Consideriamo un corpo che si sposti lungo una certa traiettoria curva, come quella che
sto disegnando ora sulla lavagna. In un certo istante, il punto si trova nella posizione
A con una certa velocità. Sappiamo che la velocità è diretta tangenzialmente alla
traiettoria e quindi la possiamo indicare, lungo questa, traiettoria, ad esempio in blu,
questa è la velocità nel punto A. Poco più avanti il corpo si è spostato in
una nuova posizione, ad esempio consideriamo questa nuova posizione B, e la velocità sarà,
di nuovo tangente alla traiettoria, quindi sarà diretta lungo questa retta, la disegniamo
di qua e, magari, la disegniamo un pelo più lungo, e questa è la velocità all'istante
successivo nel punto B. Ora possiamo confrontare le due velocità e notiamo come
la velocità abbia cambiato sia direzione che intensità. L'informazione dell'intensità
la ritroviamo nell'esempio di un automobile. Sul tachimetro vediamo che la lancetta si
è spostata in senso orario o anti orario, ha aumentato o diminuito la velocità in modulo.
La direzione, invece, la vediamo sul volante in quanto il corpo, seguendo questa traiettoria,
avrà, da AB, sterzato verso destra e, invece, da B ad un punto successivo, potrebbe essere
questo, C, il corpo ha curvato verso sinistra, quindi il volante sarà diretto verso sinistra.
La nuova velocità in C, la disegniamo tangente alla traiettoria anche qui, sarà questa,
magari molto più piccola delle altre, v _C. Ora, allora, possiamo confrontare le velocità,
definendo quella che è l'accelerazione media. Tra i primi due istanti, tra il punto A e B, ad esempio,
l'accelerazione media come sarà diretta? Vediamo. Prima di tutto
la definiamo come il rapporto incrementale tra la variazione del vettore velocità
e il tempo intercorso, ∆t, tra l'istante iniziale in cui il punto si trova in A, con
questa velocità, e l'istante finale, in cui il punto si trova in B, con questa
nuova velocità. Questo ∆v è un vettore, pari alla differenza tra il
vettore finale meno il vettore iniziale. Allora possiamo disegnare i due vettori con il punto
in comune, con la coda in comune. Trasliamo parallelamente a se stessi i due vettori,
quindi il vettore A potrebbe essere questo v_A, il vettore B potrebbe essere questo,
inclinato così, un po' più lungo, questo è il vettore v_B. ∆ è la differenza,
∆v pari a v finale, quindi v_B, meno vu iniziale v_A
La differenza tra due vettori lo si fa tracciando
il vettore che va dalla punta del primo alla punta del secondo, e quindi ∆v è un
vettore orientato così. Questo è ∆v. Questo ci dice che l'accelerazione media
tra A e B, sarà un vettore pari a ∆v/∆t,
quindi non cambia la direzione, il che vuol dire
che, in questo lasso di tempo, tra A e B, l'accelerazione media sarà un
vettore che punta circa in questa direzione. Analogamente, tra B e C, la velocità sarà
diminuita in modulo, ha girato dall'altra parte, quindi il ∆, in questo caso, punterà
in questa direzione. Quindi l'accelerazione media prima sarà questa e poi sarà
questa. Ora dall'accelerazione media passiamo all'accelerazione istantanea facendo il limite.
L'accelerazione istantanea è pari al limite per ∆t, che tende a 0
dell'accelerazione media e quindi, per definizione, il limite del rapporto incrementale
è la derivata, quindi sarà la derivata prima del vettore velocità rispetto al
tempo ma, a sua volta, la velocità vettoriale è la derivata prima del vettore posizione
e quindi la derivata della derivata è la derivata seconda cioè l'accelerazione vettoriale
istantanea è la derivata seconda del vettore posizione r, rispetto al tempo due volte.
Ma cosa vuol dire fare la derivata di un vettore?
Vediamo di fare un'interpretazione geometrica semplice. Un vettore è una freccia. Prendiamo,
ad esempio, questa antenna telescopica che ho in mano. La freccia va da un'origine a
una punta. La freccia può allungarsi, accorciarsi oppure può ruotare. Guardiamo questi due
fenomeni separatamente. Se consideriamo solo la variazione di modulo, quindi un vettore
che non possa ruotare, lo tengo fermo nella mia mano, quando il vettore si allunga, la
derivata sarà orientata come il vettore stesso. Possiamo pensare di mettere un fumogeno sulla
punta della freccia del vettore oppure di mettere, sulla punta della freccia, una lampadina
e nel movimento, nella variazione della freccia, il fumogeno, o la lampadina, lasceranno una
striscia nell'aria. Questa striscia è diretta, come appunto, come la derivata del vettore per
cui se il vettore può solo cambiare modulo senza ruotare, allora, quando si allunga,
la striscia viene lasciata in questa direzione, cioè parallelamente al vettore stesso, e
quindi la derivata, questa freccia bianca, è parallela al vettore. Se il vettore, sempre
senza ruotare, può solo accorciarsi, o allungarsi, nel caso in cui si accorcia, ecco che la derivata
è parallela al vettore stesso ma è diretta in verso opposto. Se, invece, prendiamo un
vettore che non può allungarsi o accorciarsi ma può solo ruotare, quindi un vettore di
modulo costante, com'è un versore, ad esempio, ecco che allora la sua derivata non può che
essere diretta perpendicolarmente al vettore stesso. Quindi, se ruotiamo in questa direzione,
la derivata è perpendicolare in questa direzione, se ruotiamo nel verso opposto, la derivata
sarà perpendicolare al vettore stesso nell'altra direzione. Ecco che, quindi, l'accelerazione
vettoriale contiene al suo interno entrambe queste informazioni, cioè contiene al suo
interno l'informazione della variazione della lunghezza della velocità, cioè del modulo,
quindi questa si chiama accelerazione tangente, e l'informazione di variazione della direzione
della velocità. Questa si chiama accelerazione normale. Per questo definiamo, oltre al versore
u_t, tangente, che è quello della velocità, tangenziale alla traiettoria, un altro versore,
che chiamiamo u_n, che è perpendicolare al primo ed è il versore perpendicolare alla
traiettoria, diretto cioè come l'accelerazione normale, e sarà diretto verso il centro della
curva, cioè nella direzione in cui abbiamo indicato le due accelerazioni. Per cui, in
tutto questo tratto tra A e B, il versore normale u_n, sarà diretto perpendicolarmente
alla traiettoria in questo senso, nel tratto BC il versore perpendicolare alla traiettoria
sarà diretto, invece, in questo altro senso. Aggiungiamo, allora, al nostro formulario,
questa nuova definizione: accelerazione vettoriale istantanea è pari alla derivata prima
del vettore velocità, a sua volta pari, quindi, alla derivata seconda del vettore
posizione r, rispetto al tempo due volte.
Maurizio ZaniAssistant Professor
