Studiamo l'accelerazione normale. Sappiamo che l'accelerazione istantanea vettoriale si può scomporre in due componenti: una che si chiama accelerazione tangenziale e una che si chiama accelerazione normale. Questo perché la velocità, in rappresentazione intrinseca, può essere scritta come la derivata del vettore posizione r, cioè velocità scalare v per il versore u_t. L'accelerazione tangente è la componente dell'accelerazione che dà luogo alla variazione della velocità in modulo e, quindi, la scriviamo a_t, come di dv/dt per il suo versore u_t. Ora vogliamo andare a scrivere anche l'accelerazione normale e andare a calcolare quanto vale modulo, direzione e verso. Per calcolare, quindi, l'accelerazione normale da sola mettiamoci in un caso semplice dove l'accelerazione tangenziale non esiste. Affinché non esista accelerazione tangenziale deve essere nulla la derivata di v scalare, quindi dovremo parlare di un moto uniforme. Quindi ci mettiamo in una condizione dove la derivata di v scalare è 0 e quindi in condizione dove v, è una velocità v_0, uguale a costante. Questo è il caso di un moto uniforme. Il caso più semplice di moto uniforme che possiamo pensare è il moto circolare uniforme, a parte il moto rettilineo uniforme dove, però, non avrei neanche la componente normale dell'accelerazione. Allora, in un moto circolare uniforme, la velocità cambia solo direzione, ma non cambia modulo. La velocità la possiamo rappresentare come una freccia, di una certa lunghezza, abbiamo preparato alcune frecce. Ad esempio, quando il corpo si trova all'incrocio con l'asse x, questa è la sua velocità vettoriale v di modulo pari a v_0. Più avanti, il corpo si troverà, ad esempio, qui, in questo punto, e questa è la sua nuova velocità e via via deponiamo, ad esempio quattro frecce, a 45° una dopo l'altra nei punti successivi. Quindi quando il corpo si trova qui, si trova qui e si trova qui. Questo è un moto circolare, lungo la circonferenza di un certo raggio, ad esempio identifichiamo R maiuscolo come il raggio costante, ovviamente, della circonferenza. Quindi, in un moto circolare uniforme il vettore posizione r, ha modulo costante pari a R maiuscolo uguale a costante e la sua derivata prima è perpendicolare al vettore stesso, cioè scriviamo che r, è perpendicolare alla sua derivata prima dr/dt, in quanto la derivata prima del vettore posizione e proprio la velocità v e lo vediamo qui, punto per punto. Infatti, il vettore posizione all'inizio sarà questo, e quindi qui c'è un angolo retto, poi il vettore posizione sarà questo e c'è un altro angolo retto, e via via angolo retto e angolo retto. A questo punto se la velocità è la derivata prima di dr, che ha modulo costante, perpendicolare a se stesso, ora facciamo un'analogia e andiamo a calcolare il vettore accelerazione che, abbiamo già visto un attimo fa, ci aspettiamo essere perpendicolare al vettore stesso, cioè analizziamo solo la componente normale del vettore accelerazione. Come facciamo? Beh, allora sappiamo che la derivata di un vettore la si può fare pensando di mettere un fumogeno o una lampadina sulla punta del vettore, che sta muovendosi, allungandosi e ruotando, in questo caso solo ruotando, e andando a vedere la derivata come diretta lungo la scia lasciata da queta striscia. Quindi, in questo caso, il vettore che sta ruotando è r, vettore posizione, e la striscia che sta lasciando è la mia circonferenza. Lungo questa circonferenza ho il vettore velocità. Ora facciamo quest'analogia, passiamo a destra e calcoliamo la derivata della velocità, che sarà, quindi, l'accelerazione. Allora, questi vettori velocità li mettiamo tutti con l'origine in comune e vediamo come la punta stia ruotando. Quindi la prima velocità, quando mi trovo qua è questa. La