[ЗАСТАВКА] Здравствуйте! На прошлой неделе мы познакомились с двумя теоретико-игровыми концепциями. Мы изучили, как решать игры с помощью равновесия в доминирующих стратегиях и с помощью равновесия, получаемого исключением доминируемых стратегий. В этих концепциях основная идея состоит в том, что мы накладываем определенные условия на стратегии, которые выбирают игроки, и на основании этого делаем вывод о том, какие стратегии они сыграют. Немножко другой подход лежит в основе еще одной концепции — равновесия по Нэшу. Мы будем накладывать требования уже не на стратегии, а на профили стратегий. Давайте начнем с примера. Рассмотрим игру, которая называется «Битва полов». Матрица игры представлена на ваших экранах. Давайте попробуем проанализировать эту игру. Сначала попробуем решить ее с помощью равновесия в доминирующих стратегиях. Заметим, отметив наилучшие платежи мужа на каждую из стратегий жены, что доминирующих стратегий у мужа нету. На стратегию жены пойти на футбол наилучший ответ мужа — тоже пойти на футбол. На стратегию жены пойти на балет, наилучшая стратегия мужа — пойти на балет. Таким образом, в ответ на разные стратегии жены мужу также выгодно играть разные стратегии. То же самое верно и для жены. Если муж предпочитает футбол, то жена тоже захочет пойти вместе с ним, а если муж пойдет на балет, то и жена пойдет на балет. Тем не менее некоторые из профилей стратегий в этой игре чуть лучше, чем другие. В каком смысле лучше? Давайте посмотрим на профиль «Футбол–Футбол». Этот профиль обладает двумя замечательными свойствами. Во-первых, муж играет в этом профиле стратегию, которая является оптимальным ответом на стратегию жены. И наоборот, жена играет стратегию, которая является оптимальным ответом на стратегию мужа. Значит, если вдруг откуда-то наших игрокам — мужу и жене — стало известно о намерениях друг друга, то есть если они все знают этот профиль стратегий, то тогда никто из них не захочет пересмотреть свое решение и вместо футбола пойти на балет. То есть профиль «Футбол–Футбол» в каком-то смысле является устойчивым, равновесием. Теперь посмотрим на профиль «Балет–Балет». Он обладает теми же свойствами. Жена играет оптимальную стратегию в ответ на стратегию мужа, и муж играет оптимальную стратегию в ответ на стратегию жены. То есть если вдруг каждому из них стало известно о планах друг друга, то никто из них не захочет пересмотреть свое решение и изменить стратегию. Теперь давайте посмотрим на оставшиеся профили. Предположим, что мужу стало известно, что жена собирается идти на балет, а жене стало известно, что муж собирается идти на футбол. То есть рассматриваем профиль «Футбол–Балет». Что произойдет тогда? Играет ли муж оптимальную стратегию в ответ на стратегию жены? Нет. Если мы знаем, если муж знает, что жена пойдет на балет, то мужу было бы выгодно отклониться, изменить свою стратегию и тоже пойти на балет. Наоборот, жене, зная, что муж собирается пойти на футбол, было бы выгодно вместо своей стратегии «Балет» отклониться и сыграть стратегию «Футбол», тогда бы она получила больший платеж. То же самое касается и другого профиля «Балет–Футбол». В профилях «Футбол–Балет» и «Балет–Футбол» найдутся игроки, которым выгодно отклониться от своей стратегии, изменить ее и тем самым получить больший платеж. Мы можем разделить все профили в этой игре на 2 типа: профили, обладающие тем свойством, что каждый игрок играет оптимально в ответ на стратегию соперника, и другие профили, в которых по крайней мере один из игроков играет неоптимально в ответ на стратегию соперника. К первому типу профилей относятся профили «Футбол–Футбол» и «Балет–Балет», а ко второму типу профилей относятся профили «Футбол–Балет» и «Балет–Футбол». Именно это свойство, а именно свойство профиля, в котором все игроки играют оптимальную стратегию в ответ на стратегию всех остальных, и называется равновесием Нэша. Дадим формальное определение. Профиль называется равновесием Нэша, если для любого игрока и для любой другой его стратегии выполняется следующее неравенство: если игрок i играет свою стратегию из этого профиля, то он получает не меньший платеж, чем если он отклонится, сыграет другую стратегию, при том что все остальные продолжают играть те же самые стратегии из начального профиля. Другими словами, равновесие Нэша — это такой профиль стратегий, что ни одному из игроков не выгодно отклониться и сыграть другую стратегию при фиксированных стратегиях всех остальных. Итак, если задан профиль, и мы хотим проверить, является ли этот профиль равновесием Нэша, мы берем первого игрока, фиксируем стратегии всех остальных, кроме первого, и проверяем, выгодно ли первому отклониться, может ли он тем самым, изменив свою стратегию, улучшить свой платеж? Если может, то мы можем однозначно сказать, что этот профиль не является равновесием Нэша. Если не может, то тогда мы переходим ко второму игроку и проверяем то же самое свойство для него. Берем стратегию второго игрока, фиксируем стратегии всех остальных, кроме второго, и проверяем, может ли второй отклониться и сыграть какую-то другую стратегию и получить в результате этого больший платеж. Может — значит, этот профиль не является равновесием Нэша. Не может — переходим к третьему игроку. И так далее. Если вдруг оказалось, что хотя бы одному из игроков выгодно отклониться — профиль не является равновесием Нэша. А если каждый из игроков играет оптимально в ответ на фиксированную стратегию всех остальных, то тогда этот профиль называется равновесием по Нэшу. Эта концепция «равновесие Нэша» названа так в честь американского математика Джона Нэша. Джон Нэш получил впоследствии Нобелевскую премию «за анализ равновесия в теории некооперативных игр». Чуть позже мы поговорим о некоторых результатах, за которые Джон Нэш и получит впоследствии Нобелевскую премию. Эти результаты стали настолько заметными, что в начале XXI века был снят фильм «Игры разума», в котором описывается пусть и не совсем точно биография Джона Нэша. Фильм впоследствии получит Оскар и всячески рекомендуется к просмотру. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]