Топология. Топология в полный рост — можно было бы еще так назвать. Топология, в принципе, уже началась, но сейчас она будет в полный рост. Вот смотрите: я рисую треугольник, и квадрат, и еще окружность, даже я, кажется, уже рисовал. Вот взгляд тополога их не различает. Потому что можно устроить взаимно однозначное отображение: просто взять внутри каждого из них какую-нибудь точку, причем совершенно не важно, центр или не центр — центр отвлекает от важной сути, что тут совершенно не имеет никакого значения. И просто как бы взять отсюда каждую точку, посмотреть на наклон соответствующего луча, найти здесь луч с этим наклоном и указать точку пересечения с квадратом или с окружностью — все одно. То есть, с точки зрения тополога, все такие вот заузленные фигуры одинаковы. Однако не все вообще фигуры, то есть все вот такие вот — как бы это все окружность, с точки зрения тополога. Так же, как, скажем, с точки зрения тополога, тетраэдр — совершенно неотличим от куба — это одно и то же, для тополога это просто одна и та же фигура и все. И от сфера неотличимы оба. Тот же самый метод — это из центра начать проектировать просто и все, у нас как бы... Вот что нужно мне, сейчас нужно сформулировать все-таки, чтобы дальше продолжать в таком духе, нужно что-то сформулировать. Давайте сформулируем, значит, определение. Пусть x и y — подмножества каких-то там R в степени k. Можно, вообще, в принципе, топологию изучать в школе. Но для этого R в степени k нужно брать в плоскости и пространство, чтобы детки не мучались многомерностью. Вот. Так, видите, я рассматриваю просто какие-то подмножества многомерных пространств — в многомерном пространстве есть расстояния, мы его уже вводили. То есть я не перегружаю — вообще, топология очень сложная наука, в ней рассматриваются совершенно абстрактные сущности. И я сейчас хочу от абстрактного абстрагироваться, я хочу убрать абстрактное, я хочу оставить совершенно конкретные вещи. Вот это просто подмножество многомерных пространств, кому тяжело — просто рассмотрите какие-то фигуры на плоскости или какие-то тела в пространстве обычном. Так вот, пусть есть два подмножества: отображения f из x в y называется гомеоморфизмом, называется гомео морфизмом, если, значит, выполнено три условия. Пункт a: f биекция, то есть является как бы преобразованием x в y, то есть взаимооднозначным, однозначное отображение. Каждой точке из x соответствует, значит, какая-то в y, любая точка y откуда-то приходит из x. И разные из x приходят в разные из y. Ну и два других условия, давайте я их 2, 3 сразу напишу: f и f в −1-й. Понятно, что раз f — биекция, могу обратное построить. Просто взять каждую точку из y и найти ту единственную из x, которая в нее переходила. Так вот, вот эти оба — непрерывны. Непрерывны в самом, вот в самом брутальном смысле: для любого f все равно существует Δ, позвольте мне не повторять этот матанализ. То есть это обычная, обычная, значит, непрерывность для отображения каких-то подмножеств многомерных пространств — просто, значит, близкие точки переходят в близкие. Ну вот гомеоморфизм — это взаимно однозначные отображения непрерывны в обе стороны. И вот вам, пожалуйста, пример некоторый, который показывает, что мало, например, требовать, чтобы отображение было непрерывным и взаимно однозначным. Вот я беру полуинтервал и беру окружность. f наматывает полуинтервал на окружность, вот берет и наматывает. Взаимнооднозначная — кто скажет, что нет, пусть бросит в меня камень. Непрерывная — несомненно. Для любой точки окружности, для любой точки окружности можно указать такую границу здесь, которая перешла в — для любой точки окружности, для любой ее окрестности можно указать окрестность прообраза, которая сюда перешла. Давайте посмотрим, давайте вот это аккуратно проверим, потому что это важно. Вот у меня здесь произошла некоторая склейка. Я утверждаю, что для любой точки окружности — вот давайте посмотрим, какие у нас точки окружности особенные. На самом деле, только одна особенная точка — вот, собственно говоря, вот эта точка, в которой произошла склейка. Я утверждаю, что для любой ее окрестности существует окрестность здесь, которая переходит внутрь нее. Несомненно, посмотрите, если я взял вот здесь на отрезке окрестность — это просто вот такой вот как бы, это односторонняя — в ту сторону отрезка ничего нет. ε-окрестность вот этой точки — это просто вот такой вот маленький полуинтервальчик. Он перешел, конечно, внутрь окрестности этой точки на окружности, заняв только половину как бы вот правую. Слева он не попал, но это совершенно не важно — мы же требуем, чтобы он должен был поместиться внутрь целиком. Поэтому f — конечно, непрерывная, про остальные точки это очевидно. А вот f в −1-й является разрывной. Почему? Потому что, наоборот, неверно. Я беру вот эту точку, ее прообраз — это вот эта точки склейки. Неверно, что для любой окрестности вот этой точки в полуинтервале существует окрестность здесь, переходящая в нее. Потому что при обратном преобразовании любая окрестность отсюда разрывается на два куска. И вот этот правый кусок — он существует, он не