那麼剛剛就是我們的模型,接下來我們要來開始求解這個模型,反正就是老樣子,我們要把 equilibrium
算出來,然後看看它有什麼性質,看看它會不會發生。
那麼我們分兩階段 先暫時忘掉營收分享這件事情,我們先只考慮上架費
那這件事情在我們做研究上也是很常發生的策略,就是你有一個問題
那你盡可能地一個一個解決,你同時考慮好幾個變數,搞不好
搞得自己暈頭轉向的,你可以先考慮一部分,比如說你假設 他們這兩個零售商,腦子還不夠好,還沒有想到營收分享這個
idea,現在只想到上架費 的話,會發生代銷嗎
說不定你會發現沒有,但是有了營收分享就會 或是反過來,現在會,分享營收了以後反而不會,等等,你反而可以考慮
不同的收費方式對結果的影響,好,所以我們 來,一步一步來,我們現在先考慮只有上架費這件事情
好,那無論如何先從基準點開始做,我們比較的基準就是
沒有代銷這件事嘛,所以我們要思考沒有代銷的時候,這兩個零售商會 怎麼定價,以及賺多少錢。
現在如果都不代銷的話,我是市場 一,上面的消費者就只有兩個選擇,他要麼買商品一,不然就不買
市場二也是一樣的,那麼一個消費者怎麼決定買或不買呢
就看效用是正的還是是零,如果我們買東西的效用是正的,我就買 因爲划算,是零就不買,就是這麼簡單。
所以呢,我們剛才已經知道我們消費者的願付價格 長得像,對不起,消費者
utility 效用長得像這樣子嘛 θq-p 如果你是市場 i,就是 qi
跟 pi,所以你問的問題就是這個量 是正的還是零,正的就買
負的就不買,那這個量要是零呢,你想我們消費者的 θ
落在零到一之間,隨機嘛,這個的意思就是你進去那個市場,隨便抽一個人 它的
θ 會落在零到一之間,然後是一個隨機的這個均勻的變數
那麼 θ 比較大的人就比較願意買對吧,因爲 q 跟 p 都固定了
這個市場上的 product 就是長那個樣子,它的價格也已經寫在網站上了
已經固定了,所以每個消費者就會去想,嗯,對我來說划不划算 我的
θ 高,你的 θ 低,那我們的選擇可能就會不一樣。
那麼 有一個人很特別,那個人呢剛好對於買跟不買覺得沒差
那個人是誰,就是 θ 恰好等於 q2 分之 p2
的那個人 那個人呢,他站在市場二上思考,他就想說,誒
我如果我的 θ 剛好是 q2 分之 p2 那麼這個時候我把它代進我的
utility function,剛好就是零 對吧,因爲
q2 分之 p2,乘以 q2,減 p2 就是零
換言之,換言之什麼,這個人,我們叫他,indifferent customer
他對於買跟不買覺得沒有差,那麼我們就知道啦 θ
比他大的人就會買,對不對,因爲 θ 比較大 所以 θq
就比剛剛大,那麼 p 是不變的,所以這些人的 utility 都是正的,反之不買的那些人
就是 θ 比較小的,所以廠商思考了這樣子的事情了以後,廠商就會想
我的 product 如果是 q2 這個 quality,而我把價格定在
p2 的話 那麼,我的需求量當然就是 1 減 q2
分之 p2 就是我們畫紅線的這個區域,我
價格如果上升,買的人就會變少,合情合理。
我產品如果品質變好 那我買的人就會變多,合情合理。
那當然這個式子有些限制,首先 p2 不能是負的,這個沒差
其次 p2 不能比 q2 大,不然的話你的這個
式子也不會落在零到一之間,所以待會兒我們會 implicitly
地假設你商家不會幹這種蠢事,好的 那麼零售商 2
的利潤最大化的問題就長得像這樣,就是 p2 是價格
因爲這裏沒有成本,所以 p2 就是 sales margin,一個賺 p2 這麼多錢,你希望
p2 儘量大 但是你的需求量會隨着 p2 上升而下降,所以你取一個
tradeoff 這個就是你要解的 maximization problem,那麼這個問題當然是非常的 ok,大家都知道怎麼解
所以我的最佳的 price 就是二分之 q2
那怎麼做出來的,誒,不告訴你,因爲你已經知道了對吧,回去想一下。
那麼你有最佳售價 了以後呢,再把這個二分之 q2
代進目標式,你就會得到這個時候呢它的均衡利潤是多少,就是四分之 q2
那麼看起來不是太令人意外,你如果 q2 變大 東西品質變好,你零售商
