[MÚSICA] Hola. Bienvenidos a la semana de producto punto. Hasta el momento lo que hemos hecho es hacer operaciones, you sea de manera gráfica o de manera analÃtica, cuando tenemos los vectores expresados en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos, hemos hecho operaciones de suma de vectores, de resta de vectores, hemos entendido cuál es el contexto de poder hacer una suma vectorial o una resta vectorial, la multiplicación por un escalar, también hemos trabajado, y una combinación de estas operaciones, en donde tenemos quizá una combinación de una multiplicación por escalar más una suma de vectores o una resta de vectores. Ese es el tipo de operaciones que hemos hecho hasta el momento. Bueno, ¿y la multiplicación? SerÃa la pregunta. ¿Podemos multiplicar vectores? Bueno, la respuesta es que sÃ, sà podemos multiplicar vectores. Sin embargo, hay que ver qué tipo de multiplicación podemos hacer, porque en fÃsica una fuerza hace trabajo sobre un objeto que se desplaza. Para que una fuerza haga trabajo sobre el objeto tiene que desplazarse de este objeto. Y resulta que el trabajo, que es una cantidad escalar, depende proporcionalmente de la fuerza y depende proporcionalmente del desplazamiento. La fuerza es un vector, el desplazamiento es un vector. Esto significa que una cantidad escalar, como el trabajo, depende de la multiplicación de la fuerza por un desplazamiento. Observen entonces que aquà tenemos 2 vectores que se multiplican y que el resultado nos debe dar una escalar. A esto se le conoce como el producto punto o un producto escalar, también se le conoce. Entonces, este es un ejemplo del por qué tenemos una multiplicación de, en este caso, del tipo escalar. Sin embargo también, en fÃsica, ocurre que la fuerza, por ejemplo, que ejerce un campo magnético sobre una carga en movimiento está relacionada con el campo magnético y está relacionada con la velocidad de la carga. Esto significa que la fuerza de un vector es proporcional al campo magnético, es decir, a mayor campo magnético mayor será la fuerza sobre la carga y a mayor velocidad, mayor será la fuerza sobre la carga. De tal manera que la fuerza de un vector es proporcional a la multiplicación del campo magnético por la velocidad, 2 vectores. ¿Se fijan? Entonces, existe la necesidad de tener 2 vectores multiplicando y obtenemos un vector. A esta multiplicación, de estos 2 vectores, cuyo resultado nos da un vector se le llama el producto cruz o un producto vectorial. Bueno, en este tema vamos a hablar especÃficamente sobre el producto punto, el siguiente tema vamos a hablar sobre el producto cruz. Entonces, hablando del producto punto, si nosotros tenemos 2 vectores, el producto punto de 2 vectores tiene por resultado el escalar. Y su definición es la siguiente, la definición es el producto punto entre 2 vectores A y B se define como A punto B igual a AB coseno de theta, donde A es la magnitud del vector A, B es la magnitud del vector B por el coseno del ángulo entre A y B. Esta serÃa su definición. Observen que esta definición nos da una escalar, porque cada una de estas cantidades, de estas 3 cantidades multiplicándose A, que serÃa la magnitud de A; B la magnitud de B y el coseno del ángulo, entre ellos on escalares las 3, entonces el resultado sà nos da una escalar. Bueno, esa serÃa la definición. Ahora, ¿qué interpretación le damos al producto punto? Y esto nos va a ayudar para la interpretación del contexto que tengamos. Entonces, si tenemos 2 vectores, A y B, en donde el ángulo entre ellos es theta, y queremos encontrar el producto punto entre estos vectores. Bueno, por su definición serÃa A punto B igual a AB coseno de theta. Yo puedo escribir AB coseno de theta como A que multiplica a B coseno de theta. Bueno, ¿esto qué significa gráficamente? Observen que si yo trazo una lÃnea perpendicular desde la punta de B hasta A, es decir perpendicular a A, hasta A nos queda que la proyección, ¿sÃ? Del vector B dirección de A es B coseno de theta, de tal manera que yo puedo interpretar, esa serÃa la proyección de B en dirección de A. Yo puedo interpretar a este producto punto como el producto entre la proyección de B en dirección de A que multiplica a la magnitud de A, ¿se fijan? ¿Por qué? Porque puedo trazar esa lÃnea perpendicular a A. De la misma manera yo puedo hablar que A punto B lo puedo escribir como B que multiplica a A coseno de theta. ¿Se fijan que A coseno de theta serÃa la proyección de A en dirección de B? Esto gráficamente quedarÃa de la siguiente manera. Aquà tengo que extender la dirección de B. Trazo una lÃnea perpendicular a B desde la punta de A y lo que nos queda es A coseno de theta. Entonces, yo puedo, esa serÃa la proyección de A en dirección de B. Yo puedo entonces interpretar como al producto de A punto B como la proyección de A en dirección de B que multiplica a la magnitud de B. Esa serÃa la interpretación gráfica. Claro que en el contexto nos queda también muy claro, porque si yo tengo 0 en el trabajo, el trabajo que hace una fuerza sobre un objeto cuando este objeto se desplaza. Entonces en este caso tengo una fuerza sobre un objeto y un ángulo que hace con la horizontal y el desplazamiento de mi objeto es horizontal. El trabajo se define como el producto punto de la fuerza y el desplazamiento, F punto por el desplazamiento, la fuerza punto el desplazamiento, por la definición serÃa la magnitud de la fuerza, por la magnitud del desplazamiento, por el coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Bueno, lo puedo interpretar. Esto me quedarÃa como D que multiplica a F coseno de theta. Si yo trazo F coseno de theta, es decir, la proyección de F en dirección del desplazamiento, lo que obtengo es la componente que está haciendo el trabajo, ¿se fijan? Porque la otra componente, F seno de theta no está haciendo el trabajo, es perpendicular al desplazamiento. Entonces la componente que hace el trabajo es F coseno de theta. De tal manera que el trabajo me queda F coseno de theta que multiplica al desplazamiento, que serÃa D. Es decir, una interpretación, you bajo contexto en el caso del trabajo del producto punto. Muy bien, ahora, si yo tengo el producto punto de 2 vectores cualquiera y varÃo el ángulo, entonces puedo ver que puedo obtener diferentes valores de el producto punto. Puedo tener cantidades positivas, puedo tener cantidades negativas o puedo tener 0 como resultado. Por ejemplo, si el ángulo entre los 2 vectores es menor a 90 grados, yo sé que A por B siempre va a ser una cantidad positiva porque A y B no tienen signo por el coseno de theta. En este caso, el coseno de theta de un ángulo menor a 90 grados es positivo. Eso significa que si el ángulo es menor a 90 grados el producto punto me da una cantidad positiva. Si el ángulo es 90 grados, entonces yo, quedarÃa A punto B igual a AB por el coseno 90 y el coseno 90 es igual a 0, de tal manera que el producto punto de 2 vectores perpendiculares es igual a 0. Si yo tengo un ángulo que sea mayor a 90 grados, entonces aquà tenemos que el coseno de un ángulo mayor a 90 grados es negativo. Significa entonces que el producto punto de 2 vectores que tengan entre ellos un ángulo mayor a 90 grados es negativo. Ahora, esa serÃa por definición, y es muy importante entender la definición del producto punto. En ingenierÃa es muy útil entender a la multiplicación del producto punto cuando tenemos a los vectores en función de los vectores unitarios y las componentes. Bueno, esto va a ser muy útil, por lo tanto hay que ver. Para eso, tenemos que hacer uso de la definición. Si yo quisiera encontrar el producto punto entre vectores unitarios, y posteriormente utilizar estas multiplicaciones del producto punto entre vectores unitarios para poder encontrar producto punto de vectores expresados en función de sus componentes y productos unitarios, voy a hacer lo siguiente. Primero, tengo los ejes cartesianos. Recordemos, el vector, los vectores unitarios van en dirección x, y, y z son perpendiculares entre sÃ. De tal manera que i punto i, i punto i es, de acuerdo de la definición serÃa la magnitud del primero, que es 1, la magnitud del segundo que es 1, que finalmente es el mismo porque estamos multiplicando i punto i. Entonces i por el coseno del ángulo entre estos 2 vectores, el coseno del ángulo entre 2 vectores iguales, pues es 0 grados, de tal manera que me queda 1 por 1 por 1 igual a 1. Es decir que el producto punto entre i e i es 1. De la misma manera podemos encontrar el producto punto entre j punto j. J punto j es 1 y seguramente entenderán rápidamente que k punto k es igual a 1. ¿Qué pasa si quiero multiplicar los vectores unitarios diferentes? I punto j por ejemplo, i punto j por definición serÃa la magnitud del primero, que es 1 por la magnitud del segundo, que es 1, por el coseno del ángulo entre ellos, que es 90 grados. Acabamos de ver, el coseno de 90 grados es 0. Significa entonces que el producto punto entre 2 vectores entre los vectores i y j es igual a 0. Como los vectores, los 3 vectores son mutuamente perpendiculares, significa que cualquier multiplicación de productos cartesianos entre ellos, diferentes, me va a dar 0, j punto k es igual a 0, k punto i es igual a 0. Entonces, tenemos you las multiplicaciones del producto punto con los vectores unitarios. Esto nos va a servir, les comentaba, es muy útil en ingenierÃa, porque, ¿qué pasarÃa si yo tuviera el vector A y el vector B en función de sus componentes y los vectores unitarios cartesianos? Cuando yo quiera multiplicar los vectores A y B en función de estas componentes y los vectores unitarios cartesianos entonces tengo que hacer uso de la multiplicación de producto punto de los vectores unitarios. Entonces, fÃjense lo que va a pasar. Aquà puse A punto B, expreso A en función de los vectores unitarios, B en función de los vectores unitarios, y hago la multiplicación término por término. El primer término Axi punto Bxi y eso lo expresé como Ax Bxi punto i. El siguiente término serÃa Axi punto Byj. Eso lo expresé como Ax Byi punto j, y asà sucesivamente. Es decir, tengo que multiplicar cada uno de los términos del primer vector con cada uno de los términos del segundo vector. Entonces tengo estas multiplicaciones que you las conozco en realidad, porque yo se que i punto i es igual a 1, se que j punto j es igual a 1, se que i punto k es igual a 0 y asà sucesivamente. Entonces si yo expreso en cada una de estas multiplicaciones el resultado de las multiplicaciones lo que me queda es simplemente que A punto B es igual a Ax Bx + Ay By + Az Bz. No lo tomemos como una regla, se puede tomar como una ecuación, como una fórmula. En realidad provienen de la definición del producto punto entre vectores. Entonces el resultado es muy sencillo. El producto punto entre A y B en cualquiera de los vectores serÃa la suma de la multiplicación de sus componentes. Muy bien, con esto terminamos producto punto. Nos vemos con el producto cruz en la siguiente. [MÚSICA]
