Вот.
Вот такая теорема.
Даже считается, что из-за этой теоремы в первые 10 лет после того,
как ее доказали (тоже в районе 1950 года),
стало больше за коммунистов голосовать в Западной Европе.
Потому что раз теорема говорит,
что демократия невозможна и любая непротиворечивая демократия,
удовлетворяющая этим трем аксиомам, является диктатурой, то, соответственно,
какой смысл, так сказать, продолжать эту линию?
Здесь есть очевиднейшая избыточность в этих требованиях.
И избыточность в первую очередь бросается в глаза,
что функционал должен обрабатывать любые начальные данные.
То есть есть какое-то множество альтернатив,
и какие бы порядки упорядочения ни были
у членов парламента, должен быть вынесен какой-то общественный вердикт.
В реальной ситуации бывает так,
что конфликт происходит на каком-то множестве с дополнительной структурой.
Приведу очень простой пример: скажем, поезд.
В этом поезде едут люди, которые решают, насколько широко открыть окно.
И тогда речь идет о линейно упорядоченном множестве:
вообще не открывать окно или открыть окно на полную.
И тогда понятно, что не любые предпочтения могут служить...
могут быть реализованы среди тех,
кто едет в этом поезде и решает соответствующую проблему.
Потому что если человек, например, считает,
что оптимально окно приоткрыть вот на столько, то явно он будет считать,
что любые отклонения от этого положения в одну или в другую сторону,
они тем более нежелательны, чем больше это отклонение, соответственно, то есть.
Эта ситуация называется «однопиковые предпочтения».
[БЕЗ СЛОВ] [БЕЗ
СЛОВ] Однопиковые предпочтения.
То есть каждый человек характеризуется некоторым оптимальным положением
открытости окна.
У разных людей оно разное,
но все люди обладают тем свойством, что чем дальше от
оптимума ситуация отходит, тем хуже для них.
В этой ситуации общественный выбор уже...
функционал общественного выбора на ограниченном множестве начальных данных
уже не обязан удовлетворять этим условиям, соответственно,
теорема Эрроу к нему неприменима.
И здесь есть механизм довольно известный,
который называется «принцип медианного избирателя».
Принцип медианного
избирателя, вполне демократический.
Он заключается в том, что оптимальные положения
открытости окна упорядочиваются и берется среднее из них.
Здесь есть некоторая проблема, если количество принимающих решение людей
нечетно, — извините, если оно четно, — то тогда центра два.
Поэтому в теории медианного избирателя дополнительное предположение
состоит в том, что всего избирателей нечетное число.
То есть это такая ситуация, она на самом деле для поезда с открытым окном,
с открытым окном в поезде — это лишь иллюстрация, а вообще можно,
например, предположить, что принимается решение о подоходном налоге.
Либертарианцы скажут, что он должен быть равен нулю, коммунисты скажут,
что он должен быть равен 100 %, то есть всё собрать и поделить.
А все остальные как-то распределятся — вот их оптимальный подоходный налог,
у каждого человека есть в голове какой-то свой — свое представление о справедливости
в этом месте, что подоходный налог должен быть 15 % там, 25.
У кого как.
Но опять же, понятно, что разумно это моделировать так,
что если вы отклоняетесь от вашего оптимума,
то ситуация ухудшается и ухудшается.
И в этих условиях принцип такой: рассмотрим решение,
которое принимает медианный, медианный участник,
то есть тот, слева от которого и справа от которого одинаковое количество пиков.
И давайте попробуем вот это положение сравнить с любым другим
и устроить голосование по большинству.
Что мы увидим?
Предположим, что мы сравниваем это положение с
более правым каким-то положением.
Кто заведомо голосует за это в пользу...
на выборах против вот этого, если есть две альтернативы, и все голосуют?
Все, кто находится здесь или левее.
Потому что для каждого человека,
у которого пик слева, вот это строго лучше,
чем вот это (в силу свойства однопиковости).
Ну таких больше половины.
Потому что вот это вот медианный, значит, слева от него и справа от него
— одинаковое количество, вместе с ним вот это вот уже строго больше половины народу.
Значит, против любой альтернативы справа эта победит в парном голосовании.
Но понятно также, что любая левая тоже победит в парном голосовании по тем же
самым причинам, потому что если выставить на голосование вот такую пару,
то за центр проголосует сам медианный избиратель и все, кто правее него.
Это тоже больше половины составляет.
А значит, вот эта вот альтернатива
побеждает любую другую при голосовании большинством.
Такая альтернатива называется «победитель по Кондорсе».
Кондорсе — один из исследователей общественного выбора,
исторически стоящий в самом начале этой науки во времена французской революции.
