[MÚSICA] En este capítulo estudiaremos el problema de equilibrio de mercado en redes de transporte. Comenzaremos este capítulo refrescando la memoria, recordando las definiciones de equilibrio de tráfico y de mercado, y discutiremos dos tipos de enfoque de solución para este tipo de problemas, el enfoque secuencial y el enfoque simultáneo. Para comenzar refrescaremos la memoria con la definición de equilibrio de tráfico. Diremos que un sistema se encuentra en equilibrio de tráfico si, dada una demanda fija y conocida su asignación satisface que ningún usuario posee un incentivo para cambiar su elección. En otras palabras, resolver un problema de equilibrio de tráfico consiste en tomar la información fija y conocida sobre la oferta y la demanda de la red de transporte y utilizando algún tipo de modelo obtener una estructura de flujos que satisfaga las condiciones de equilibrio. Cuando existe congestión sobre la red, la asignación se puede resolver con modelos de equilibrio como los que hemos estudiado hasta ahora. Sin embargo, no siempre podemos suponer que conocemos a priori una matriz de viajes para el sistema. De hecho, tiene sentido considerar que la demanda por viajes va a depender de alguna forma de cuánto cuesta viajar entre los distintos orígenes y destinos. Un problema de equilibrio donde la demanda es función de los costos sobre la red se conoce como un problema de equilibrio de mercado. Para comprender mejor este tipo de equilibrio recordemos el modelo de cuatro etapas. Este modelo estima los flujos sobre una red usando cuatro modelos más específicos que hemos explicado anteriormente. Generación, distribución, partición modal y asignación. Los tres primeros modelos tienen por fin construir una matriz de demanda. El modelo de asignación toma esta matriz de demanda y como su nombre lo indica asigna esta demanda a la red para obtener su estructura de flujos. El problema con este enfoque, como you mencionábamos, era que para poder resolver un problema de distribución o uno de partición modal antes es necesario conocer los costos de las alternativas involucradas. Por ejemplo, si tenemos un problema de distribución donde debemos predecir el destino de 10 viajes entre dos posibles destinos, evidentemente nuestra predicción debiese castigar a la opción cuyo tiempo o costo de acceso sea mayor. Por otra parte, estos costos necesarios para obtener la demanda del problema solo podemos conocerlos tras resolver el problema de asignación. Esto da lugar al siguiente ciclo. Necesitamos conocer los costos para obtener la matriz de demanda y necesitamos conocer la matriz de demanda para conocer los costos. De hecho la solución de equilibrio de mercado es aquella que satisface que sus costos implican a su matriz de demanda y su matriz de demanda implica su estructura de costo. Cabe notar que la parte de los costos puede ser interpretada como una función de oferta, es decir qué nivel de servicio obtengo para cierto nivel de consumo. De esta forma el equilibrio buscado es un equilibrio entre oferta y demanda, de ahí el nombre de equilibrio de mercado. Entonces, diremos que un sistema se encuentra en equilibrio de mercado si su asignación es un equilibrio de tráfico y sus costos de equilibrio son consistentes con la demanda generada. Para reforzar el paralelo existente con un equilibrio de mercado en el sentido micro económico pensemos por un minuto en una ruta aislada entre dos localidades A y B. Sobre esta ruta circula un flujo T, y posee un costo dependiente de este flujo c de T. Si graficamos este costo en función del flujo, ¿cómo debería verse esta función? Tal como vimos en los capítulos anteriores, esta curva debiese ser alguna función no decreciente del flujo, como por ejemplo una función tipo BPR. Diremos que esta curva corresponde a la curva oferta del problema. Supongamos ahora que el flujo T, es decir la demanda por esta ruta, es función del costo de ella. Esto implica que también podemos graficar una curva de demanda relacionando flujo generado con cada nivel de costo. En nuestro gráfico, ¿cómo debiese verse esta curva? La demanda debiese corresponder a una curva no creciente como la que se ilustra. Podemos verificar en esta curva que si el costo es alto, el flujo correspondiente es bajo y viceversa. Si disminuimos el costo de la ruta, su flujo, es decir su demanda, aumenta. Tomemos ahora un nivel de demanda cualquiera y llamémoslo T0. Supongamos que este es el nivel actual de demanda por viajes de A a B. Si esta demanda