[MUSIC] Hola, bienvenidos al tema de vectores en el espacio. Hasta el momento lo que hemos visto son vectores que los representamos en un plano por ejemplo, el caso de un plano cartesiano. En donde tenemos un vector, por ejemplo un vector A. Y decÃamos que para poder indicar la dirección de este vector necesitábamos un ángulo. En este caso un ángulo que puede ser 50 grados con respecto al eje x. La magnitud del vector es independiente a los ejes cartesianos. Aquà decimos que este vector tiene de magnitud cinco metros. Cuando queremos representar un vector de manera más general, entonces hablamos del espacio cartesiano. Entonces agregamos una dimensión, la dimensión z. Y aquà vamos a representar a un vector. Un vector lo representamos por medio de su magnitud, una flecha que tiene cierta longitud, y la dirección. Y la dirección ahora, necesitamos más que un ángulo, necesitamos al menos otro ángulo para poder definir esta dirección. Vamos a entender dos maneras de definir la dirección de vectores en el espacio. Dos maneras que son diferentes pero, al final de cuentas, equivalentes para poder calcular las componentes de un vector. En este caso vamos a girar un poco los ejes para ponerlos de una manera más común, en donde en el plano XY serÃa el plano horizontal y el eje Z hacia arriba. Aquà observen que estoy dibujando en diferentes colores los planos: el plano XY, el plazo YZ y el plano XZ para poder ser más explÃcitos con respecto a nuestra gráfica. Bueno, hay dos maneras de definir la dirección de un vector en el espacio: la primera manera que vamos a ver es por medio del ángulo que hace el vector con los ejes cartesianos. Y aquà tenemos un vector, un vector B cualquiera el cual forma ángulos con respecto a cada uno de los ejes. El eje X, por ejemplo, serÃa un ángulo alfa, con respecto al eye, serÃa un ángulo beta y con respecto al eje Z un ángulo teta. Ese serÃa, digamos, un nombre para los ángulos que hace el vector con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Bueno, si tomamos en cuenta una analogÃa con respecto al plano. En este caso tenemos un plano, el plano xy, tenemos un vector, está representado la dirección por medio de un ángulo que puede ser lamda con respecto al eje x. Pero también lo podemos representar con respecto al eje Y, en es caso es Ro. Entonces, nosotros sabemos si utilizamos la geometrÃa de triángulos podrÃamos encontrar las componentes Ax y Ay por medio de estos ángulos. En el caso de la componente X serÃa Ax es igual a A coseno de lamda. En el caso de la componente Y, podrÃamos nosotros escribir a coseno de Ro. Claro, pudiéramos escribir también A seno de landa, pero en este caso queremos referirlo con respecto al ángulo que hace con cada uno de los ejes. Entonces observen que para poder encontrar las componentes, necesitamos la función coseno, por los triángulos que se forman. De la misma manera lo vamos a hacer en el plano tridimensional, en el espacio tridimensional. Nosotros tenemos que los ángulos que hace el vector con cada uno de los ejes son alfa, beta y teta. Entonces tenemos que las componentes del vector Bx, por ejemplo, serÃa B coseno de alfa. La componente By serÃa B por el coseno de beta y la componente Bz serÃa B por el coseno de teta. Esas serÃan las componentes. Entonces, aquà tenemos una manera de definir la dirección de un vector con estos tres ángulos y quizá nos preguntemos bueno, ¿No dijimos que necesitamos solamente un ángulo adicional? Pues sÃ, en realidad necesitamos dos ángulos, de estos tres necesitamos dos. Y vamos a demostrar que existe una relación. Si yo quiero calcular la magnitud de este vector por ejemplo, serÃa B X al cuadrado más B Y al cuadrado, más B Z al cuadrado, es decir, como si tuviéramos un teorema de pitágoras en tres dimensiones. Si yo coloco en cada una de estas componentes su relación, es decir, la componente Bx como B coseno de alfa, la componente By como B coseno de beta y la componente en z serÃa B coseno de teta. Nosotros sustituimos estos valores en nuestra ecuación y si elevamos al cuadrado nos queda una ecuación en la que podemos eliminar B cuadrada y nos queda una ecuación para los tres ángulos. El coseno de alfa al cuadrado más el coseno de beta al cuadrado más el coseno de teta al cuadrado es igual a 1. Se fijan que, en realidad, estos tres ángulos hay una relación entre ellos. Entonces, yo pudiera calcular o tener dos ángulos para la dirección y el tercero you está completamente definido. Es