Mi trovo alla stazione centrale dei treni di Milano e devo prendere un treno veloce per Roma. Quindi posso pensare di dover percorrere circa 600 Km in un tempo di tre ore. Una volta che salgo sul treno, trovo il controllore e gli chiedo spiegazioni per esempio che traiettoria seguirà il treno, dove mi troverò a un determinato istante e così via. Il controllore sa dirmi, però, solo le equazioni parametriche del moto in x e in y per cui mi dice che x(t) è pari ad a*t e y(t) è uguale a meno b*t dove a è una costante che vale 30 Km/h e b è una costante che vale 150 Km/h Ora io devo cercare di ricavare le informazioni che voglio da queste due equazioni che mi dicono, nel tempo, dove si trova il treno in x e in y. Quello che vorrei trovare innanzitutto è la sua traiettoria. Per trovare la traiettoria, devo eliminare la dipendenza temporale da queste due equazioni. Per esempio, posso partire mettendole a sistema e ricavando, dalla prima equazione, il tempo e andarlo, poi, a inserire nella seconda. Se ricavo dalla prima equazione il tempo, trovo t uguale a x(t)/a. Se vado a inserirla in y, ottengo y(t)=-bx(t)/a. Se ora osservo questa equazione vedo che, al suo interno, effettivamente, non c'è più una dipendenza temporale, quindi è sbagliato scrivere così ma quello che è giusto scrivere è y=-(a/b)*x. Questa è l'equazione della traiettoria del mio treno, cioè tutti i punti, in x e in y, che il treno occupa durante il suo moto. Posso andarla anche a rappresentare su un grafico, in x e in y, che avrà un'origine O, che è quando il mio treno si trova a Milano, e avrà l'andamento di una retta, perché è proporzionale a x, con pendenza negativa perché il coefficiente davanti ha un segno negativo, quindi una retta di questo tipo che, per noi, si fermerà a Roma. Ho quindi, determinato la traiettoria del mio treno, partendo dalle due equazioni parametriche, in x e in y, del treno che sono le due componenti della legge oraria. Ora, dopo due ore dalla partenza, quindi dopo un t ̅ pari a 2h, il treno si ferma. Guardo fuori. Piena campagna. Vorrei cercare di capire dove mi trovo e se stavo viaggiando in orario oppure no. Quindi devo andare, a questo punto, a fare una valutazione puntuale di andamenti temporali più generici, quindi dovrò andare a sostituire il mio tempo t ̅ all'interno delle due equazioni per cui avrò x(t ̅)=a*t ̅, e y(t ̅), t segnato, pari a meno b*t ̅. A questo punto, visto che voglio determinare un punto, devo andare a fare una sostituzione numerica dentro queste equazioni, per cui x(t ̅), sarà uguale al valore di a, che è 30 km/h per le 2h, mentre y(t ̅) sarà pari a meno 150 km/h sempre per due ore. Posso semplificare le ore e ottengo per il mio x ̅(t ̅), tempo t che, a questo punto, diventerà un punto preciso, 60 km, per la mia y del tempo t ̅ che quindi, diventerà una y precisa, -300 km Quindi vuol dire che, all'interno del mio diagramma spaziale, potrò andare a fissare uno spostamento di circa 60 km verso est e uno spostamento di circa 300 km verso sud. Ma in che punto sono della traiettoria? Cioè quanto è lungo il percorso OP che io ho percorso con il treno fino alle 2h? Se io noto che questo pezzo di traiettoria è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui io conosco i due cateti, che sono questi due numeri, con il teorema di pitagora posso calcolare la lunghezza di OP. Quindi OP sarà 60²+300², il tutto sotto radice e mi fa circa 306 km. 300 km circa da Milano vuol dire nell'intorno di Firenze. Se io adesso do un'occhiata ai numeri del mio esercizio, vedo che 306 è circa metà di 600. Quindi io mi trovo, all'incirca, alla metà del mio percorso totale. Secondo la tabella di marcia, il percorso totale lo percorro in 3h quindi avrei dovuto percorrere metà del percorso in un'ora e mezza. In realtà, ce ne ho impiegate 2 e quindi il mio treno è in ritardo, e se, quando riparte, continuerà a muoversi come ci viene detto dalla sua legge oraria continuerà, ahimé ad accumulare ritardo.