Hola, bienvenidos a la semana de producto punto. Hasta el momento lo que hemos hecho es hacer operaciones ya sea de manera gráfica o de manera analítica cuando tenemos los vectores expresados en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. Hemos hecho operaciones de suma de vectores, de resta de vectores, hemos entendido cuál es el contexto de poder hacer una suma vectorial o una resta vectorial. La multiplicación por un escalar también hemos trabajado, y una combinación de estas operaciones en donde tenemos quizá una combinación de una multiplicación por escalar mas una suma de vectores o una resta de vectores. Ese es el tipo de operaciones que hemos hecho hasta el momento. Bueno, ¿Y la multiplicación? sería la pregunta. ¿Podemos multiplicar vectores? Bueno, la respuesta es que sí, sí podemos multiplicar vectores. Sin embargo hay que ver qué tipo de multiplicación podemos hacer porque en física una fuerza hace trabajo sobre un objeto que se desplaza. Para que una fuerza haga trabajo sobre el objeto, tiene que desplazarse este objeto y resulta que el trabajo es una cantidad escalar, depende proporcionalmente de la fuerza y depende proporcionalmente del desplazamiento. La fuerza es un vector. El desplazamiento es un vector. Esto significa que una cantidad escalar como el trabajo depende de la multiplicación de la fuerza por un desplazamiento. Observen entonces que aquí tenemos dos vectores que se multiplican y que el resultado nos debe dar un escalar. A esto se le conoce como el producto punto, un producto escalar también se le conoce. Entonces este es un ejemplo del por qué tenemos una multiplicación de en este caso del tipo escalar. Sin embargo también en física ocurre que la fuerza por ejemplo que ejerce un campo magnético sobre una carga en movimiento está relacionada con el campo magnético y está relacionada con la velocidad de la carga. Esto significa que la fuerza de un vector es proporcional al campo magnético. Es decir, a mayor campo magnético, mayor será la fuerza sobre la carga y a mayor velocidad, mayor será la fuerza sobre la carga de tal manera que la fuerza de un vector es proporcional a la multiplicación del campo magnético por la velocidad. Dos vectores. ¿Se fijan? Entonces existe la necesidad de tener dos vectores multiplicando y obtenemos un vector. A esta multiplicación de estos dos vectores cuyo resultado anotado un vector se le llama el producto cruz o un producto vectorial. Bueno, en este tema vamos a hablar específicamente sobre el producto punto. El siguiente tema vamos a hablar sobre el producto cruz. Entonces hablando del producto punto, si nosotros tenemos dos vectores, el producto punto de dos vectores tiene por resultado el escalar y su definición es la siguiente. La definición es el producto punto entre dos vectores A y B se define como a punto B igual a AB coseno de Teta donde A es la magnitud del vector A, B es la magnitud del vector B por el coseno del ángulo entre A y B. Esa sería su definición. Observen que esta definición nos da un escalar porque cada una de estas tres cantidades multiplicándose, A que sería la magnitud de A, B la magnitud de B y el coseno del ángulo entre ellos son escalares las tres. Ese es el resultado si nos da una escalar. Bueno, esa sería la definición. Ahora, ¿Qué interpretación le damos al producto punto? Y esto nos va a ayudar para la interpretación del contexto que tengamos. Entonces si tenemos dos vectores, A y B, en donde el ángulo entre ellos es Teta y queremos encontrar el producto punto entre estos vectores. Por su definición sería a punto B igual a B coseno de Teta. Yo puedo escribir a B coseno de Teta como A que multiplica a B coseno de Teta. Bueno, ¿Esto que significa gráficamente? Observen que si yo trazo una línea perpendicular desde la punta de B hasta A, es decir perpendicular a A, hasta A nos queda que la proyección del vector B en dirección de A es B coseno de Teta de tal manera que yo puedo interpretar - esa sería la proyección de B en dirección de A - yo puedo interpretar a este producto punto como el producto entre la proyección de B en dirección de A que multiplica a la magnitud de A. ¿Se fijan por qué? Porque puedo trazar esa línea perpendicular a A. De la misma manera, yo puedo hablar que A punto B lo puede escribir como B que multiplica a a coseno de Teta. Se fijan que A coseno de Teta sería la proyección de A en dirección de B. Esto gráficamente quedaría de la siguiente manera. Aquí tengo que extender la dirección de B, trazo una línea perpendicular a B desde la punta de A y lo que nos queda es A coseno de Teta. Entonces esa sería la proyección de A en dirección de B. Yo puedo entonces interpretar como al producto de A punto B como la proyección de A en dirección de B que multiplica a la magnitud de B. Esa sería la interpretación gráfica. Claro que en el contexto nos queda también muy claro porque si yo hablo del trabajo, el trabajo que hace una fuerza sobre un objeto cuando este objeto se desplaza entonces en este caso tengo una fuerza sobre un objeto y un ángulo que hace con la horizontal y el desplazamiento de mi objeto es horizontal. El trabajo se define como el producto punto de la fuerza y el desplazamiento. F punto por el desplazamiento, la fuerza punto el desplazamiento. Por la definición sería la magnitud de la fuerza por la magnitud del desplazamiento por el coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Bueno, lo