[AUDIO_EN_BLANCO] Hola, bienvenidos al tema de derivadas. Hasta el momento, lo que hemos hecho es analizar gráficas de posición de una partÃcula, y con la gráfica de posición hemos interpretado el movimiento de la partÃcula, y no solo eso, sino que hemos calculado velocidades. Primero, calculamos velocidades medias, y posteriormente, calculamos velocidades instantáneas. Las velocidades instantáneas las calculamos de tres métodos diferentes. El método de aproximado, que le llamamos, en donde encontrábamos la velocidad instantánea para un tiempo determinado con una ecuación de posición. TenÃamos también el método gráfico, en donde encontrábamos la velocidad instantánea para un tiempo dado en una gráfica de posición. Y encontramos también la velocidad instantánea por medio del método analÃtico, en donde necesitábamos la función de posición, y con ella encontrábamos la velocidad instantánea para todo tiempo. Bueno, en este tema de derivadas vamos a generalizar esto. Es decir, vamos a encontrar una manera de calcular la velocidad instantánea para cualquier tiempo con una gráfica o con una ecuación de posición de manera general, como les digo, y vamos a utilizar las matemáticas, en este caso, las derivadas. Entonces, hasta el momento, nosotros definimos la velocidad instantánea como el lÃmite de delta x sobre delta t, cuando delta t tiende a cero. Esa es la definición de velocidad instantánea. Es una definición fÃsica. Sin embargo, si yo veo la ecuación o la expresión lÃmite de delta x sobre delta t, cuando delta t tiende a 0, esa expresión es precisamente la derivada de x con respecto al tiempo. En matemáticas, se le conoce como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Entonces, podemos hacer uso de las derivadas de matemáticas. Podemos hacer uso de las derivadas comunes o de la regla de derivadas para poder encontrar la velocidad instantánea porque, en este caso, estamos definiendo la velocidad instantánea como una derivada de la posición con respecto al tiempo. Entonces, definimos a la velocidad instantánea. En lugar de definirla como lÃmite, la definimos como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Es decir, este método analÃtico que veÃamos es precisamente el cálculo de la derivada, asà se le conoce. Entonces, si no todos tenemos que la derivada de x con respecto al tiempo es la velocidad instantánea, la podemos describir como la derivada con respecto al tiempo de la función de posición, es decir, x que va a depender del tiempo. Observen que tiene que depender del tiempo la posición para poder derivarla con respecto al tiempo. Habrá métodos, sino bien, de la posición en función del tiempo, habrá métodos que pueden hacer este cálculo de derivadas, pero eso serÃa en matemáticas un poco más superiores. Entonces, vamos a ver la regla de derivadas que nos van a ayudar para calcular velocidades instantáneas. Si yo tengo una constante, las funciones de una constante, la derivada de una función constante con respecto a lo que sea, en este caso, es con respecto al tiempo, pero con respecto a lo que sea, es igual a cero. Esa es una regla. Otra regla es que si yo tengo la constante multiplicando a una función, esto significa que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. Es la segunda regla que vamos a utilizar. Y la tercera regla se le conoce como la derivada de suma y resta de funciones. La derivada de suma y resta de funciones es igual a la suma y resta de las derivadas de cada una de las funciones. Entonces, son tres reglas que vamos a estar utilizando en este curso. Además, vamos a tener que aprendernos algunas derivadas comunes. En esta tabla, les pongo cuáles son estas derivadas comunes. Por ejemplo, si yo tengo la función t a la n, la derivada de la función t a la n es n por t a la n menos 1. Esa es una derivada común que you sabemos que siempre va a funcionar. Yo tengo t a la n. Su derivada va a ser n t a la n menos 1. Y luego, si tengo la función seno de t, la función seno de t es coseno de t. La derivada del coseno de t es menos el seno de t. La derivada de la función tangente de t es igual a secante cuadrada de t. La derivada de la función exponencial de t es igual a la exponencial de t, es decir, no cambia. Y la derivada del logaritmo natural de t es 1 sobre t. Estas serÃan las derivadas comunes que vamos a utilizar. Entonces, con las derivadas comunes y las reglas de derivadas