2 就應該要把它賣貴一點 然後你也因此可以得到更大的利潤,這個是對
q2 來說,對零售商 2 來說會發生的事情。
那對零售商 1 來說,其實是一模一樣,只不過就是 這裏的 q2,你把它換成
q1 就好了 那 q1 是 1,所以這件事情已經解出來了
對零售商 1 來說,最佳的價格就是二分之一,最佳的
這個 profit 就是四分之一,然後也可以順便算一下所謂的產業利潤,industry
profit 就是兩家店合起來賺了多少錢,那就是
四分之 q2 加 1,所以這個分析大概是還算是不算太困難
那麼今天他們如果建立了代銷關係的話會怎麼樣,那我們剛說了我們先不
討論營收分享,所以他們只支付 f1 跟 f2 給對方 不過你仔細一想,我付給你三千塊,你付給我五千塊的話
那這個兩個數字其實都不是很重要,因爲實際上就是你付給我兩千塊嘛,所以我們也不需要把 f1
跟 f2 這兩個變數留在模型裏面,我們只要說,其實就是某一方支付了那個差額
給對方就好了,而這個小 f 可以是正的也可以是負的
正號或負號的時候表示是 1 付給 2 或 2 付給 1,都沒有差
所以讓我們就說是零售商 1 付出 f 給零售商 2 吧,我們就這麼講
那麼待會兒我們就以這個方式來描述,但請注意 f 可以是負的
如果 f 是負的,就表示其實是零售商 2 付錢給零售商 1,ok 那麼
f 這樣子的存在呢,它很好,爲什麼,它保證你可以做任意的利潤分配
就是兩個人合起來賺了一塊餅那麼大的話,只要我們
選擇不同的 f,那麼這塊餅就可以以不同的方式切給這兩個商家
你可以三七分,你可以二八分,你可以四六分等等都可以 因爲
f 讓你可以任意地分割利潤,所以兩個人如果一開始要討論要不要
做代銷的話,他們其實只要討論產業利潤有沒有比沒有代銷的時候高
就可以了,只要他們兩個人覺得代銷了以後合起來會賺得比原本多 那麼他們就討論一個
f 來達到雙贏,來達到讓兩個人 都賺得比原本多就好了,這個東西跟上禮拜講的
這個供應商和零售商之間要不要採用退貨合約是一樣的,他們只要考慮
要是退貨合約建立了以後 賺得比原來多,合起來賺得比原來多,我們知道它可以
win-win 這裏也是一樣,因爲這裏有利潤分配,是可以做到的,因爲你有上架費
好的 那麼呢,我們知道我們先要來討論市場上會發生什麼
事情,也就是消費者現在要看到兩個商品了,所以 商家
1 跟商家 2 決定 p1 跟 p2 的時候會互相影響,怎麼個互相影響法呢
看看消費者,每一個消費者現在都有三個選擇,他有 買產品 1、 買產品 2 跟都不買。
買產品 1 的話 那個人的 utility 是 θ 減
p1,如果我的 願付價格是 θ,那因爲 q1 是
1 嘛,所以就是 θ 減 p1 是我買 product1 的開心程度。
product2 的話呢,就是 θq2-p2 q2 沒有 1 那麼大,但是想象中
p2 應該也不會比 p1 大 所以我會權衡一下,那你稍微想一想的話可以理解
如果 p1 比 p2 大,那這個時候呢,就是
很 care 品質的人會去買比較高品質但是也貴一點的
product1 因爲它的 θ 比較大,讓 θ 乘以
1 顯得比較大 那如果是 θ 比較小的,比較不 care
品質的那些人,就會去買比較便宜的 product2 這是一個正常的情況。
那麼在那個時候呢,市場就會被分爲三段 就是有人會買
product1,有人會買 product2,有人會都不買
而且是 θ 最大的人去買 product1,就是
比較貴,但是品質比較好的,那麼中等的人就去買 product2 最底下的人就不買。
比如說什麼,比如說好了,今天假設書店賣一套金庸小說
然後呢一模一樣的內容,但是有精裝版跟平裝版,那誰會買精裝版呢,就是比較 care 那個書的品質覺得翻起來就是要很有 feel
的那些人,他就會願意付比較貴一點的價錢去買精裝版 那就是最上面的這群人,就是所謂的買 product 1 的人。
那 product 2 就是買平裝版的嘛,那 product 3
就是根本就不想要看的人,那就是不要 所以大概是這麽一回事,好
