Hola, ¿qué tal? En este video voy a hacer una aplicación de la rotación en el plano cartesiano para poder identificar curvas que podemos reconocer fácilmente. Recordemos que si tenemos una ecuación de segundo grado en dos variables, los ceros de esa función me pueden representar, una circunferencia, una elipse, una hipérbola o una parábola; depende de los coeficientes que tenga esta ecuación. En el análisis que hemos hecho hasta ahora, y que tenemos varios videos, el término cruzado "XY" no aparece de manera explícita, y entonces es muy fácil poder reconocer dependiendo del valor de A y de B, qué tipo de curva es la que tenemos. En esta ocasión, vamos a poder identificar a una curva aún con el término cruzado. Para eso, lo que vamos a hacer es recurrir a la rotación. La ecuación dos y tres, recuérdenla, ya la obtuvimos en otro video, por favor recurran a él si tienen dudas de cómo se encontraron estas ecuaciones. Muy bien, entonces lo que vamos a hacer es sustituir la ecuación dos y tres en la ecuación uno, para saber qué condiciones se deben cumplir cuando el término "XY" se elimine. Muy bien, entonces si hacemos eso, recuerden, estamos haciendo la sustitución de la ecuación dos y tres en uno. Entonces por ejemplo, aquí yo lo que tendría sería esta expresión elevado al cuadrado, esta expresión elevado al cuadrado, y entonces, cada uno de los términos voy a sustituir "X" o "Y". Al hacer eso, si agrupo en potencias de las variables mayúsculas; "X" al cuadrado mayúscula, "Y" al cuadrado mayúscula, "X" por "Y" mayúsculas y "X" mayúscula, pues tendría una ecuación de este tipo. Esta ecuación, la ecuación cuatro, es muy importante, y es la ecuación de trabajo que vamos a utilizar cuando queramos identificar las curvas que se tienen si nos dan una ecuación del tipo uno. Entonces, recuerden que para poder identificar rápidamente una curva, el término cruzado "X" por "Y" debe cancelarse. Significa que lo que tenemos aquí adentro en el paréntesis tiene que ser cero. Muy bien, entonces quiero saber cuál es el valor del ángulo para el cual esta expresión es igual a cero, ese es el objetivo; ¿cuál es el ángulo que me permite que este término sea cero?, Y por lo tanto, el término que multiplica a "XY" sea cero. Muy bien, pues entonces fíjense que voy a manipular un poco esta ecuación. Realmente es muy sencillo, es un álgebra que pueden seguir sin ningún problema. Lo que voy a hacer primero es dividir todo entre seno de teta, coseno de teta, y la ecuación después la dividiría entre "C". Al hacer eso, obtendría esta ecuación. Recuerden que "A", "B" y "C" provienen de la ecuación uno. Entonces, yo voy a definir ahora una nueva variable, la variable "r", que va a ser dos por B menos A sobre C, y la sustituyo aquí. Fíjense que en el segundo término, lo que tengo es coseno cuadrado entre coseno, me queda coseno entre seno; y seno cuadrado entre seno, me quedaría seno sobre coseno. Fíjense que aquí tengo seno entre coseno, que es la tangente del ángulo, y coseno entre seno, pues es uno entre la tangente de esa cantidad. Así, tengo esta ecuación. Recuerden que "r" en principio sí lo conozco porque conozco los parámetros "B", "C" y "A". Si hago esta fracción que aparece aquí, y multiplico todo por la tangente, me quedaría una ecuación de este tipo; la cual yo puedo reordenar, y tendría entonces la ecuación doce. Si yo defino a la variable "z" como la tangente de teta, entonces tendría yo, "z" cuadrada menos "rz" menos uno. Recuerden que en "z" aparece la variable, el ángulo, que es el que yo estoy buscando. La ecuación trece yo la puedo resolver con la fórmula general para una ecuación cuadrática, entonces el valor de "z" lo obtendría de esta expresión. "R" sí lo conocemos. Si yo obtengo el valor de "z", entonces, para obtener mi valor del ángulo, que es el que estoy buscando, es simplemente aplicar la inversa de la tangente para obtener el ángulo teta. Ya está. Entonces, lo que debemos hacer es trabajar con la ecuación cuatro, resolver el valor de "z" y con el de teta y sustituir en la ecuación cuatro. En principio, lo estamos haciendo de tal manera que este término "XY" no aparezca, y lo que tendremos que buscar es qué valores obtenemos para los coeficientes de "X" cuadrada, "Y" cuadrada, "XY". Muy bien, hagamos un ejemplo. Lo que solicitan en este problema es encontrar todos los elementos geométricos de esta ecuación. Bueno, pues dense cuenta de que podríamos identificar rápidamente a qué curva pertenece esta ecuación si no tuviéramos el término "XY". Entonces, lo que vamos a hacer es primero escribirlo de esta forma. Primero, el término X al cuadrado, Y al cuadrado, el término cruzado, y así nos la vamos llevando. ¿Por qué lo escribo así? Porque entonces ya puedo identificar el coeficiente que multiplica la "X" cuadrada, la "Y" cuadrada, "XY", y así. Entonces, nuevamente, lo que hicimos fue sustituir las expresiones que me da la rotación de mi sistema para que se cancele el término cruzado "XY", y entonces, pues lo que debo hacer ahora es encontrar el valor de "r". Recuerden que la variable "r" se definió como dos "B" menos "A" entre "C", ya sé cuánto vale "B", que vale tres; "A" vale uno; "C" vale dos raíz de tres; "D", dieciseis raíz de tres; "E", menos dieciseis, y "F" es igual a cero. Al hacer la sustitución, resulta que la variable "r" vale dos entre raíz de tres, y ésta "r" es la que ponemos en la fórmula general para la cuadrática, y éste sería el valor de "z". En realidad, tenemos dos valores de "z". La primer raíz, "Z1", va a ser raíz de tres, y "Z2" va a ser menos uno entre raíz de tres. Si yo aplico el arcotangente a raíz de tres y menos uno entre raíz de tres, pues resulta que el ángulo de rotación que estoy buscando es pi tercios, o sea, sesenta grados o menos pi sextos, menos treinta grados. Cualquiera de estos dos ángulos me lleva a que el término "XY" no aparezca en la expresión final. Muy bien, entonces si yo tengo el valor del ángulo teta, que es pi sobre tres, lo sustituyo en la ecuación cuatro, ¿Se acuerdan de la ecuación cuatro? Esta es la ecuación cuatro. Entonces ya conozco "A", "B", "C" y el ángulo lo sustituyo aquí, y lo que obtenemos es esto. Por supuesto que el término "XY" desaparece. Así construimos esta ecuación. Y también nos damos cuenta de que, por ejemplo, el coeficiente que multiplica la "Y" cuadrada, si hacemos las cuentas, esto es cero, este término es cero, hemos utilizado, por supuesto, la relación de que el coseno de sesenta grados es un medio y el seno de sesenta grados es raíz de tres sobre dos. Y entonces, cuando hago sustituciones lo que encuentro es que el término que multiplica "X" cuadrado es un cuatro. Y el término que multiplica a "Y" es menos treinta y dos. Bueno, también lo puedo poner de esta manera. Y lo que lo que encuentro es que lo que tenemos es una parábola vertical, que abre hacia arriba y que tiene por foco las coordenadas cero coma dos. Ahí esta expresión ha sido rotada sesenta grados, y es, precisamente, la ecuación con la que comenzamos. Esa ecuación, lo que nos representa es una parábola que tenía por coordenadas en el foco cero coma dos y que fue rotada en sesenta grados. Espero que este video sea de su ayuda. Hasta luego.