circula por la ruta, el costo que se experimenta está dado por la función de oferta. Llamemos a este costo c0. Ahora si el costo por viajar es de c0, ¿cuál sería según el gráfico la demanda por viaje en esta ruta? Buscamos c0 en al curva de demanda y obtenemos un nuevo nivel de demanda T0 prima, que es diferente en este caso a T0. Para determinar el equilibrio de mercado, necesitamos encontrar un nivel de flujo tal que esta última inconsistencia no exista. ¿Con qué nivel de flujo deberíamos comenzar para que este procedimiento nos entregue el mismo flujo inicial? Claramente este flujo será el determinado por la intersección de las curvas de oferta y demanda, es decir el equilibrio de mercado en este contexto es análogo al equilibrio de mercado en el contexto micro económico. Para este ejemplo sencillo es posible, entonces, encontrar el equilibrio buscado simplemente intersectando las curvas. Sin embargo, las instancias más realistas son bastantes más complejas. Por una parte, no existen por lo general funciones sencillas de demanda como la que acá ilustramos sino que modelos como los de generación, distribución y partición modal que permiten construir matrices. Por otra parte, obtener los costos del sistema para una matriz dada implica resolver un problema de equilibrio de tráfico con alguno de los metodos estudiados anteriormente. ¿Qué podemos hacer entonces en escenarios más complejos para encontrar el equilibrio de mercado? Un primer enfoque sería intentar resolver el problema en forma secuencial iterando entre los sub modelos. Esto quiere decir comenzar por una solución arbitraria e ir obteniendo en forma alternada la matriz de demanda y los costos por par origen destino hasta que la solución converja. Por ejemplo, supongamos que construimos una matriz de demanda cualquiera dada por T0 y la asignamos para obtener los costos iniciales c0. Tomamos estos costos c0 y los usamos para alimentar nuestros modelos de demanda que nos entregan una nueva matriz T1. Resolvemos un nuevo problema de asignación, es decir, resolvemos un equilibrio de tráfico para la matriz T1 y obtenemos los nuevos costos c1. Podemos seguir adelante con este procedimiento en forma indefinida. Si en algún momento tenemos que los valores de T y c coinciden o son suficientemente parecidos en dos iteraciones seguidas hemos encontrado el equilibrio de mercado buscado. El problema con este enfoque secuencial es que nada nos garantiza que converja. Es por eso que necesitamos considerar otro tipo de enfoque de solución para el problema. Este otro tipo de enfoque de solución se conoce como el enfoque simultáneo. La idea detrás de este enfoque es construir un único problema de optimización equivalente cuyas condiciones de optimalidad impliquen que la solución encontrada sea un equilibrio de mercado, es decir que sea un equilibrio de tráfico y que además entregue soluciones con costos y matrices consistentes. El resto de este módulo estará dedicado a estudiar tres casos particulares de problemas de equilibrio de mercado que pueden ser resueltos usando un modelo combinado. El primer caso son los problemas de equilibrio con funciones diagonales de demanda. Estos problemas en lugar de estimar la demanda usando el modelo de cuatro etapas asumen que la demanda de un par origen destino es función exclusivamente del costo de las alternativas de dicho par, en forma similar al ejemplo antes visto en esta clase para ilustrar el equilibrio de mercado. El segundo tipo de problema que veremos es el que combina el problema de distribución de viajes, es decir, cuánta demanda lleva cada para origen destino con el problema de asignación. El tercer y último tipo de problema que veremos es el problema conbinado de partición modal, es decir qué modos, auto, bus, etcétera son usados para realizar el viaje y el problema de asignación. En resumen, hoy recordamos en qué consiste un equilibrio de mercado en el contexto de los modelos de asignación y equilibrio. Un equilibrio de mercado corresponde a un equilibrio de tráfico donde la demanda es además consistente con los costos experimentados en la red. Para encontrar un equilibrio de mercado en una red de transporte existen al menos dos tipos de enfoque, secuencial y simultáneo. El primer enfoque es más sencillo e intuitivo pero lamentable no garantiza convergencia, lo que nos obliga a buscar algún enfoque simultaneo de solución. Eso es todo por hoy. Nos vemos en la próxima. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO]
