Hola, ¿qué tal? En este video, voy a revisar las ecuaciones que me permiten hacer la rotación de un punto en el plano cartesiano a otro punto. La rotación que voy a considerar se conoce como una rotación rígida, porque la magnitud que tengo sobre el vector en el plano cartesiano se mantiene. Pensemos qué es lo que queremos. El vector que apunta el punto "r" minúscula, lo quiero transformar al punto "R" mayúscula, entonces, la restricción que pongo sobre esta rotación es que sea rígida, que la magnitud del origen a "r" minúscula y del origen a "R" mayúscula sea idéntica, como si yo lo estuviera moviendo sobre una circunferencia. ¿Cuánto voy a hacer la rotación? Va a estar determinado por un ángulo, que le voy a llamar el ángulo theta. Entonces, lo que deseo, es hacer un procedimiento para llevar el punto de "r" minúscula a "R" mayúscula. Es un procedimiento realmente sencillo y lo vas a poder dominar. Lo que voy a hacer primero es considerar las componentes de cada vector, el vector "r" pequeño va a tener por coordenadas en "x", que es del origen a este punto, "r" coseno de beta, donde beta es el ángulo que está formando el vector "r" minúscula con respecto de la horizontal. Entonces, para su componente de "x", voy a tener su magnitud, "r", coseno de beta, y su componente en "y", que va del origen a este punto, va a ser "r", su magnitud, seno de theta, y voy a hacer el mismo procedimiento para el vector "R" mayúscula. El vector "R" mayúscula va a tener por coordenadas en el eje "x", "R" coseno de alfa, donde alfa es el ángulo que voy a formar del eje "x" a donde está el vector "R" mayúscula y, entonces, su componente en "x" va a ser "R" coseno de alfa y su componente en "y" va a ser "R" seno de alfa. Con esta información, ya puedo obtener las ecuaciones que me permiten hacer la transformación de "r" minúscula a "R" mayúscula. El punto de partida va a ser la expresión que tengo para la componente "x" del vector "r" minúscula, y su componente en "y". Debo de reconocer que el ángulo beta es la suma de dos ángulos, el ángulo alfa más el ángulo theta. Entonces, beta está compuesta por alfa más theta. Al hacer esa distinción, pues entonces lo que tengo es que este coseno de beta en realidad es el coseno de alfa más theta, y seno de beta es seno de alfa más theta. Si recurrimos a la identidad trigonométrica para el coseno de una suma de ángulos, lo que tengo es esta expresión, coseno de alfa, coseno de beta, menos seno de alfa, seno de theta, y para el seno de la suma de dos ángulos, es seno por coseno, más coseno por seno. Otra cosa de la que puedo darme cuenta rápidamente es que la magnitud del vector "r" minúscula es idéntica a la magnitud de "R" mayúscula. Así, en esta ecuación, simplemente lo que voy a hacer es sustituir en lugar de la magnitud de "r" minúscula, pongo la magnitud de "R" mayúscula, y luego, lo que me doy cuenta es que la magnitud de "R" mayúscula por el coseno de alfa es precisamente la coordenada en "x" de "R" mayúscula, ésta sería su coordenada en "y", y lo mismo puedo hacer para identificar en la siguiente expresión. Entonces, en esta expresión, si me dan cuál es la "x" y la "y" resultante, y el ángulo en que se da la rotación, puedo saber de dónde partí. Dense cuenta que lo que tenemos son dos ecuaciones, una para "x" y otra para "y" minúscula, en términos de "X" y "Y" mayúsculas. Lo que puedo hacer es ponerlo de otra forma, poner la "X" y la "Y" mayúscula en términos de la "x" y la "y" minúscula. Entonces, esta expresión, lo que me permite es saber cuál va a ser la "X" mayúscula y "Y" mayúscula que yo voy a obtener si parto de la "x" minúscula, "y" minúscula, y el ángulo que quiero hacer, la rotación. En la primera expresión que tuvimos es lo contrario. Si yo sé cuál es el vector resultante, "X" y "Y" mayúscula, y cuál fue el ángulo de rotación, puedo saber cuál es el vector de donde partí. Espero que con esta breve explicación, haya quedado clara la transformación de rotación de un punto en el plano cartesiano a otro punto, manteniendo la magnitud del vector inicial constante. Hasta luego.