[MUSIC] Hola, bienvenidos al tema de derivadas. Hasta el momento lo que hemos hecho es analizar gráficas de posición de una partÃcula. Y con la gráfica de posición hemos interpretado el movimiento de la partÃcula. Y no solo eso, sino que hemos calculado velocidades. Primero calculamos velocidades medias. Y posteriormente calculamos velocidades instantáneas. Las velocidades instantáneas las calculamos de tres métodos diferentes. Con el método de aproximado que le llamábamos, en donde encontrábamos la velocidad instantánea para un tiempo determinado. Con una ecuación de posición. TenÃamos también el método gráfico, en donde encontrábamos la velocidad instantánea para un tiempo dado en una gráfica de posición. Y encontramos también de la velocidad instantánea por medio del método analÃtico. En donde necesitábamos la función de posición y con ella encontrábamos la velocidad instantánea para todo tiempo t. Bueno, en este tema de derivadas vamos a generalizar ésto. Es decir, vamos a encontrar una manera de calcular la velocidad instantánea para cualquier tiempo con una gráfica o con una ecuación de posición. De manera general como les digo. Y vamos a utilizar las matemáticas, en este caso las derivadas. Entonces hasta el momento nosotros definimos la velocidad instantánea como el lÃmite de delta x sobre delta t, cuando delta t tiende a cero. Ésta es la definición de velocidad instantánea. Ésta es una definición fÃsica. Sin embargo, si yo veo la ecuación o la expresión lÃmite de delta x sobre delta t, cuando delta t tiende a cero. Esa expresión es precisamente la derivada de x con respecto al tiempo. En matemáticas se le conoce como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Entonces podemos hacer uso de las derivadas de matemáticas. Podemos hacer uso de las derivadas comunes, o de las reglas de derivadas para poder encontrar la velocidad instantánea. ¿Por qué?, porque en este caso estamos definiendo la velocidad instantánea como una derivada de la posición con respecto al tiempo. Entonces definimos a la velocidad instantánea, en lugar de definirla como lÃmite, la definimos como la derivada de la posición respecto al tiempo. Es decir, este método analÃtico que veÃamos es precisamente el cálculo de la derivada. Asà se le conoce. Entonces si nosotros tenemos que la derivada de x con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea. La podemos escribir como la derivada con respecto al tiempo de la función de posición. Es decir, x que va a depender del tiempo. Observen que tiene que depender del tiempo la posición para poder derivarla con respecto al tiempo. Habrá métodos, sino bien de la posición en función del tiempo, habrá métodos que pueden hacer este cálculo de derivada. Pero serÃa en matemáticas un poco más superiores. Entonces vamos a ver las reglas de derivadas, que nos van ayudar para calcular velocidades instantáneas. Si yo tengo una constante, la función es una constante. La derivada de una función constante con respecto a lo que sea, en este caso es con respecto al tiempo. Pero con respecto a lo que sea es igual a cero. Esa es una regla. Otra regla es que si yo tengo la constante multiplicando a una función. Ésto significa que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. Es la segunda regla que vamos a utilizar. Y la tercera regla se le conoce como la derivada de suma y resta de funciones. La derivada de suma y resta de funciones es igual a la suma y resta de las derivadas, de cada una de las funciones. Entonces son tres reglas que vamos a estar utilizando en este curso. Además vamos a tener que aprendernos algunas derivadas comunes. En esta tabla les pongo cuáles son estas derivadas comunes. Por ejemplo, si yo tengo la función t a la n, la derivada de la función t a la n, es n por t, a la n menos uno. Ese es una derivada común que you sabemos que siempre va a funcionar. Yo tengo t a la n, su derivada va ser n t a la n menos uno. Y los que tenemos la función seno de t, la derivada de la función seno de t es coseno de t. La derivada del coseno de t es menos el seno de t. La derivada de la función tangente de t es igual a secante al cuadrado de t. La derivada de la función exponencial de t, es igual a la exponencial de t. Es decir no cambia. Y la derivada del logaritmo natural de t es uno sobre t. Éstas serÃan las derivadas comunes que vamos a utilizar. Entonces con las derivada comunes, y las reglas de derivadas, vamos a poder