traslo parallelamente a se stessa. Nel secondo punto la velocità questa. La traslo parallelamente a se stessa. Quando sono all'incrocio con l'asse delle y questa è la velocità e poi, ancora, questa è la velocità. Quindi vediamo che la velocità sta ruotando, e la punta ruota, percorrendo un'altra circonferenza, di un altro raggio. Questa è la circonferenza che sta percorrendo la velocità, quindi questa è la velocità v a un certo istante, questa è v ad un altro istante e via via. Questa circonferenza ha, quindi, un raggio costante che è il modulo della velocità perché stiamo percorrendo la circonferenza con una velocità costante, abbiamo detto la circonferenza percorsa con un moto circolare uniforme, e quindi, se questo modulo è costante, lo scrivo qui, il modulo della velocità, è costante, l'abbiamo chiamato v_0 e, allora, in questo caso, la velocità è perpendicolare alla sua derivata prima dv/dt e, infatti, prendiamo ora un'altra freccia e la derivata sarà, quindi questa. Sarà il limite del rapporto incrementale ∆v/∆t, quindi l'accelerazione media tra questi due istanti e questa freccia rossa, al limite dell'accelerazione istantanea, al limite del rapporto incrementale, e quindi, questo vettore rosso, accelerazione, diventa perpendicolare al vettore stesso e quindi quando sono qua pure, e via via. Quindi vediamo come ci sia, ancora una volta, un angolo retto tra il vettore velocità e il vettore accelerazione e questa è l'accelerazione normale, qua ancora un angolo retto tra velocità e accelerazione normale e quindi se riportiamo queste accelerazioni sul primo grafico, se questa era la velocità iniziale, quando mi trovavo qui, l'accelerazione normale è quindi questa. Questa è la velocità quando mi trovavo in questo altro punto, e quindi l'accelerazione normale sarà questa. Quindi vediamo che, istante per istante, nel moto circolare uniforme, l'accelerazione è diretta sempre verso il centro del cerchio. Infatti l'accelerazione normale si chiama anche accelerazione centripeta. Allora, vediamo di calcolare quanto vale il modulo dell'accelerazione normale. Lo facciamo in questa maniera. Partiamo da sinistra del nostro moto circolare uniforme e vediamo che, viaggiando a velocità costante, il corpo percorre una circonferenza, in un certo tempo. La circonferenza quanto è lunga? La circonferenza è lunga 2π per il raggio, il raggio è R maiuscolo, il tempo che impiega sarà un certo periodo T maiuscolo. Il rapporto tra spazio percorso e tempo è proprio la velocità v_0 costante. Nel caso di destra, ancora percorriamo la circonferenza nello stesso periodo T maiuscolo perché nel tempo che la velocità fa un giro completo, anche qua la velocità fa un giro completo, quindi percorre la stessa circonferenza. Allora in analogia, se qui ho 2πR/T, qua avrò la lunghezza di questa circonferenza, è una circonferenza di raggio costante v_0, quindi avremo 2πv_0, che è la lunghezza della circonferenza, diviso il periodo T. Questo cos'è? Questo è il modulo dell'accelerazione normale, quindi è accelerazione normale. A questo punto possiamo andare semplicemente a sostituire. Prendiamo, dalla prima equazione, il periodo T, il periodo T è quindi pari a 2πR/v_0 e quindi possiamo scrivere l'accelerazione normale come 2πv_0 diviso il periodo, quindi diviso 2πR/v_0 e quindi sostituendo, diciamo, semplificando 2π con 2π, questo diventa v_0²/R. Siamo, quindi, arrivati al valore numerico, all'espressione finale cioè il modulo dell'accelerazione normale è pari alla velocità al quadrato diviso il raggio. Questo risultato è molto importante e quindi lo andiamo ad aggiungere sul nostro formulario scrivendo quindi che il modulo del vettore accelerazione normale a_n, è pari proprio al quadrato della velocità scalare diviso il raggio R.
