Вот. Вот такая теорема. Даже считается, что из-за этой теоремы в первые 10 лет после того, как ее доказали (тоже в районе 1950 года), стало больше за коммунистов голосовать в Западной Европе. Потому что раз теорема говорит, что демократия невозможна и любая непротиворечивая демократия, удовлетворяющая этим трем аксиомам, является диктатурой, то, соответственно, какой смысл, так сказать, продолжать эту линию? Здесь есть очевиднейшая избыточность в этих требованиях. И избыточность в первую очередь бросается в глаза, что функционал должен обрабатывать любые начальные данные. То есть есть какое-то множество альтернатив, и какие бы порядки упорядочения ни были у членов парламента, должен быть вынесен какой-то общественный вердикт. В реальной ситуации бывает так, что конфликт происходит на каком-то множестве с дополнительной структурой. Приведу очень простой пример: скажем, поезд. В этом поезде едут люди, которые решают, насколько широко открыть окно. И тогда речь идет о линейно упорядоченном множестве: вообще не открывать окно или открыть окно на полную. И тогда понятно, что не любые предпочтения могут служить... могут быть реализованы среди тех, кто едет в этом поезде и решает соответствующую проблему. Потому что если человек, например, считает, что оптимально окно приоткрыть вот на столько, то явно он будет считать, что любые отклонения от этого положения в одну или в другую сторону, они тем более нежелательны, чем больше это отклонение, соответственно, то есть. Эта ситуация называется «однопиковые предпочтения». [БЕЗ СЛОВ] [БЕЗ СЛОВ] Однопиковые предпочтения. То есть каждый человек характеризуется некоторым оптимальным положением открытости окна. У разных людей оно разное, но все люди обладают тем свойством, что чем дальше от оптимума ситуация отходит, тем хуже для них. В этой ситуации общественный выбор уже... функционал общественного выбора на ограниченном множестве начальных данных уже не обязан удовлетворять этим условиям, соответственно, теорема Эрроу к нему неприменима. И здесь есть механизм довольно известный, который называется «принцип медианного избирателя». Принцип медианного избирателя, вполне демократический. Он заключается в том, что оптимальные положения открытости окна упорядочиваются и берется среднее из них. Здесь есть некоторая проблема, если количество принимающих решение людей нечетно, — извините, если оно четно, — то тогда центра два. Поэтому в теории медианного избирателя дополнительное предположение состоит в том, что всего избирателей нечетное число. То есть это такая ситуация, она на самом деле для поезда с открытым окном, с открытым окном в поезде — это лишь иллюстрация, а вообще можно, например, предположить, что принимается решение о подоходном налоге. Либертарианцы скажут, что он должен быть равен нулю, коммунисты скажут, что он должен быть равен 100 %, то есть всё собрать и поделить. А все остальные как-то распределятся — вот их оптимальный подоходный налог, у каждого человека есть в голове какой-то свой — свое представление о справедливости в этом месте, что подоходный налог должен быть 15 % там, 25. У кого как. Но опять же, понятно, что разумно это моделировать так, что если вы отклоняетесь от вашего оптимума, то ситуация ухудшается и ухудшается. И в этих условиях принцип такой: рассмотрим решение, которое принимает медианный, медианный участник, то есть тот, слева от которого и справа от которого одинаковое количество пиков. И давайте попробуем вот это положение сравнить с любым другим и устроить голосование по большинству. Что мы увидим? Предположим, что мы сравниваем это положение с более правым каким-то положением. Кто заведомо голосует за это в пользу... на выборах против вот этого, если есть две альтернативы, и все голосуют? Все, кто находится здесь или левее. Потому что для каждого человека, у которого пик слева, вот это строго лучше, чем вот это (в силу свойства однопиковости). Ну таких больше половины. Потому что вот это вот медианный, значит, слева от него и справа от него — одинаковое количество, вместе с ним вот это вот уже строго больше половины народу. Значит, против любой альтернативы справа эта победит в парном голосовании. Но понятно также, что любая левая тоже победит в парном голосовании по тем же самым причинам, потому что если выставить на голосование вот такую пару, то за центр проголосует сам медианный избиратель и все, кто правее него. Это тоже больше половины составляет. А значит, вот эта вот альтернатива побеждает любую другую при голосовании большинством. Такая альтернатива