那麽知道它會被分成三段是一回事,知道這三段個別有多長 是另一回事,這個得要算一下才行。
所以我們一樣又來了,就想剛剛一樣我們要去找 誰會對買 1 跟買
2 覺得沒差?那個點如果求出來 以上的人就會買
1,以下的人就會買 2,大家可以花一點時間用紙推推會這樣子
而哪一個人對買 2 跟不買沒有差?他以上的人就會買 2,以下的人就會不買
那麽這個既然是 1 跟 2 沒有差,那就是
θ-p1 要等於 θq2-p2
這樣子,然後你運算一下的話,你會發現那個點就是 那個
θ 要等於 (p1-p2)/(1-q2)
那個 θ 就是這一個點,那個人呢覺得買 1 跟買 2
效用是一樣的,所以他以上的人就會去買 1,以下的人就會去買
2,那同樣的道理 這裡有個 q2 p2,這個跟剛剛解出來是一樣的道理,那以上的人覺得買 q2
okay,以下不 okay 所以呢最後就是得到了什麽?得到了這個,就是説
這一段就是買 product 1 的人,就是從 1 到
(p1-p2)/(1-q2) 這一段的人就是商品 1
的需求量,那麽第二段從 (p1-p2)/(1-q2)
到 p2/q2,這一段就是 product 2 的需求量
換言之,大家這樣思索了一番了以後 商家1 跟商家 2 就知道,個別地決定了
p1 跟 p2 了以後,會發生什麽事情 就是他們的需求量會以這兩個函數的形態被決定。
那你再認真看一下的話 比如説商品 1 好了,如果我 p1
上升 買我的人就會變少,但是我對方把 p2 上升
買我的人就會變多,合情合理,其他的大家可以依此類推一下 好,所以零售商
1 就是要 解這個問題,他就去思考說,有兩個市場
市場 1 跟市場 2 會長得一模一樣,那麼在兩個市場上呢
我都會賺到剛剛的那三段的最上面那一段 而需求量是
(p1-p2)/(1-q2) 每一個東西我都賺
p1 這麽多元 而我有兩個市場,所以這乘起來就是我在代銷合約建立了以後
我賺那麽多錢,但是我要付 f 這麽多錢給
這個零售商 2 來作爲這個上架的費用。
好,所以上面這個目標式就是 零售商 1 的profit。
不過這裡有一條限制式,跟大家解釋一下這是什麽 這個東西是 p1q2 要大於等於
p2 爲什麽有這條式子呢?這條式子是說
當它成立的時候,市場就會像我們剛剛說的一樣分成三段,爲什麽? 你想如果這個式子被違反,就是
p1 小於 q2p2,這個時候 你稍微隨意地運算一下的話你就會發現,任何人他如果願意買商品
2 他都會覺得商品 1 更好,這是因爲 p1
太低了 如果精裝書很便宜,然後呢平裝書相對的貴的話,就會所有的人都買精裝書
如果 p1 太低,就不會存在有三段
而衹會存在有兩段,就是你要麽買精裝書,不然就都不買,如果 p1
太低的話 okay,那麽那個時候商品 1 的需求就不是 上面寫的那個樣子了,商品
1 的需求就會直接變成 1-p1 其實是 p1/1-q1,但是
q1 是 1 而你也知道零售商 2 一定不會讓這種事情發生,因爲這樣子零售商
2 是一毛錢都不賺嘛,他還不如降價 多少賺一點。
所以呢這個 目標式如果真的要長得像這個樣子
零售商 1 的利潤真的要這樣子是函數形態的話,一定是在這件事情被滿足的情況下
它才有可能會是個市場均衡,才有可能讓零售商 1 的目標式長那個樣子 好的。
那我們要解這個問題的話 現在是個數學問題了,我們來看一下,首先呢
老樣子,你會試著忽略限制式,你就是 focus on 這個目標式
這個目標式你定睛一瞧發現是 p1 的二次式,而且
向下凹,因爲 p1 的二次項是負的係數
那麽這個時候呢,你就知道所以這個目標式就是一個 concave function,那麽一次微分等於
0 的點自然就是最佳解 那麽呢,這件事情它太 trivial,我們就跳過
直接告訴你,所以 p1 bar,我們定義一個東西叫 p1 bar,它是
(1-q2+p2)/2,它就是我零售商 1
的最佳價格 那麽這個東西稍微看一下好像也挺合理的,如果
p2 變大,就是我的競爭對手把價格提高,那我就更有空間把價格提高嘛
那與此同時,如果對方的 q2 變大,他的商品變好了,那這個競爭變得比較激烈,我的
price 就變得比較低 好,這個好像都可以接受。
