[MUSIC] Hola. Bienvenidos a vectores en el plano cartesiano. En este tema vamos a ver que podemos representar los vectores por medio del plano cartesiano y vectores unitarios. Y vamos a entender que este tipo de representación nos va a ayudar a para poder hacer operaciones complejas de una manera muy sencilla. Tenemos un vector y habÃamos comentado que un vector puede tener magnitud y dirección. Pensemos en este vector. Es un vector de 5 metros con dirección 50 grados desde el este hacia el norte. Esa serÃa su magnitud y su dirección. Su magnitud presentada por medio de un número, de un valor: 5 metros en este caso y su dirección representada por medio de un ángulo, 50° desde el Este hacia el Norte. ¿Qué tal si ponemos el plano cartesiano en este vector? Si ponemos un plano cartesiano, entonces cambiarÃamos nuestra definición de este vector, en lugar hablar de puntos cardinales podrÃamos hablar de plano cartesiano. Y podrÃamos decir que el vector tiene magnitud de cinco metros y que su dirección es de 50 grados desde el eje X hasta el eje Y en el primer cuadrante. Esa serÃa nuestra definición de este vector. Bueno, cuando tenemos un plano cartesiano podemos calcular las componentes de un vector. Para trazar las componentes del vector lo primero que tenemos que hacer es dibujar lÃneas paralelas a los ejes desde la punta del vector. Y desde el origen hasta donde cruza esta lÃnea paralela, es la componente de un vector. En el caso de la componente horizontal serÃa desde el origen hasta donde cruza con el eje X. Esa serÃa la componente Ax del vector. Y la otra componente serÃa Ay, que serÃa desde el origen hasta donde cruza el eje Y. De esta manera, con una solución sencilla de un triángulo rectángulo, podrÃamos calcular cuáles son estas componentes. Ax por ejemplo serÃa A coseno de 50 grados. Y Ay serÃa A seno de 50 grados. De tal manera que lo podrÃamos hacer numéricamente. Si decÃamos que la magnitud de A es cinco metros, entonces tendrÃamos que Ax serÃa cinco por el coseno de 50 grados, lo que nos darÃa 3.21 metros. En el caso de la componente en Y, serÃa cinco por el seno de 50 grados. Y eso nos darÃa 3.83 metros. Estas serÃan las componentes del vector A. Si tuviéramos un vector B, en este caso en el segundo cuadrante, y tal que el ángulo que hace el vector con el eje Y positivo es de 20 grados, aquà también pudiéramos encontrar las componentes del vector B. Observen que las componentes del vector B son un poco diferentes a las componentes del vector A. En el sentido de que la componente en X del vector B es una cantidad negativa, va en dirección X negativo. Y la componente del vector Y sigue siendo una cantidad positiva como la del vector A. Si utilizamos nuestra regla para encontrar estas componentes de los vectores, Es decir estas lÃneas paralelas podrÃamos encontrar la componente Bx y la componente By. Observen ahora que la componente By es B por el coseno de 20 grados, porque el ángulo está definido con respecto al eje Y. Y la componente en X es negativa, además de ser negativa serÃa menos B por el seno de 20 grados. Con esto pudiéramos encontrar matemáticamente cuál es el valor, si tuviéramos la magnitud del vector B. Ahora, si tenemos un vector C en el tercer cuadrante, observen que las dos componentes, la componente horizontal, la componente vertical, o lo que llamamos componente en X y componente en Y son negativas las dos. Aquà está definido el ángulo con respecto al eje X, por lo tanto tendrÃamos que la componente en X serÃa menos C negativo es menos C por el coseno de 25. Y la componente Y menos C por el seno de 25 grados. Observen entonces que podemos cada uno de los vectores calcular las componentes de ellos. Ahora, otra cosa importante que tenemos que hablar es el vector unitario. La definición básica de