puedo interpretar. Esto me quedaría como D que multiplica a F coseno de Teta. Si yo trazo F coseno de teta, es decir la proyección de F en dirección del desplazamiento, lo que obtengo es la componente que está haciendo el trabajo, ¿Se fijan? Porque la otra componente F seno de Teta no está haciendo el trabajo, es perpendicular al desplazamiento. Entonces la componente que hace el trabajo es F coseno de Teta de tal manera que el trabajo me queda F coseno de Teta que multiplica el desplazamiento que sería D. Es decir, una interpretación ya bajo contexto en el caso del trabajo del producto punto. Muy bien, ahora si yo tengo el producto punto de dos vectores cualquiera y varío el ángulo entonces puedo ver que puedo obtener diferentes valores del producto punto. Puedo tener cantidades positivas, puedo tener cantidad negativas o puedo tener cero como resultado. Por ejemplo, si el ángulo entre los dos vectores es menor a 90 grados yo sé que A por B siempre va a ser una cantidad positiva porque A y B no tienen signo por el coseno de Teta. En este caso el de Teta de un ángulo menor a 90 grados es positivo. Eso significa que si el ángulo es menor a 90 grados, el producto punto me da una cantidad positiva. Si el ángulo es 90 grados, quedaría A punto B igual a B por el coseno de 90 y el coseno de 90 es igual a cero de tal manera que el producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero. Si yo tengo un ángulo que sea mayor a 90 grados, entonces aquí tenemos que el coseno de un ángulo mayor a 90 grados es negativo. Significa entonces que el producto punto de dos vectores que tengan entre ellos un ángulo mayor a 90 grados es negativo. Ahora, esa sería por definición y es muy importante entender la definición del producto punto. En ingeniería es muy útil entender a la multiplicación del producto punto cuando tenemos a los vectores en función de los vectores unitarios y de las componentes. Bueno, esto va a ser muy útil por lo tanto hay que ver. Para eso tenemos que hacer uso de la definición. Si yo quisiera encontrar el producto punto entre vectores unitarios y posteriormente utilizar estas multiplicaciones de producto punto entre vectores unitarios para poder encontrar producto punto de vectores expresados en función de sus componentes y vectores unitarios, voy a hacer lo siguiente. Primero, tengo los ejes cartesianos. Recordemos, los vectores unitarios van en dirección X, Y y Z, son perpendiculares entre sí de tal manera que Y punto Y de acuerdo a la definición sería la magnitud del primero que es uno, la magnitud del segundo que es uno que finalmente es el mismo porque estamos multiplicando Y punto Y por el coseno del ángulo entre estos dos vectores. El coseno del ángulo entre dos vectores iguales es cero grados de tal manera que me queda uno por uno por uno igual a uno. Es decir que el producto punto entre Y e Y es uno. De la misma manera podemos encontrar el producto punto entre J punto J. J punto J es uno y seguramente entenderán rápidamente que K punto K es igual a uno. ¿Qué pasa si quiero multiplicar los vectores unitarios diferentes? Y punto J por ejemplo. Y punto J por definición serían la magnitud del primero que es 1 por la mitad del segundo que es 1 por el coseno del ángulo entre ellos que es 90 grados. Acabamos de ver, el coseno de 90 grados de cero. Significa entonces que el producto punto entre dos vectores, entre los vectores Y y J es igual a cero. Como los tres vectores son mutuamente perpendiculares significa que cualquier multiplicación de productos unitarios cartesianos entre ellos diferentes me va a dar cero. J punto K es igual a cero, K punto Y es igual a 0. Entonces tenemos ya las multiplicaciones del producto punto con los vectores unitarios. Esto nos va a servir, les comentaba, es muy útil en ingeniería porque ¿Qué pasaría si yo tuviera el vector A. Y el vector b en función de sus componentes y los vectores unitarios cartesianos? Cuando yo quiera multiplicar los vectores A y B en función de estas componentes y los vectores unitarios cartesianos entonces tengo que hacer uso de la multiplicación del producto punto de los vectores unitarios, pero fíjense lo que va a pasar. Aquí puse A punto B. Expreso A en función de los vectores unitarios, B en función de los vectores unitarios y hago la multiplicación término por término. El primer término A X Y punto B X Y y eso lo expresé como A X B X, Y punto Y. El siguiente término sería A X Y punto B Y J, eso lo expresé como A X V Y, Y punto J y así sucesivamente. Es decir, tengo que multiplicar cada uno de los términos del primer vector con cada uno de los términos del segundo vector entonces tengo estas multiplicaciones que ya las conozco en realidad porque yo sé que Y punto Y es igual a 1, sé que J punto J es igual a 1, sé que I punto K es igual a cero y así sucesivamente. Entonces si yo expreso en cada una de estas multiplicaciones es el resultado de las multiplicaciones, lo que me queda es simplemente que A punto B es igual a A X B X mas A Y B Y mas A Z B Z. No lo tomemos como una regla, se puede tomar como una ecuación, como una fórmula. En realidad provienen de la definición del producto punto entre vectores entonces el resultado es muy sencillo: el producto punto entre A y B en cualquiera dos vectores sería la suma de la multiplicación de sus componentes. Muy bien, con esto terminamos producto punto. Nos vemos con el producto cruz en la siguiente