vamos a poder encontrar velocidades instantáneas de muchas funciones. Un ejemplo va a ser esto. Aquà tengo el ejemplo de x de t. La función de posición es igual a 2t cúbica menos 3 coseno de t. ¿Se fijan? Es una función complicada que pudiéramos utilizar el método analÃtico, pero el método analÃtico serÃa un poco complicado aplicarlo en esta ecuación. Vamos a utilizar derivadas. Si yo tengo que la velocidad instantánea es la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, quiere decir que va a ser la derivada, con respecto al tiempo, de 2t cúbica menos 3 coseno de t. Aquà observen que voy a utilizar una regla, la regla de suma y resta. Yo sé que la derivada de 2t cúbica menos 3t coseno de t va a ser igual a la derivada de 2t cúbica menos la derivada de 3 coseno de t. En este momento, me corresponde hacer la segunda regla que tenemos, es decir, la de la constante. La de la constante, ¿por qué? Porque yo tengo primeramente la derivada de 2t cúbica. Esto significa que con esta regla serÃa 2 que multiplica a la derivada de t cúbica, y la derivada de 3 coseno de t. Por tanto, esto me quedarÃa 3 por la derivada del coseno de t. Entonces, you, hasta el momento, tengo esto como resultado. ¿Se fijan que you tengo dentro de los paréntesis tengo cada una de estas funciones que son derivadas comunes? Es decir, you conozco cuál es la derivada t cúbica y conozco cuál es la derivada de coseno de t. Entonces, aplico esta derivada común. Yo sé que la derivada, con respecto al tiempo de t a la n es n por t a la n menos 1, entonces, quiere decir que la derivada de t cúbica serÃa 3t cuadrado, y la derivada del coseno t es menos seno de t. Esto significarÃa que, si utilizo estas derivadas comunes, mi función, utilizo algo de álgebra, la función de velocidad instantánea, que será derivada de la posición con respecto al tiempo, me queda como 6t cuadrada más 3 seno de t. ¿Se fijan? Esta manera de calcular la velocidad instantánea es mucho más sencilla que calcular la velocidad instantánea por el método analÃtico. En realidad, es lo mismo. Una es la derivada y la otra es la derivada, solamente que en esta manera de hacerlo utilizamos la regla de derivadas y las derivadas comunes. Entonces, otras derivadas que podemos ver en fÃsica, no, no nos debemos quedar únicamente con la velocidad instantánea, serÃa un error decir que las derivadas únicamente se utilizan para calcular velocidades, y eso es incorrecto. En realidad, hay muchas funciones en fÃsica que dependen de otras funciones y que pueden ser derivadas de esas otras funciones. Cuando hablamos de razones de cambio, cualquier razón de cambio con respecto a una variable, esa razón de cambio con respecto a una variable se puede interpretar como una como una derivada. Entonces, eso vamos a poder obtenerlo en varios temas de fÃsica, y podemos, por ejemplo, un ejemplo interesante serÃa el de la aceleración. Si yo tengo que la velocidad de la partÃcula va cambiando, eso significa que tiene una aceleración, y definimos a la aceleración media como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, cómo cambia la velocidad, el delta v dividido entre el intervalo, es decir, el delta t. Esta serÃa la definición de aceleración media. Si you tenemos nosotros que la aceleración media es el delta v sobre delta t, es decir, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es fácilmente podemos decir que la aceleración instantánea será la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Pasamos de la aceleración media a la aceleración instantánea. La aceleración instantánea es el lÃmite de delta v sobre delta t cuando delta t tiende a 0, y a esto le llamábamos una derivada. La aceleración, entonces, nos queda como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. ¿Se fijan? Entonces, ahora podemos encontrar aceleraciones instantáneas cuando tenemos la velocidad de la partÃcula. Es decir, pudiéramos hacer lo siguiente. Pudiéramos nosotros tener la función de posición, para todo tiempo t, encontrar la función de velocidad derivando la función de posición con respecto al tiempo y, posteriormente, encontrar la aceleración instantánea derivando la velocidad con respecto al tiempo. EncontrarÃamos, entonces, inicialmente tenÃamos, la función de posición, y encontrarÃamos la función de velocidad y la función de aceleración. Bueno, les agradezco muchÃsimo. Nos vemos en el siguiente tema. [MÚSICA]