vector unitario es que sea de magnitud uno y que no tenga dimensión, esa serÃa su definición básica. Posteriormente vamos a ver la definición matemática. Para ello primero pensemos en un vector cualquiera, el mismo vector que tenÃamos anteriormente. El vector A que está en el primer cuadrante a 50 grados con respecto al eje X. Bueno, este vector tiene magnitud de tres metros. Si pensamos en un vector unitario en dirección de A, podemos pensar que ese vector unitario en dirección de A pues tiene que tener la misma dirección de A y su magnitud tiene que ser uno. Entonces la definición debe ser que el vector unitario en dirección de A es A dividido entre su magnitud. De esta manera nos aseguramos que el vector unitario tiene magnitud uno y que su dirección no cambia. Recuerden que la multiplicación por un escalar cuando el escalar es positivo, en este caso uno sobre la magnitud del vector A es un escalar positivo, no cambia. Entonces el vector unitario de A nos aseguramos que tiene la dirección de A. Y la magnitud nos aseguramos al dividir el vector A sobre su magnitud. Esa serÃa la definición y lo podrÃamos dibujar como un tercio, digamos, del vector A. En este caso un vector unitario en dirección de A serÃa representado como un tercio de lo que es el vector A porque decÃamos que el vector A tiene magnitud tres menos. Bueno, ahora hay vectores unitarios en cualquier dirección de cualquier vector. Sin embargo podrÃamos tener vectores unitarios en los ejes cartesianos. Si quisiéramos por ejemplo el vector unitario en dirección de X tendrÃamos que llamarlo de alguna manera especÃfica. A este vector se le conoce comunmente como un vector i. Es el vector unitario i, va en dirección X. Es un vector importante porque tiene la caracterÃstica de que siempre va en dirección X. También podemos tener el vector unitario en dirección de Y, a este se le conoce comunmente como el vector j. Estos vectores unitarios son muy útiles porque yo pudiera hablar del vector 3i, al decir el vector 3i lo que estoy diciendo es que es tres veces el vector i. Y sé perfectamente que ese vector va en dirección X. Si yo hablara del vector 4j, sé que tiene una magnitud de cuatro veces el vector j y que tiene dirección Y. Si yo hablo del vector -2i, rápidamente puedo entender que ese vector va en dirección negativa de X y que su magnitud es de dos. De esta manera podemos representar cualquier vector en el plano cartesiano por medio de los vectores i y j. Y de las componentes Ax y Ay. Se fijan que pudiéramos yo hablar de la componente vectorial Ax como Axi y la componente vectorial Ay como Ayj, de tal manera que yo puedo representar al vector A como la suma de sus componentes vectoriales. Es decir, Axi + Ayj. Puedo hablar de que cualquier vector lo puedo representar por medio de los vectores unitarios i y j. De esta manera puedo hablar de los vectores A, B, C que tenÃa anteriormente. Cada uno de ellos los puedo expresar en función de las componentes y los vectores unitarios i y j. En este caso yo tendrÃa que A serÃa Axi+Ayj, donde Ax y Ay son las componentes que you habÃamos calculado. De la misma manera B, de la misma manera C. Cada uno de ellos expresados en función de i y j. Esto tiene mucha utilidad porque se nos va a facilitar muchÃsimo las operaciones de vectores. you no tenemos que resolver trángulos, rectángulos o triángulos no rectángulos. Por ejemplo, si yo quisiera sumar dos vectores, A y B, cada uno representado en función de los vectores unitario i, j y sus componentes, entonces la suma C=A+B serÃa algo muy sencillo que hacer. Si yo tengo que C = A+B pues tendrÃa que tener Axi + Ayj + Bxi +Byj. SerÃa la suma. Y puedo suman componentes por componentes. Es decir, los vectores en dirección i y los vectores en dirección j, de tal manera que me quedarÃa Ax+Bx en dirección i + Ay + By en dirección j. Ese serÃa el resultado del vector C. Como ejemplo, si yo tengo el vector 4i+5j y el vector 2i-3j, si yo quiero sumarlos y obtengo el vector C, lo que tengo que hacer es simplemente sumar las componentes. 