decir, solamente necesitamos los dos ángulos. Comúnmente hablamos de los tres ángulos por facilidad. Podemos hablar de los tres ángulos con respecto a los ejes coordinados. Ahora una segunda manera de expresar esta dirección de un vector en tres dimensiones en el espacio serÃa algo que le llamamos los ángulos de coordenadas esféricas. Es decir, utilizamos una manera muy conocida en matemáticas que se le llaman las cordenadas esféricas. Asà como las coordenadas cartesianas, la tenemos X Y Z, aquà tenemos las coordenadas esféricas, en donde se definen en lugar de X Y Z, como R Theta y Fi. Entonces aquà lo que necesitamos son dos ángulos: fi y teta. Ahorita vamos a ver a qué se refieren. Si yo tengo un vector, el vector B, por ejemplo puedo trazar una lÃnea perpendicular del vector hacia el plano XY y ahà tengo la proyección, la proyección del vector en el plano XY. Entonces, si yo trazo una recta desde el origen hasta donde toca la lÃnea recta que tracé perpendicular al plano XY entonces obtengo que el ángulo que hace con el eje X se le conoce como el ángulo Fi. Ese ángulo Fi tiene una caracterÃstica interesante: es importante y diferente a los demás. Es un ángulo que va de 0 a 360 grados. Es el ángulo que hace el eje X con la proyección del vector sobre el plano XY. Además, tengo un segundo ángulo que es el ángulo que hace el vector con el eje Z. Se fijan que este ángulo que hace el vector con el eje Z es exactamente el mismo que en la primera manera de definición de la dirección del vector. Entonces tengo dos ángulos: el ángulo teta y el ángulo fi. El ángulo teta como los demás ángulos que se refieren al ángulo que hace el vector con cada uno de los ejes coordenados van de 0 a 180 grados. Entonces aquà lo tenemos. El ángulo teta va de 0 a 180 grados y el ángulo fi va de 0 a 360 grados. El ángulo fi es un ángulo muy especial por esta caracterÃstica. Que va de 0 a 360 grados. Para poder calcular las componentes de este vector, las componentes X, Y y Z entonces tengo que hacer uso de la geometrÃa tridimensional. Es muy fácil ver que la componente en Z sigue siendo B coseno de teta, asà como lo era antes. Sin embargo, si yo hablo de B seno de teta, esa serÃa la proyección en el plano XY. B coseno de teta serÃa la componente en el eje Z y B seno de teta serÃa la proyección del vector sobre el plano XY. De tal manera que ahora voy a descomponer esta proyección, este B seno de teta, en dos componentes, la componente en X y la componente en Y. Utilizaré B por el seno de teta multiplicado por el coseno de fi para encontrar la componente en X y B seno de teta por el seno de fi para encontrar la componente en Y. De esta manera obtenemos las tres componentes. Recapitulando serÃa Bx B seno de teta por el coseno de fi, By serÃa B seno de teta por el seno de fi y Bz serÃa B coseno de teta. Esa serÃa la manera en que podemos encontrar las componentes de un vector con esta definición en coordenadas esféricas. Bueno, si tenemos un eje Z, entonces necesariamente tenemos que hablar de un vector unitario en dirección de este eje Z. A este vector unitario le vamos a llamar el vector unitario K. De tal manera que tendremos tres vectores unitarios dentro de nuestro espacio cartesiano: el vector i, el vector j y el vector k. Que son perpendiculares entre sÃ, hacen siempre 90 grados entre ellos. Esto nos sirve para poder encontrar que un vector se puede expresar en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. Asà como lo hicimos en el plano, en donde tenÃamos A es igual a Ax i más Ay j. En este caso tendrÃamos A es igual a Ax i más Ay j más Az k. Ese serÃa nuestro vector en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. De tal manera que las operaciones, ahora sÃ, podemos hacerlas de manera muy sencilla. Operaciones tridimensionales. Es decir, donde tenemos los vectores en función de las tres componentes. Es decir, que tengamos vectores en diferentes direcciones en el espacio. Si yo tengo, por ejemplo, el vector A y el vector B expresados en función de las componentes y de los vectores unitarios cartesianos. Si yo quiero sumar lo único que tengo que hacer es sumar las componentes. Si yo quiero restar lo único que tengo que hacer es restar las componentes. Si yo quiero multiplicar un vector por un escalar simplemente multiplico cada una de las componentes. De las operaciones nos quedan bastante sencillas. Bueno, con esto he terminado vectores en el espacio. Nos vemos la siguiente semana. [MUSIC]