不過,回來這個數學問題本身的話
這裡是有限制式的,所以我們想要以這個人當作最佳解,但是
不一定會成立嘛,你知道代進去可能會被違反,所以要是代進去 真的成立的話,那就沒事了。
所以如果代進去真的是 feasible 的,那它就是最佳解
但如果不是的話,那最佳解自然就會變成 p2/q2,所以答案衹有二選一
對零售商 1 來説,它就是看這個量跟這個量
這兩個量誰比較大,如果 (1-q2+p2)/2
比較大的話 那就滿足了這個式子,那麽這個時候它就是最佳解
反之如果沒有的話,那就是它比較小嘛,這個時候你選比較大的那個,就是 p2/q2
那麽這合起來就是 p1 對 p2 的最佳回應。
剛我們說 目標式是一個 concave function,對吧,concave
function 就長得像我們圖上畫的,就是一個向下開的函數,所以我們有一個一次微分等於
0 的點 這個點它基本上 就是我們這裡說的
p bar 1 okay,所以呢 p bar 1 就是這個一次微分等於
0 的點,但現在的問題衹是在於說我們不知道它是 feasible or
not,如果它確實滿足限制式,那這樣它就是最佳解。
那如果它不滿足呢? 你看限制式,限制式是這個樣子嘛,如果不滿足表示 p
bar 1 太小 小到這個地方來,假設這個點是所謂的
p2/q2 而 p bar 1 比它小,那麽呢在你的
feasible region,你的 p1 必須要比它大 在你的 feasible
region 上,哪一個點是最佳解?很顯然地就是這個點最高嘛 當你的一次微分的點,比你的下限來的低的時候
你就是要選擇下限來當作最佳解 所以在這個情況下呢,你就知道,哦,okay,最佳解就是
p2/q2 那它呢是 p bar 1 和這個 fraction
之中比較大的那一個,那反過來說,如果你的下限在這裡 好,那麽這個時候你的
feasible region 有這麽大,這個時候你 p bar
1 是 feasible 的,那它直接就是最佳解,那一樣,你也是取 p
bar 1 跟 p2/q2 之中比較大的那一個 這樣就 okay
了,所以這就是爲什麽 p bar 1 它的最佳解是這個二選一,這樣可以嗎?
好,okay,那我們呢就先繼續 那麽零售商
2 的情況基本上是一樣的,所以這個式子長得非常像,衹是
現在它的目標式是三段之中的第二段,所以是 (p1-p2)/(1-q2)
減 p2/q2,是他的需求量,而每一個他可以賣
p2 這麽多錢,然後乘以 2,然後這個時候呢他會從零售商那裡收到
f 這樣的價格,然後有一樣的限制式來保證市場被分成三段,畢竟如果
被違反了的話,那你零售商 2 就非降價不可,你不會讓市場衹有兩段,這樣就等於你是沒有賺任何的錢
那麽按照同樣的方式分析的話,你一樣會發現 p2
理論上是二選一,你可能有一個這個一次微分等於 0 的點
或者是你 constrained boundary,不過你再看一下的話會發現
這個時候可以肯定一次微分等於 0 的點,一定是比較小的,所以呢在零售商 2
的情況下呢,它的最佳解一定是那個微分等於 0 的點,他不會把它設在這個 boundary
上 仔細一想也很合理,要是你把 p2 真的設在 boundary
上,那就是這條式子等於 0 嘛,等於 0 的時候你就是 剛剛的兩個
cutoff 剛好叠在一起,你一樣是沒有任何 demand,所以它當然不是好事情
好,於是你就有 p1 as a function of p2 和 p2 as
a function of p1 這兩個式子,兩個最佳的回應,或是
best response,把它們叠在一起,自然就可以求出
equilibrium,大家可以練習一下,出來的結果 應該要像這樣,在
mutual referral 的情況下 p1 跟 p2 in equilibrium
就會像我們銀幕上看到的這個樣子 那它們呢就是 q2,就是這個
quality 的函數 就是長得如此這般。
好,以上呢就是正常分析會做的事情,那麽我們待會兒
爲了要增進自己對這些事情的瞭解,我們等一下來寫一個 程式來視覺化它們的互動過程。
那我們先休息一下