Como hemos visto en el vídeo anterior, la tasa de variación de una función en un punto expresa el cambio instantáneo de la función en ese punto, que coincide con la pendiente de la recta tangente de la función en ese punto. En este vídeo, daremos una definición formal de derivada y aprenderemos a calcularla a partir de esta definición. Veremos también, que hay funciones para las que podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio, y funciones para las que no existe la derivada en algunos puntos de su dominio. Esta diferencia nos permitirá profundizar en el estudio del comportamiento de las funciones. Vamos a empezar, por introducir el concepto de derivada de una función en un punto. En este primer ejercicio tenemos una recta, f de x igual a 2x menos 2, y queremos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x igual a 2. Este punto, que está dibujado en el, en la gráfica, corresponde a las coordenadas 2, 2. Puesto que se trata de una línea recta, la pendiente en todos sus puntos será m igual a 2. En el caso de las líneas rectas, la derivada coincide con la pendiente en cada punto. Por tanto, la pendiente de la recta tangente a f en el punto a, f de a se llama derivada y se denota por f prima de a. La definición formal de derivada, tal como hemos visto en el vídeo anterior, es la que tenemos en esta fórmula, es decir, la derivada en el punto a es el límite cuando h tiende a 0 de f de a más h, menos f de a, partido por h. En el caso de, el que nos ocupa de esta función en el punto de abscisa x igual a 2, diríamos que f prima, de 2 es igual a 2, puesto que la pendiente, es 2. Veamos cómo podemos calcular la derivada de una función en un punto a partir de su definición. Para ello tomamos la recta horizontal, f de x igual a 2, y tomamos los puntos de abscisa x igual a 1, y un punto cualquiera del dominio x igual a a. Para calcular la derivada de esta función en el punto 1 a partir de la definición, deberemos calcular el límite, cuando h tiende a 0, del cociente f de 1 más h, menos f de 1, partido por h. Puesto que se trata de una función constante, esto será igual al límite, cuando h tiende a 0, de f de 1 más h que es la f, la, el valor constante 2, menos 2, partido por h. Puesto que 2 menos 2 es igual a 0, esto sería el límite, cuando h tiende a 0, de 0, y puesto que no depende de h, este límite es 0. Es decir, la derivada del punto 1, tiene el valor 0 que coincide con la pendiente de la recta. Si tomamos un punto genérico, de abscisa, x igual a a, y repetimos el mismo proceso, la definición nos dice que la derivada en un punto a cualquiera del dominio, sería f de a más h, menos f de a, partido por h. Y puesto que se trata de una función constante, sería el límite cuando h tiende a 0, de 2 menos 2 partido de, por h, que vuelve a ser 0. Por tanto, podemos decir que esta función, en cualquier punto de su dominio tiene derivada igual a 0, para cualquier valor, real. Veamos otro ejemplo. En este caso se trata de la función f de x igual a x, por tanto no es constante, y también tomamos dos puntos de abscisa: x igual a menos 2, y x igual a a. Si calculamos a partir de la definición, la derivada en el punto de abscisa x igual a menos 2 será igual, al límite cuando h tiende a 0 del cociente f de menos 2 más h, menos f de menos 2 partido por h. Puesto que la función que estamos tratando es la función de identidad, f de menos 2 más h será menos 2, más h, y f de menos 2 será menos 2, con el cambio de signo será más 2, partido por h. Siguiendo con el cociente, será el límite, cuando h tiende a 0, de h partido por h, es decir, el límite cuando h tiende a 0, de 1, que es igual, a 1. Por tanto, podemos decir que la derivada de esta función en el punto menos 2, es igual a 1, que coincide con la pendiente de la recta. Si tomamos un punto genérico de abscisa x igual a a, y repetimos el mismo proceso, es fácil darse cuenta que el resultado, en este caso va a ser el mismo, es decir, va a ser igual a 1. Por tanto, en este caso, podemos decir que la derivada en cualquier punto del dominio de esta función es 1 para cualquier número real, puesto que el dominio es el conjunto de todos los números reales. Además, coincide con la pendiente de la recta. Finalmente, vamos a calcular la derivada de la función f de x igual a valor absoluto de x, en los puntos de abscisa x igual a menos 1, x igual a 2, y x igual a 0. Si nos fijamos en el punto x igual a menos 1, que en el gráfico corresponde a este punto de aquí, podemos comprobar que la pendiente de esta recta es, menos 1. Por tanto, podemos concluir que la derivada en el punto menos 1, que es igual a la pendiente de esta recta, será exactamente, menos 1. Por el mismo motivo, si tomamos el punto de abscisa x igual a 2 y nos fijamos en esta pen, la pendiente de esta recta, podemos concluir fácilmente que la derivada en el punto 2 es igual a 1. ¿Qué ocurre en el punto 0? El punto 0, podemos fijarnos según el dibujo que, podemos calcular la tangente en este punto, o bien por la derecha o bien por la izquierda. Formalmente, lo podríamos hacer de la siguiente manera. Vamos a calcular primero de todo la derivada en el punto 0. Esto sería el límite cuando h tiende a 0, de f de 0 más h, menos f de 0, partido por h, que sustituyendo por el valor de la función sería el límite cuando h tiende a 0 de valor absoluto de h, partido por h. A la hora de calcular este límite, tenemos dos posibilidades. Supongamos que la h es mayor que 0. En este caso, deberemos calcular el límite cuando h tiende a 0 de h partido por h, igual a 1. Otro caso sería cuando la h es menor que 0. En este caso, tendríamos el límite cuando h tiende a 0, de menos h partido por h, que es igual a menos 1. ¿Qué significa esto? Que dependiendo del valor de h que tomemos, puede ser que el límite valga 1, o puede ser que el límite valga menos 1. En este caso se dice, que no existe límite, y por tanto, no existe, no existe, la derivada en el punto 0. Por tanto, podemos ver que hay funciones en las cuales hay puntos de su dominio en los cuales no existe la derivada. Resumiendo, la pendiente de la recta tangente a f en el punto a coma f de a se llama derivada y se denota por f prima de a. Esta derivada se puede calcular mediante el límite de un cociente. Hay funciones que tienen derivada en todos los valores de su dominio, en todos los valores de su dominio, por ejemplo, la función f de x igual a 2 o la función f de x igual a x. Y hay funciones que no tienen derivada en algunos valores de su dominio. Por ejemplo, ha sido el caso de la función f de x igual a valor absoluto de x, en el punto de abscisa x igual a 0. Con esto concluimos el segundo vídeo de esta semana.