encontrar velocidad instantánea de muchas funciones. Un ejemplo va a ser éste. Aquà tengo el ejemplo de x de t, la función de posición es igual a dos t cúbica, menos tres coseno de t. Se fijan es una función complicada que podrÃamos utilizar el método analÃtico. Pero el método analÃtico serÃa un poco complicado aplicarlo en esta ecuación. Vamos a utilizar derivadas. Si yo tengo que la velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Quiere decir que va a ser la derivada con respecto al tiempo, de dos t cúbica menos tres coseno de t. Aquà observen que voy a utilizar una regla, la regla de suma y resta. Yo sé que la derivada de dos t cúbica, menos tres coseno de t. Va a ser igual a menos dos t cúbica, menos la derivada de tres coseno de t. En este momento me corresponde hacer la segunda regla que tenÃamos, es decir, la de la constante. ¿La de la constante por qué?, porque yo tengo primeramente la derivada de dos t cúbica. Ésto significa que con esta regla serÃa dos que multiplica a la derivada de t cúbica. Y tengo la derivada de tres coseno de t. Por lo tanto ésto me quedarÃa tres por la derivada del coseno de t. Entonces you hasta el momento tengo ésto como resultado. Se fijan que you tengo dentro de los paréntesis, tengo cada una de esas funciones que son derivadas comunes. Es decir, you conozco cuál es la derivada de t cúbica, y conozco cuál es la derivada del coseno de t. Entonces aplico esta derivada común, yo sé que la derivada con respecto al tiempo de t a la n, es n por t a la n menos uno. Entonces quiere decir que la derivada de t cúbica serÃa tres t cuadrada. Y la derivada del coseno de t es menos seno de t. Ésto significarÃa que si utilizo estas derivadas comunes, mi función utilizo algo de álgebra. La función de velocidad instantánea que es la derivada de la posición con respecto al tiempo, me queda como seis t cuadrada más tres seno de t. ¿Se fijan? Esta manera de calcular la velocidad instantánea es mucho más sencilla que calcular la velocidad instantánea por el método analÃtico. En realidad es lo mismo. Una es la derivada, y la otra es la derivada. Solamente que en esta segunda manera de hacerlo, utilizábamos la regla de derivadas y las derivadas comunes. Entonces otras derivadas que podemos ver en fÃsica, no nos debemos quedar únicamente con la velocidad instantánea. SerÃa un error decir que las derivadas únicamente se utilizan para calcular velocidades. Y eso es incorrecto. En realidad hay muchas funciones en fÃsica, que dependen de otras funciones y que pueden ser derivadas de esas otras funciones. Cuando hablamos de razones de cambio. Cualquier razón de cambio con respecto a una variable. Esa razón de cambio con respecto a una variable se puede interpretar como una como una derivada. Entonces eso vamos a poder obtenerlo en varios temas de fÃsica. Y podemos por ejemplo, un ejemplo bien interesante serÃa el de la aceleración. Si yo tengo que la velocidad de la partÃcula va cambiando, eso significa que tiene una aceleración. Y definimos a la aceleración media como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir, cómo cambia la velocidad, el delta d, dividido entre el intervalo. Es decir el delta t, ésta serÃa la definición de aceleración media. Si you tenemos nosotros que la aceleración media es delta d sobre delta t, es decir, la razón de cambio sobre la velocidad con respecto al tiempo. Entonces fácilmente podemos decir que la aceleración instantánea será la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Entonces pasamos de la aceleración media a la aceleración instantánea. La aceleración instantánea es el lÃmite de delta d sobre delta t, cuando delta t tiende a cero. Y a ésto le llamábamos una derivada. La aceleración entonces nos queda como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, se fijan. Entonces ahora podemos encontrar aceleraciones instantáneas cuando tenemos la velocidad de la partÃcula. Es decir, pudiéramos hacer lo siguiente, pudiéramos nosotros tener la función de posición para todo tiempo t. Encontrar la función de velocidad, derivando la función de posición con respecto al tiempo. Y posteriormente encontrar la aceleración instantánea, derivando la velocidad con respecto al tiempo. EncontrarÃamos entonces, inicialmente tenÃamos la función de posición, y encontrarÃamos la función de velocidad y la función de aceleración. Bueno, les agradezco muchÃsmo, nos vemos en el siguiente tema. [MUSIC]
