representación. Como lo vimos en el curso sobre el aprendizaje de las matemáticas de primaria, el aprendizaje de los conceptos matemáticos resulta más fácil cuando se evita la abstracción y se utilizan representaciones concretas o externas que los escolares pueden observar, manipular, construir o transformar. Las representaciones externas de los conceptos geométricos se presentan en una gran variedad de formatos. Por ejemplo, es el caso de las figuras con las que se presentan distintas representaciones del cubo y los aspectos verbales como la definición del concepto. Recordemos que un factor importante en el aprendizaje de la geometría es la necesidad de que el escolar conozca los convenios de interpretación que utiliza para representar los conceptos geométricos. Esta característica es especialmente importante en la representación de objetos tridimensionales. Para estos objetos se reconoce la existencia de dos niveles de representación. El primer nivel corresponde a las representaciones tridimensionales manipulativas, como los sólidos de madera, plástico o las construcciones de varillas. El segundo nivel corresponde a los dibujos planos del objeto en el cuaderno, por ejemplo, el dibujo del objeto en proyección paralela, en perspectiva o en proyección isométrica. Esta información nos permite concretar el siguiente objetivo de aprendizaje de la planificación, establecer relaciones entre figuras bidimensionales y tridimensionales a partir de la descripción de sus elementos. El siguiente paso en el procedimiento de planificación es tener en cuenta las etapas que siguen los escolares durante el aprendizaje de la geometría. Los niveles de razonamiento del modelo "Van-Hiele" nos dan información sobre el nivel de aprendizaje en el que están los escolares de tercer grado de primaria. Tendremos en cuenta la información de uno de los niveles predominantes en la educación primaria, el nivel uno. En el nivel uno, denominado análisis, los escolares comienzan a distinguir las características de las figuras a través de la observación y la experimentación, se descubren y se generalizan propiedades a partir de algunos casos particulares. Dichas propiedades surgen al identificar características comunes de clases de figuras, por ejemplo, se puede percibir que los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos y dos pares de lados iguales. Uno de los objetivos a lograr en este nivel uno es el siguiente: los escolares deben aprender a describir, cada vez con mayor precisión, las propiedades y elementos de figuras, movimientos y posiciones. Por ejemplo, deben saber describir cuerpos geométricos para que otro compañero lo reconozca, o los movimientos que necesitan para mostrar la congruencia de las figuras. Una vez definida la expectativa de aprendizaje de nivel medio y las fases del aprendizaje en las que se encuentran nuestros escolares de tercer grado de primaria, podemos concretar las metas de las tareas. A partir de la información descrita anteriormente, se espera que los escolares puedan reconocer los desarrollos planos que corresponden a un sólido, según la posición de las diferentes caras y aristas y establecer cómo está construida una figura tridimensional, a partir de una vista bidimensional. A continuación, describiremos algunas limitaciones de aprendizaje asociadas al aprendizaje y la geometría. Desde el punto de vista del aprendizaje, lo más interesante es que las representaciones externas de un objeto geométrico ayudan a crear lo que se denomina "la imagen del concepto". Como describimos en el curso anterior, la imagen de un concepto es el conjunto de todas las imágenes mentales, las propiedades y los procesos que un sujeto desarrolla en su mente al atender algunos elementos y características del concepto. Por ejemplo, algunos tipos de imágenes mentales son de tipo pictórico, es decir, el sujeto rememora en su mente imágenes pictóricas de objetos reales. Las limitaciones de aprendizaje asociadas al aprendizaje de la geometría están organizadas en tres grupos. El primer grupo describe las dificultades con los tipos de representación externa. Las representaciones externas incluyen atributos irrelevantes en la representación del concepto, por ejemplo, los escolares cuestionan el paralelismo cuando dos rectas se dibujan con una distinta longitud o cuando hay una tercera recta paralela entre ellas. En otras ocasiones, las representaciones externas excluyen propiedades muy relevantes del concepto, que generan también una imagen mental equivocada. Por ejemplo, se dibujan los triángulos de modo que las alturas y mediatrices se cortan siempre en el punto interior, o de modo que la altura cae dentro del triángulo. El segundo grupo de dificultades se relaciona con el paso del espacio al plan. Los escolares tienen dificultad para identificar a qué familia corresponde una figura, según el tipo de material que se use para representarla. Por ejemplo, los escolares tienen más dificultades para reconocer las caras de los poliedros en los armazones que si se muestra un modelo opaco del mismo objeto. Otro tipo de dificultades asociadas a la tridimensionalidad se genera por los dibujos planos de los objetos espaciales. Los escolares tienen dificultades para percibir la perpendicular en una representación plana, por ejemplo, los escolares perciben sin dificultad la perpendicularidad de las aristas consecutivas en la cara frontal de la representación de un cubo, pero no la perciben en la cara superior. Dificultad para relacionar un poliedro y su desarrollo plano. Este error se pone de manifiesto cuando, por ejemplo, los escolares dibujan menos caras o más caras de las debidas. El tercer grupo de dificultades corresponde a las dificultades de los escolares para describir la orientación y la ubicación de objetos en el espacio, en relación con uno mismo y con otros objetos. Esta habilidad requiere utilizar nociones como arriba, abajo, delante y detrás, derecha, izquierda, etcétera. Se tienen que referir a algún punto de referencia, por supuesto. Esta nueva información nos ayuda a concretar aún más las metas de nuestra planificación. Podemos redactar las metas como las siguientes: reconocer los desarrollos planos que corresponden a un cubo, según la oposición de las diferentes caras y aristas, y superar dificultades relacionadas con excluir atributos relevantes en la representación del concepto y con el tipo de material que se usa para representarlo. Y la segunda meta, establecer cómo está construida una figura tridimensional a partir de su vista bidimensional y superar dificultades relacionadas con incluir atributos irrelevantes en la representación del concepto, el uso de dibujos planos de los objetos espaciales y con la orientación y ubicación de objetos en el espacio. En la siguiente lección nos centraremos en buscar las tareas para nuestra planificación.
