Determinare la densità ignota di un corpo è un'operazione che può presentare numerose
difficoltà. La densità è definita come il rapporto tra la massa di un oggetto e il
suo volume. Misurare la massa di un corpo è generalmente
molto semplice: basta avere una bilancia. Al contrario, calcolare con precisione il
volume di un corpo può risultare molto difficoltoso, soprattutto qualora il corpo in questione
non abbia una forma geometrica ben definita. Cerchiamo allora di capire se esiste un metodo
intelligente per determinare la densità di un corpo senza passare dal calcolo del suo
volume. A questo proposito, consideriamo un oggetto di forma qualunque, di massa nota
m_c e densità ignota ρ_c che vogliamo calcolare.
Prendiamo una bilancia a bracci e appendiamo, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile
l'oggetto di massa m_c ad uno dei due bracci. A questo punto, prendiamo una bacinella, la
riempiamo d'acqua e immergiamo il corpo di massa m_c all'interno dell'acqua. Indico con
ρ_H2O la densità del fluido, in questo caso l'acqua, che sto considerando.
Infine, consideriamo un ulteriore corpo di massa m nota, che attacchiamo ancora una volta
tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile all'altro braccio della bilancia.
Il corpo di massa m è tale per cui i due bracci della bilancia sono in equilibrio.
A questo punto, definiamo un sistema di riferimento, y e disegniamo il diagramma delle forze che
agiscono indipendentemente su entrambi i corpi. Partiamo dal corpo di massa m: su questo corpo
agirà il peso, mg, e la tensione del filo, T.
Sul corpo di massa m_c agirà, ancora una volta, il peso, m_c g, la tensione del filo,
e la spinta di Archimede che il corpo riceve, dato che è sommerso in acqua; spinta di Archimede
che indico con il simbolo F_A. Dato che abbiamo imposto che i due bracci
della bilancia siano in equilibrio, possiamo dire che la risultante delle forze che agisce
sul corpo di massa m lungo l'asse y deve essere pari alla risultante delle forze che agisce
sul copro di massa m_c, sempre lungo l'asse y.
Questo significa che possiamo scrivere che mg meno la tensione del filo è pari a m_c g
meno la tensione del filo meno la spinta di Archimede rivolta verso l'alto, con il
segno meno per il sistema di riferimento che ho scelto.
Elidiamo in entrambi i membri dell'equazione l'espressione della tensione del filo e scriviamo
esplicitamente quanto vale la spinta di Archimede. La spinta di Archimede sarà pari al peso
del liquido spostato e quindi sarà pari alla massa di acqua H2O per g.
È importante sottolineare che la massa di acqua, H2O, ha un volume pari al volume del corpo
di massa m_c. A questo punto introduciamo l'espressione esplicita della spinta di Archimede
nel bilancio delle forze: mg è pari a m_c g-m_H2O g.
Eliminiamo l'accelerazione di gravità da tutti i membri dell'equazione e possiamo quindi
scrivere che m_H2O è uguale a m_c-m. A questo punto, consideriamo l'espressione
esplicita della densità ρ_c. ρ_c sarà pari alla massa m_c diviso il volume V_c.
V_c è pari al volume di acqua spostato, e quindi questa espressione si può riscrivere
come m_c diviso la massa di acqua spostata H2O fratto la densità dell'acqua, che è
quindi pari a ρ_H2O*(m_c/m_H2O). La massa dell'acqua spostata, a sua volta,
è pari alla differenza tra m_c e m. Dunque, infine, possiamo scrivere che ρ_c è pari
a ρ_H2O*(m_c/(m_c-m)). In questa espressione, conoscendo unicamente
la densità del fluido che stiamo considerando e le due masse m_c ed m, siamo capaci di determinare
la densità ignota del corpo senza passare dal calcolo del suo volume. Questo sistema
viene chiamato bilancia idrostatica ed è utilizzato in molti campi, ad esempio in gioielleria,
quando si vogliano determinare con precisione i carati dei metalli preziosi, oppure in ambito
ospedaliero, quando si voglia determinare la densità media di corpi estremamente eterogenei.