4i + 5j + 2i- 3j, nos quedarÃa 4 + 2 x i + 5- 3 x j. De tal manera que el resultado nos darÃa 6i + 2j. Un resultado que la operación fue sencilla. La resta del vector nos quedarÃa de la misma manera, no cambiarÃan casi la operación de suma y resta. Porque lo único que tengo que hacer aquà es en lugar de sumar, restar. Si yo tengo A- B, lo que tendrÃa que hacer restar las componente. Ax- Bx multiplicado por i, + Ay- By multiplicado por j. Esa serÃa mi operación. Como ejemplo, si tengo el vector A que es 4i + 5j y el vector B 2i- 3j, la operación A- B me quedarÃa 4i + 5j menos el vector 2i- 3j. De tal manera que me quedarÃa (4- 2)i + (5 + 3). En este caso me quedarÃa es un menos por el negativo de tres me quedarÃa un más, (5 + 3)j. De tal manera que la resta de estos dos vectores me quedarÃa 2i + 8j. La multiplicación por escalar también nos quedarÃa de una manera muy sencilla. Si yo tengo un vector A cualquiera expresado con sus vectores unitarios i-j y las componentes. Si yo quisiera encontrar la multiplicación de ese vector por un escalar, lo que tengo que hacer es multiplicar cada una de sus componentes por ese escalar. Un ejemplo serÃa 4i + 3j, si yo lo quiero multiplicar por un dos para obtener el vector D, lo que tengo que hacer es multiplicar el dos por cada una de sus componentes y obtener 8i + 6j. Ese serÃa el resultado de la multiplicación por escalar. Una operación por escalar negativa, por ejemplo, nos quedarÃa el ejemplo 2: 2i- 3j en el vector A, en donde ahora queremos hacer la operación -3A, lo que tengo que hacer es multiplicar ese -3 por cada una de sus componentes. De tal manera que la operación me queda -6i + 9j. Operaciones más complejas como las que tenÃamos antes pues siguen siendo sencillas con cada uno de los vectores expresados en función de los vectores unitarios y sus componentes. Si yo tengo tres vectores, A, B, C representados aquÃ, si yo quiero la operación D = -3A + 0.5B- 2C. Esto se convierte en álgebra vectorial, porque lo que tengo que hacer es colocar en cada uno de estos vectores cuál es la representación en función de los vectores unitarios y sus componentes. Este serÃa -3 que multiplica a 4.10i + 5.70j, + 0.5 que multiplica a 2.40i -3.20j -2 que multiplica a -1.20i + 3.5j. Esa serÃa la operación que tengo que hacer y lo que resta es operación algebraica hasta reducir los términos hasta obtener el vector D = 8.7i- 25.7j. El resultado, como les digo, es un resultado cuya operación que hicimos es muy sencilla Cuando lo tenemos expresados en función de los vectores unitarios i, j y sus componentes. Otra operación compleja que pudieramos decir es el vector unitario en dirección A- B, cuando tenemos el vector A y B. Si se fijan, esta operación puede ser bastante compleja si no tuvieramos esta representación. lo que tenemos que hacer en este caso es encontrar el vector C: A-B, y utilizar la definición de vector unitario, que serÃa el vector sobre su magnitud. Si hacemos eso,hacemos la operación A-B y lo que nos queda es que esta operación nos da 1.70i + 8.90j. Ahora utilizamos la definición del vector unitario, que serÃa el vector dividido entre su magnitud: serÃa C entre su magnitud. Es decir 1.70i + 8.90j, entre la magnitud que serÃa la raÃz cuadrada de 1.90j entre la magnitud que serÃa la raÃz cuadrada de 1.70 al cuadrado + 8.90 al cuadrado. Y lo que obtenemos es 1.70 sobre 9.06 y más 8.90 sobre 9.06j, es decir 188i + 0.982j. Ese serÃa el vector unitario en dirección A-B Bueno, con esto terminamos este tema, nos vemos la siguiente ocasión. [MUSIC]
