Esta semana la vamos a dedicar a las funciones trigonométricas. O sea, aquellas relacionadas con cálculos trigonométricos. En las semanas anteriores, hemos empezado recordando los conceptos básicos de las funciones reales de variable real. Las semanas dos y tres nos hemos centrado en diferentes tipos de funciones. En la semana dos, en las funciones polinominales, que incluyen las funciones lineales y cuadráticas. En la semana tres, en las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta cuarta semana nos dedicaremos al estudio de las funciones trigonométricas. O sea, aquellas que tienen un comportamiento oscilatorio o periódico. Se utilizan, en general, donde se requiera el estudio de fenómenos periódicos: propagación de ondas electromagnéticas, luminosas, microondas, rayos-x, ondas sonoras, etc. Estas funciones tienen multitud de aplicaciones en diversos campos, como por ejemplo: astronomía, topografía, navegación, arquitectura, óptica, mecánica, entre otros muchos campos. Para empezar, recordemos que la trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. En un triángulo cualquiera, siempre tenemos tres ángulos y tres lados. Si uno de los ángulos del triángulo es de 90 grados, como este de aquí, decimos que el triángulo es rectángulo. A partir de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, se definirán lo que conocemos como las funciones trigonométricas. Una propiedad básica que se cumple en cualquier triángulo es que la suma de sus tres ángulos es siempre de 180°. Por ejemplo, en este triángulo: 50 más 100 más 30 son 180 grados. O en este otro, 30 más 60 más el ángulo de 90 grados, también es 180. Por lo tanto, en un triángulo, si conocemos dos de sus ángulos, siempre podremos obtener el tercero. Otras propiedades básicas se obtienen a partir de las relaciones entre los lados de un triángulo. Estas relaciones se mantienen constante si consideramos triángulos semejantes. Recordemos que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales. Esto es equivalente a decir que tienen sus lados paralelos. O bien, que tienen que tienen sus tres lados proporcionales. Por ejemplo, en estos dos triángulos tenemos que los ángulos son exactamente iguales. Además, si este es el lado b, este es el lado a, este es el lado b prima y a prima, se mantiene la proporción: b dividido por b prima es igual a la a dividido por a prima. Podemos reescribir esta igualdad y tenemos que a prima dividido por b prima es igual a a dividido por b. Por lo tanto, también la relación entre estos dos lados se mantiene si los triángulos son semejantes. Si, por ejemplo, tenemos un triángulo rectángulo, ese triángulo de color rojo es semejante a este otro triángulo de color verde, que es semejante a este otro triángulo de color azul. Si tenemos estos tres triángulos y denotamos por x e y el cateto contiguo y el cateto opuesto respecto al ángulo alfa para el triángulo de color rojo. Y x prima y prima para el triángulo de color verde. Y x prima prima y y prima prima para el triángulo de color azul. Tenemos que las proporciones x dividido por y, x prima dividido por y prima y x prima prima dividido por y prima prima se mantienen constante. Esta proporción será la que, a partir de ahora, llamaremos tangente de alfa. Así tenemos que, para un ángulo fijado alfa, las proporciones entre los lados del triángulo rectángulo se mantienen. Por lo tanto, podemos definir las siguientes razones trigonométricas para un ángulo agudo: El seno de alfa es el cateto opuesto dividido por la hipotenusa. El coseno de alfa se define como cateto contiguo dividido por hipotenusa. La tangente de alfa se define como cateto opuesto dividido por cateto contiguo. Para simplificar la notación, al cateto contiguo lo denotaremos por x. Al cateto opuesto por y; y a la hipotenusa por z. Además, podemos definir las razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente como la proporción inversa del seno, coseno y tangente respectivamente. Por ejemplo, el seno es y dividido por z. Por lo tanto la cosecante es z dividido por y. A partir de las definiciones de seno, coseno y tangente veremos que se cumplen las siguientes dos propiedades básicas. La primera nos dice que el seno dividido por el coseno es igual a la tangente. Veamos que efectivamente es así. El seno de alfa es igual a y dividido por z. El coseno de alfa es x dividido por z. Por lo tanto, realizamos las operaciones, simplificamos y obtenemos y; dividido por x, o sea, la tangente de alfa. Y tenemos que la primera propiedad se cumple. Para ver que se cumple la segunda propiedad, recordemos el teorema de Pitágoras. este nos dice que la suma de los catetos al cuadrado para un triángulo rectángulo siempre es igual a la hipotenusa al cuadrado. Ahora sustituimos el seno y el coseno. En la siguiente expresión para ver si efectivamente es igual a 1. Seno de alfa es y dividido por z, cuadrado, y el coseno de alfa es x dividido por z, cuadrado. Realizamos las operaciones. Esto es y al cuadrado más x al cuadrado. Dividido por z al cuadrado. Como y al cuadrado más x al cuadrado, por el teorema de Pitágoras, es z al cuadrado, tenemos que este cociente es igual a 1. Y por tanto, esta segunda propiedad también se cumple. Como hemos visto, la cosecante, secante y cotangente se definen como las proporciones inversas del seno, coseno y tangente, respectivamente. Por ejemplo, como el seno es cateto opuesto dividido por hipotenusa, la cosecante es hipotenusa dividido por cateto opuesto. Así tenemos que la cosecante de alfa se puede escribir como 1 dividido por el seno de alfa. De la misma forma, la secante de alfa se puede expresar como 1 dividido por coseno de alfa. Y la cotangente de alfa como 1 dividido por la tangente de alfa. Además, como acabamos de ver que la tangente de alfa también se puede expresar como seno dividido por coseno; la cotangente se podrá expresar como el coseno dividido por el seno. Si consideramos una circunferencia de radio 1 y un ángulo z, las coordenadas x e y del punto de la circunferencia que determina el ángulo z se corresponden exactamente con el coseno de z y seno de z, respectivamente. Recordemos que el coseno de z es el cateto contiguo dividido por la hipotenusa. Y el seno de z es cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Como la hipotenusa es igual a 1, en este caso, la coordenada x es exactamente igual al coseno de z. Y la coordenada y es exactamente igual al seno de z. Si ahora consideramos un ángulo z del segundo cuadrante. Y el correspondiente ángulo alfa del primer cuadrante tal que estos dos triángulos son iguales, tenemos que las coordenadas x e y del punto de la circunferencia, determinado por este ángulo z, se pueden calcular a partir de las coordenadas x e y del punto correspondiente al ángulo alfa. Vemos que la coordenada x es simplemente la misma, pero cambia de signo, por lo tanto es menos coseno de alfa. Y la coordenada y es exactamente la misma. O sea, seno de alfa. De la misma forma, si consideramos un ángulo z en el tercer cuadrante y el correspondiente ángulo alfa en el primer cuadrante, tal que estos dos triángulos son iguales. Vemos que las coordenadas de este punto se pueden expresar como menos coseno de alfa, menos seno de alfa. O sea, son exactamente las mismas coordenadas que las determinadas por el ángulo alfa; pero cambiadas de signo. Y, finalmente, si el ángulo está situado en el cuarto cuadrante, las coordenadas de este punto serán: coseno de alfa menos seno de alfa. Donde alfa es el ángulo del primer cuadrante tal que estos dos triángulos son iguales. Así hemos visto que las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia se pueden obtener fácilmente a partir de las coordenadas correspondientes aun ángulo alfa del primer cuadrante. Este ángulo alfa que hemos ido utilizando se conoce como ángulo de referencia. Más adelante veremos cómo calcularlo. En vídeos sucesivos también veremos cómo calcular de forma exacta la razones trigonométricas para los siguientes ángulos, o sus equivalente expresados en radianes. