Devo trasportare una cassa per svariati chilometri e quindi voglio capire come posso fare per
cercare di fare la minore fatica possibile. Per cui ho il mio terreno, la cassa di massa
m e io sono qua. E mi voglio spostare in questa direzione con
una certa accelerazione. Mi posso aiutare solamente con una fune, quindi la fune sarà
attaccata alla cassa, alla mia mano ed avrà una certa inclinazione θ rispetto all'orizzontale.
Allora innanzitutto capiamo che forze agiscono su questa massa, di modo che la dinamica ci potrà
aiutare a risolvere il problema. Sicuramente, siccome la cassa ha una massa m, sarà sottoposta
a una forza P diretta verso il basso. E siccome la cassa è appoggiata al terreno avrò una
certa reazione vincolare, R_n, rivolta verso l'alto.
Ho poi la fune, che quindi agirà con una certa tensione T, che è la forza caratteristica
della fune. E siccome io non mi sto muovendo né su una superficie ghiacciata, né su un
pavimento completamente liscio, perché sono per strada, allora avrò un certo coefficiente
di attrito, μ_d dinamico, tra massa e strada. Questo darà luogo a una forza di attrito
dinamico, che si opporrà al moto durante il mio movimento, e quindi andrà dalla parte
opposta rispetto al moto. Metto poi un sistema x e y in questo modo,
e devo quindi andare a scrivere il secondo principio della dinamica sulla cassa. Quindi,
io sto trasportando il mio problema da me alla cassa. Questo perché la fune è ideale
e quindi, tra le altre cose, è anche inestensibile. Questo significa che la forza che io devo
applicare alla fune è uguale in modulo alla tensione della fune stessa. Ecco perché scrivo
il secondo principio sulla cassa. Quindi avrò che la forza totale, cioè la risultante delle
forze applicate a m deve essere alla sua massa per la sua accelerazione.
Allora guardo il problema e vedo che la tensione non è una forza né tutta verticale,
né tutta orizzontale, ma è inclinata. Quindi devo scomporre il mio problema su x e su y.
Quindi su x avrò innanzitutto la forza di attrito dinamico con un meno davanti; e poi avrò
la componente della tensione su x. Quindi questa qua, che sarà uguale a +T per
il coseno dell'angolo θ, e questo sarà uguale a m*a.
L'accelerazione è tutta sull'asse delle x e quindi qui posso scrivere proprio a.
Su y avrò meno la forza peso, quindi meno m per l'accelerazione di gravità, più la
reazione vincolare al piano R_n, più la componente su y della tensione, che quindi sarà uguale
a +Tsinθ; e questo sarà uguale a 0 perché il corpo non si sta muovendo in
verticale. Un'altra precisazione che posso fare è quanto
vale questa forza di attrito dinamico. La forza di attrito dinamico è sempre uguale
al coefficiente di attrito dinamico che c'è tra il pavimento e la cassa per la reazione
vincolare. Quindi posso andare a ricavare la reazione
vincolare dall'equazione in y e ottengo R_n uguale a mg-Tsinθ.
E ora prendere la reazione vincolare, metterla qui dentro e prendere questa e metterla nella
equazione di x. Ottengo quindi -μ_d m*g+μ_dTsinθ+T cosθ=ma.
A questo punto voglio esplicitare quest'equazione rispetto alla tensione, che è quello che
poi andrò a minimizzare. Di conseguenza ottengo T=(m*a+μ_d*mg)/(μ_dsinθ+cosθ).
Adesso che ho l'espressione di T, per minimizzarla devo ricavarne la derivata prima rispetto
a θ, che è l'unico parametro del mio problema su cui posso agire, e andarla a porre uguale
a 0. Allora, ricaviamo la derivata: dT/dθ è uguale
al denominatore μ_dsinθ+cosθ al quadrato, con un meno davanti, e sopra avrò ma+μ_d
m*g, che quindi è una costante, per μ_dcosθ-sin θ.
Questa derivata la pongo uguale a 0 per minimizzarla,
e quindi vedo che devo agire solo su questa parentesi.
Questo θ che troverò sarà proprio il mio θ minimo; e in particolare avrò che la tangente
di θ, che quindi è il θ minimo, sarà uguale a μ_d.
E quindi, il mio θ minimo sarà uguale all'arco tangente di μ_d.
Quindi, se pensiamo di avere un coefficiente di attrito dinamico di circa 0,4, vuol dire
che otterrò un θ di circa 22°. Questo è il risultato che ottengo per avere
il minimo della tensione, quindi il minimo della forza che devo applicare, nel caso che
mi muova con una certa accelerazione. Ma allora a ragione dico: perché, invece di accelerare,
non mi muovo di moto rettilineo uniforme? Magari farò meno fatica, applicherò una
forza minore. Allora, andiamo a vedere che cosa cambia nelle espressioni.
Se pongo a uguale a=0 per muovermi di moto rettilineo uniforme, vuol dire che qui dentro
non ho questo termine. Un termine in meno al numeratore, che è positivo,
vuol dire avere un modulo inferiore di tensione. Quindi, sicuramente potrò applicare una forza
in modulo inferiore. Il mio angolo, allora, lo dovrò adattare.
Vado a vedere la sua espressione, e vedo che qui dentro non compare nulla di legato all'accelerazione,
compare solo il μ_d. Di conseguenza, potrò mantenere costante l'angolo già trovato.
Maurizio ZaniAssistant Professor