называется «победитель по Кондорсе». Кондорсе — один из исследователей общественного выбора, исторически стоящий в самом начале этой науки во времена французской революции. Поэтому в ситуации однопиковых предпочтений всегда существует победитель по Кондорсе, ну и как бы считается так: если ваша задача общественного выбора допускает вот такой вот порядок на множестве альтернатив, то тогда естественным образом решается ситуация путем выбора медианного и его оптимальной позиции. И тут уже совершенно неважно, что есть какая-то теорема Эрроу, потому что если порядок на множестве альтернатив каким-то естественным образом задан, то конфликт уже сужается. Множество всевозможных начальных данных (диапазон начальных данных) сужается. Иногда бывает так, что угадать соответствующий порядок сразу нельзя, и в завершение сюжета я приведу некоторый очень веселый пример такой ситуации. Рассмотрим три московские футбольные команды: «Спартак», «ЦСКА» и «Локомотив», и давайте попробуем поисследовать, какие предпочтения относительно этих команд есть у футбольных фанатов в Москве. Ну есть фанаты «ЦСКА», как считают фанаты «ЦСКА»? Фанаты «ЦСКА» считают, что самая плохая команда — это «Спартак». Значит, для любого фаната «ЦСКА» самая лучшая команда — это «ЦСКА», потом «Локомотив», а потом «Спартак». Поэтому, значит, предпочтение выглядит вот так для них. Вопрос: как считают фанаты «Спартака»? Ответ: в точности симметричным образом. Фанаты «Спартака» считают, что самая худшая команда — это «ЦСКА». Значит, «Спартак», потом «Локомотив», потом «ЦСКА». Как считают фанаты «Локомотива»? Ну по-разному, но центр будет в «Локомотиве». Некоторые считают, что «Локомотив» самый лучший, потом «Спартак», потом «ЦСКА», некоторые — наоборот. Но это уже не влияет на ситуацию. Это означает, что существует некоторый естественный порядок, при котором «Локомотив» должен стоять в центре. Такой, что все футбольные болельщики Москвы обладают однопиковыми предпочтениями на множестве из этих трех элементов. Тем самым, «Локомотив» должен играть какую-то особую роль, и, наверное, эта особая роль каким-то образом должна транслироваться в результаты. Что это за особая роль? Особая роль заключается в том, что в матче со «Спартаком» за «Локомотив» болеют все локомотивщики, а также все, кто за «ЦСКА». Если «Локомотив» играет против «ЦСКА», за «Локомотив» болеют локомотивщики, а также все, кто за «Спартак». То есть получается, что в любом матче «Локомотива» с любой из других двух команд (ну мы прочие московские команды, там «Динамо» и какие-то еще, сейчас сбрасываем со счетов, оставляем только три этих), получается, что в любом матче «Локомотива» с «ЦСКА» или со «Спартаком» у «Локомотива» будет как бы больше болельщиков, чем против. И это должно как-то сказываться на результатах. Я провел эксперимент: я взял одного студента и попросил его считать статистику с 1992 года по 2006, а именно: берется таблица результатов чемпионата России по футболу, смотрится, какие места занимают «Спартак», «Локомотив» и «ЦСКА» в ней, а потом вырезаются только результаты матчей друг с другом. То есть из всех матчей, которые происходили... Понятно, что для того чтобы понять, какая позиция у «Спартака», «ЦСКА» и «Локомотива», важны матчи с другими командами многие, но вот если мы теперь вырежем такой турнир троих прямо из этих же результатов (там всё записано: кто, с кем, как играл), получается альтернативная такая, что вот если бы никаких других матчей не было, результаты были бы такие. А в условиях всей турнирной таблицы результаты там вот такие. И если то, что мы здесь пронаблюдали, верно, то должен быть наблюдаемый снос у команды «Локомотив» как бы вверх вот в этом вот совместном турнире по сравнению с результатами в общем чемпионате России. Это блестящим образом подтвердилось. За 15 лет, которые мы наблюдали, с 1992 по 2006 год не было ни одной ситуации, когда вот в этом турнире троих «Локомотив» занял бы более низкое место, чем вот здесь. Было примерно половина ситуаций, когда «Локомотив» здесь занимал такое же место, как там, и дальше, значит, было, кажется, пять или шесть ситуаций, когда он поднялся на одну строчку, то есть, скажем, вот здесь был 3-м, вот здесь стал 2-м. Здесь был 2-м, здесь стал 1-м. И один год, когда здесь он был последним, а здесь был 1-м. Вот такое, значит, совершенно неожиданное подтверждение теории медианного избирателя произошло, правда, на таком малом количестве данных, на котором обычно в эконометрике считается, что это недостаточно данных для того, чтобы делать выводы.