пустой, и он не находится внутри вот этой окрестности. Вот, друзья мои, если кто-то до сих пор считал, что он понимает, что такое непрерывность, но эту картину не понимает, значит он ничего не понимал. Потому что это то, что самое базовое из определения понятия непрерывности. Вот вы это поймете, и вы уже почувствуете вкус понятия непрерывности. Это не гомеоморфизм, потому что это хоть и взаимно однозначное непрерывное отображение, но обратное к нему является разрывным, что очевидно и наглядно на лицо, когда вы эту изучите картину. И, вообще, есть некоторые инварианты для непрерывных взаимнооднозначных отображений, например связность, то есть состоит из скольких-то кусков. Но я не хочу здесь эту тему очень глубоко продвигать, потому что тогда бы я просто должен был заниматься здесь с вами топологией. Я, на самом деле, знакомлю всех слушаетелей с топологией с точки зрения Эрлангенской программы, то есть с точки зрения, вот можно ли различить как-то гомеоморфизм, посмотреть. В общем, я могу привести конкретно вот пример: вот у нас есть отрезок, и вот у нас есть окружность, вот отрезок и окружность или даже тот же полуинтервал, который уже был. Полуинтервал и окружность негомеоморфны, то есть не только вот это отображение не является гомеоморфизмом, но его не существует. Вот я утверждаю, что не существует никакого гомеоморфизма между отрезком и окружностью. А как это доказать? Давайте исходить из некоторого интуитивного факта, что связность сохраняется, понятие связности, количество кусков. Вы не можете с помощью гомеоморфизма изменить количество кусков. Если из трех кусков множество состояло, то при гомеоморфизме это останется верным. Это надо доказывать, смотрите, это надо как бы понятие связности надо определять, понятие куска надо определять, но после этого это будет верно. А теперь как я хитрым образом применяю это? Предположим, что есть гомеоморфизм. Вы мне скажете: ну и что? Здесь один кусок и здесь. Да, скажу я, но теперь я беру и выбрасываю одну точку из окружности. Если я выбросил из окружности точку и выбросил точку, которая ей соответствовала при этом гомеоморфизме, то остался тоже гомеоморфизм. Это упражнение, что при таком преобразовании если я выкину, то есть на любом подмножестве объекта тоже должен быть гомеоморфизм. Прекрасно, значит, есть гомеоморфизм между двумя вот такими вот несвязными кусками нашего отрезка или интервала и одним связным куском, которым осталась окружность. Противоречие, все. То есть не может быть гомеоморфизма между окружностью и отрезком, потому что если я выброшу точку, то здесь два куска, а здесь — один, а это уже противоречит тому, что вот оставшиеся два множества тоже должны быть гомеоморфны. Из окружности выбрасывается точка без нарушения связности, из отрезка не выбрасывается. Здесь, конечно, вы мне скажете: а вдруг это была граница, вот самая граница отрезка? Хорошо, да. Согласен с этим возражением, давайте поэтому, чтобы совсем уже было наглядно, оставим здесь интервал. Если у нас интервал, тогда уж точно. То есть моя цель — показать, что существует негомеоморфные, значит, пространства, даже вот визуально одного и того же числа измерений. Вот кривые, две кривые линии, но они негомеоморфны друг к другу. Окружность и интервал — негомеоморфны, это две разные кривые линии. Это даже прямая линия, но это как раз не важно. Вот, значит, вопрос такой: если я выхожу в большую, большее число измерений — вот я какие-то рисую тут трехмерные объекты, четырехмерные и так далее, — могу ли я как-то различать их? То есть говорить, что вот какие-то должны быть гомеоморфны друг к другу, какие-то не должны быть гомеоморфные. И, кстати, гипотеза Пуанкаре, ставшая теоремой Перельмана, она как раз об этом — там выписываются некоторые свойства трехмерного какого-то такого вот куска, живущего где-то. И говорится, что в этом случае, вот если эти свойства выполнены, он на самом деле гомеоморфен обычной трехмерной сфере. Но вот мне хочется выйти в новую размерность — вот здесь я как бы справлялся с помощью числа кусков, ну и вообще все было наглядно. Я хочу уметь как-то вслепую говорить, что какой-то страшный конечномерный объект здесь и какой-то не менее страшный конечномерный объект вот где-то еще негомеоморфны, даже если, может быть, как бы, очевидно, визуальная размерность у них будет одинаковая, то есть вот, грубо говоря, внутренняя размерность, что поверхность, например, в Rk и тут поверхность в Rl. Вот эти две поверхности негомеофорны. Размерность — это инвариант, это тоже отдельный разговор, что при гомеоморфизме не может меняться размерность, при правильном понимании размерности — именно таком, как визуально вы воспринимаете, не может, то есть поверхность не может быть гомеоморфна какому-то телу. Но это тоже довольно сложная наука, так условно сложная. Но вот мне хочется какую-то разработать теорию, которая мне позволит устанавливать, что некоторые множества негомеоморфны друг другу. И теорией этой будет служить теория о гомотопических группах. И к вот этой интереснейшей области науки, которая приглашает высшую топологию, мы теперь и переходим.
