Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Ejercicio 7.1
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From the course by Tecnológico de Monterrey
Física: Vectores, Trabajo y Energía
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Semana 3. Vectores en el espacio
Meet the Instructors
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
[AUDIO_EN_BLANCO] Hola de nuevo.
Pues el tema de esta semana es vectores en tres dimensiones.
El día de hoy vamos a hacer un ejercicio en el que tengamos que calcular las
componentes rectangulares de un vector a partir de los ángulos que hace el vector
con los ejes x, y y z
y pues vamos a expresarlos en términos de los vectores unitarios i, j y k.
Vamos a ver el ejercicio.
Tenemos que podemos basarnos en la definición bueno,
en lo que se demostró en la teoría respecto a los cosenos de los
ángulos que hace el vector con respecto a cualquiera de los tres ejes coordenados.
Decíamos que le íbamos a llamar alfa al ángulo que hace el vector con el eje
x positivo y se había deducido previamente que el coseno de ese ángulo alfa
es igual a la componente x entre la magnitud del vector.
En este caso notamos que podemos despejar de aquí la componente x,
y resulta ser el producto de la magnitud del vector por el
coseno del ángulo que hace el vector con el eje x positivo.
Así que podemos hacer la operación, como la magnitud del vector A es 20 y el
ángulo es 120 grados, entonces calculamos 20 por el coseno de 120 grados.
Eso en la calculadora nos da negativo 10.
Muy bien, aquí tenemos you la componente x del vector.
Ahora, análogamente tenemos que el ángulo que
hace el vector con respecto al eje z positivo es 60 grados.
Y pues también se había deducido que el coseno de ese ángulo que hace el vector
con respecto al eje z positivo debe ser la componente z entre la magnitud del vector.
Noten que es muy parecido.
Cualquiera de los cosenos de los ángulos es la componente que corresponde
a ese eje dividido entre la magnitud, por ejemplo en este caso usamos la
componente x para referirnos al ángulo que hace el vector con el eje x positivo.
Así también nos referimos a la componente z,
así que tenemos que utilizar el ángulo que hace el vector con el eje z positivo.
Y si despejamos esta ecuación, entonces nos queda que hay que multiplicar
la magnitud del vector por el coseno del ángulo que hace con el eje z.
Y esto nos da 20 por el coseno de 60 grados.
Es decir, la componente z es igual a 10.
Bueno, pues you tenemos la componente x del vector que es menos 10,
you tenemos la componente z del vector que es 10, y ahora nos falta la componente y.
Para obtener la componente y vamos a utilizar
la ecuación que nos permite calcular la magnitud de un vector.
¿Por qué? Porque tenemos la magnitud,
tenemos la componente x y tenemos la componente z.
Así que si observamos la ecuación que utilizamos para calcular la magnitud
del vector, notamos que bueno, habíamos visto que es la aplicación
del teorema de Pitágoras dos veces sucesivas, y lo que resulta es que el
cuadrado de la magnitud es igual a la suma de los cuadrados de las componentes.
Chequeen los videos de teoría para corroborar esto.
Así que la magnitud del vector, si metemos los datos en esta ecuación,
la magnitud es 20, vamos a elevar al cuadrado,
la componente x you la obtuvimos es menos 10, la elevamos al cuadrado,
no sabemos cuánto vale la componente y así que la dejamos como Ay elevada al cuadrado
y la componente z vale 10 que también vamos a elevar al cuadrado.
Esto es 400 igual a 100 más la componente y al cuadrado más 100.
Bien, pues you nada más nos queda despejar
la componente y, si tenemos que restar
a ese 400 estos dos 100 que están del lado derecho de la ecuación,
nos queda que la componente y elevada al cuadrado es igual a 200.
Pero resulta que no queremos la componente y al cuadrado, queremos la componente y.
Así que buscamos una cantidad tal que si la elevamos al cuadrado nos de 200,
bueno hay que considerar dos posibilidades, la posibilidad de que sea
el positivo de la raíz cuadrada de 200 o el negativo de la raíz cuadrada de 200,
porque cualquiera de esas dos opciones al elevar al cuadrado nos van a dar 200.
Si simplificamos ese radical que esta ahí debido a que
200 es 100 por 2 y que la raíz de 100 es 10,
podríamos escribir esto como más menos 10 por la raíz cuadrada de 2.
Verifiquen que eso es exactamente lo mismo que la raíz cuadrada de 200.
Bueno, pues you tenemos los dos posibles valores para la componente y.
Como no nos especifican si la componente y es positiva o negativa,
pues entonces en nuestra respuesta tenemos que incluir las dos posibilidades.
Así que para escribir el vector
A en términos de los vectores unitarios i,
j y k, como you tenemos que la componentes es menos 10,
la componente y puede tener dos valores, positivo o negativo
10 por raíz de 2, y la componente z es igual a 10.
Entonces lo único que hay que hacer para escribir este vector A en términos de i,
j y k es escribir las componentes acompañadas por su respectivo
vector unitario, el que el corresponde a cada uno de esas componentes.
Entonces como la x es menos 10, el resultado va a ser menos 10i para el
vector componente x, más voy a poner las dos de una vez,
más menos la raíz cuadrada de 2j por ser la componente y,
y más 10k que es la componente z.
Noten que estos son dos vectores, aquí estamos representando a dos vectores
puesto que aquí tenemos un signo doble positivo y negativo, lo cual nos indica
que una de las posibilidades pues es menos 10i + 10 por raíz de 2j + 10k.
Y la otra posibilidad es
menos 10i menos 10 por raíz de 2j + 10k.
Esos dos vectores entonces cumplen con las condiciones
que nos describen al principio.
Bien, pues este es el vector, el perdón,
este es el par de vectores que obtuvimos y que nos piden en el problema y que
están expresados en términos de los vectores unitarios i, j y k.
Por supuesto en el problema nos piden el vector,
pero you vimos que al obtener la respuesta tenemos dos posibilidades
y nos nos especifican cuál es el signo de la componente y,
así que es pertinente escribir las dos posibilidades como respuesta.
Bien, pues como ven es un proceso muy
sencillo determinar las componentes rectangulares de un vector a partir de los
ángulos que hace el vector con los ejes x, y y z.
Bueno, pues hasta la próxima.
[MÚSICA]
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