Nesta vídeo aula, nós vamos resolver o exercício para o caso onde o tamanho da amostra é menor do que 30. A gente está então falando aqui de uma amostra pequena pela concepção proposta referente ao tamanho da amostra. O exercício está dividido duas alternativas, a alternativa 'a' e a alternativa 'b'. A primeira não necessariamente teste de hipótese, é só cálculo de probabilidade. E a segunda, sim, seria o teste de hipótese baseado na distribuição binomial que é calculada pela função da distribuição binomial utilizada no exercício 'a' e depois adaptada no exercício 'b'. Nós vamos resolver primeiro a alternativa 'a' e trata-se, então, de verificar para número 'y', que seria o somatório dos casos de sucesso dessa variável aleatória binária que se divide e zero, somamos o valor de uma unidade no valor de 'y'. Temos, então, que a probabilidade desse valor de 'y' ser igual a três, ou seja, o número de alarmes ser igual a três é o que nos responde esse exercício. A gente conhece essa probabilidade pela fórmula que utiliza o binômio de Newton que é a combinação de 'n' tentativas de casos de sucesso multiplicados pela probabilidade teórica, ou esperada, elevada a 'k' vezes menos a probabilidade de 'p', que é o seu complementar, elevado a 'n' menos 'k'. Onde, então, 'k' igual aos casos de sucesso 'n', número de tentativas, 'p' igual a probabilidade de sucesso e o menos 'p' é o seu complementar, e 'y' sendo a quantidade de casos de sucesso. A aplicação então é dada pela substituição na fórmula da probabilidade dos itens correspondentes. Então, a gente tem que aqui faremos quatro tentativas arranjo de três de todas as combinações possíveis considerando a probabilidade de sucesso elevado pelo valor de 'k' vezes o seu complementar elevado a que aqui, no caso, é 'n' menos 'k', quatro menos três. Esse daqui é o binômio de Newton, que é o número de tentativas fatorial, 'n' menos 'k' fatorial vezes 'k' fatorial. No nosso exemplo, isso aqui seria então quatro fatorial, quatro menos três fatorial vezes três fatorial. Tudo isso multiplicado por 0,8 elevado ao cubo, 02, elevado a uma. Isso daqui é igual a 0,4096. Para quem não se lembra, o valor fatorial é a multiplicação do número pelos seus valores subtraidos de uma unidade. Esse sequência aqui pode ser então utilizada para o cálculo. Essa, portanto, é a probabilidade que o número de sucessos seja igual a três. Portanto, 40% das vezes, aproximadamente, 40% das vezes, o alarme, então, vai soar quando necessário. No entanto, isso aqui é exercício de probabilidade, não é teste de hipoteses. A gente vai ver o teste de hipoteses, propriamente dito, pelo exercício 'b'. O exercício 'b', então, seguindo aqueles seis passos para a proposição do teste de hipoteses, temos que a hipotese nula e a hipotese alternativa seria aqui a proporção de alarmes que estaria tocando, pelo menos três deles, seria de 80% e mais do que três deles seria a hipotese alternativa. Esse é o passo um; o passo dois é porque é teste binomial; o passo três, 'n' igual a quatro e alfa igual a 5%. É o padrão de alfa que a gente está botando no curso. E a estatística teste é definida no passo quatro. Ela é, então, o somatório de todos os valores pelo menos iguais ao valor de sucesso 'k', que, no caso, a gente está falando de a probabilidade de que, pelo menos, três alarmes estejam tocando dentro os quatro. Para calcular isso existem duas formas. A primeira é então calcular a probabilidade desse 'y' ser igual a três e adicionarmos a probabilidade de 'y' ser igual a quatro. Teríamos, então, que a distribuição binomial para o valor de 'k' igual a dois, três, quatro. Essa soma representa então essa área que seria a área de rejeição. A gente pode fazer então de duas formas: por meio da soma dessas duas probabilidades. Então, a gente vai ter aqui a probabilidade de 'y' ser maior igual a três, ou seja, pelo menos três alarmes tocando na soma dessas duas probabilidades. Ou o complementar, que seria menos a probabilidade de nenhum alarme tocar mais a probabilidade de alarme tocar mais a probabilidade de dois alarmes tocarem. E isso daqui é o complementar que seria essa outra área. E podemos resolver o exercício. Logicamente, nós vamos adotar o critério de facilidade, portanto, nós vamos fazer o cálculo a partir dessa idéia, e essa idéia envolve menor número de cálculos de probabilidade. Enquanto aqui faremos o cálculo de duas probabilidades, nessa outra proposta teremos que calcular três probabilidades pontuais escolhendo a mais fácil de calcular, temos a probabilidade de 'y' ser exatamente igual a três já foi calculada pelo exercício anterior, 0,4096. E a probabilidade de quatro alarmes estarem tocando vai ser dada então de novo por 'm',' k'; 'p' elevado a 'k'; menos 'p' elevado a 'k' menos. Isso aqui coincidentemente é o mesmo valor, portanto, a probabilidade de 'y' ser maior igual a três é a probabilidade de 'y' ser igual a três mais a probabilidade de 'y' ser igual a quatro. Isso daqui é 0,4096 mais 0,4096 e isso é igual a 0,8192. Esse valor é comparado com o alfa. Para esse exercício [SEM_ÁUDIO] temos que o valor de alfa é 0,05, ou seja, a soma dessas probabilidades de 'k' ser igual a três. E a gente viu que é exatamente igual a probabilidade de ser igual a quatro. A soma dessas áreas que é 'y' maior igual a três. Esse valor é comparado diretamente com alfa, portanto, pelo critério do 'p' valor temos 0,8192 é maior do que alfa, portanto, não rejeitamos H0. A soma dessas duas probabilidades é maior do que o 0,05, que são os 5% do alfa, significando que a chance de isso ocorrer, sendo que o valor de 'p' era de 0,8, ter três ou quatro alarmes tocando, a probabilidade é alta, portanto, não podemos rejeitar a hipotese nula de que o valor esperado da proporção seria de 80%.