Поэтому в ситуации однопиковых предпочтений всегда существует
победитель по Кондорсе, ну и как бы считается так: если ваша задача
общественного выбора допускает вот такой вот порядок на множестве альтернатив,
то тогда естественным образом решается
ситуация путем выбора медианного и его оптимальной позиции.
И тут уже совершенно неважно, что есть какая-то теорема Эрроу,
потому что если порядок на множестве альтернатив
каким-то естественным образом задан, то конфликт уже сужается.
Множество всевозможных начальных данных (диапазон начальных данных) сужается.
Иногда бывает так, что угадать
соответствующий порядок сразу нельзя,
и в завершение сюжета я приведу
некоторый очень веселый пример такой ситуации.
Рассмотрим три московские футбольные команды: «Спартак»,
«ЦСКА» и «Локомотив»,
и давайте попробуем поисследовать,
какие предпочтения относительно этих команд есть у футбольных фанатов в Москве.
Ну есть фанаты «ЦСКА», как считают фанаты «ЦСКА»?
Фанаты «ЦСКА» считают, что самая плохая команда — это «Спартак».
Значит, для любого фаната «ЦСКА» самая лучшая команда — это «ЦСКА»,
потом «Локомотив», а потом «Спартак».
Поэтому, значит, предпочтение выглядит вот так для них.
Вопрос: как считают фанаты «Спартака»?
Ответ: в точности симметричным образом.
Фанаты «Спартака» считают, что самая худшая команда — это «ЦСКА».
Значит, «Спартак», потом «Локомотив», потом «ЦСКА».
Как считают фанаты «Локомотива»?
Ну по-разному, но центр будет в «Локомотиве».
Некоторые считают, что «Локомотив» самый лучший, потом «Спартак», потом «ЦСКА»,
некоторые — наоборот.
Но это уже не влияет на ситуацию.
Это означает, что существует некоторый естественный порядок,
при котором «Локомотив» должен стоять в центре.
Такой, что все футбольные болельщики Москвы
обладают однопиковыми предпочтениями на множестве из этих трех элементов.
Тем самым, «Локомотив» должен играть какую-то особую роль, и, наверное,
эта особая роль каким-то образом должна транслироваться в результаты.
Что это за особая роль?
Особая роль заключается в том, что в матче со «Спартаком» за «Локомотив»
болеют все локомотивщики, а также все, кто за «ЦСКА».
Если «Локомотив» играет против «ЦСКА», за «Локомотив» болеют локомотивщики,
а также все, кто за «Спартак».
То есть получается, что в любом матче «Локомотива» с любой из других двух
команд (ну мы прочие московские команды, там «Динамо» и какие-то еще,
сейчас сбрасываем со счетов, оставляем только три этих), получается,
что в любом матче «Локомотива» с «ЦСКА» или со «Спартаком» у «Локомотива» будет
как бы больше болельщиков, чем против.
И это должно как-то сказываться на результатах.
Я провел эксперимент: я взял одного студента и попросил
его считать статистику с 1992 года по 2006,
а именно: берется таблица результатов чемпионата России по футболу,
смотрится, какие места занимают «Спартак», «Локомотив» и «ЦСКА» в ней,
а потом вырезаются только результаты матчей друг с другом.
То есть из всех матчей, которые происходили...
Понятно, что для того чтобы понять, какая позиция у «Спартака»,
«ЦСКА» и «Локомотива», важны матчи с другими командами многие,
но вот если мы теперь вырежем такой турнир троих прямо из этих же результатов (там
всё записано: кто, с кем, как играл), получается альтернативная такая,
что вот если бы никаких других матчей не было, результаты были бы такие.
А в условиях всей турнирной таблицы результаты там вот такие.
И если то, что мы здесь пронаблюдали, верно,
то должен быть наблюдаемый снос у команды «Локомотив» как бы вверх вот в этом вот
совместном турнире по сравнению с результатами в общем чемпионате России.
Это блестящим образом подтвердилось.
За 15 лет, которые мы наблюдали, с 1992 по 2006 год не было ни одной ситуации, когда
вот в этом турнире троих «Локомотив» занял бы более низкое место, чем вот здесь.
Было примерно половина ситуаций, когда «Локомотив» здесь занимал такое же место,
как там, и дальше, значит, было, кажется,
пять или шесть ситуаций, когда он поднялся на одну строчку,
то есть, скажем, вот здесь был 3-м, вот здесь стал 2-м.
Здесь был 2-м, здесь стал 1-м.
И один год, когда здесь он был последним, а здесь был 1-м.
Вот такое, значит, совершенно неожиданное подтверждение теории медианного
избирателя произошло, правда, на таком малом количестве данных,
на котором обычно в эконометрике считается,
что это недостаточно данных для того, чтобы делать выводы.
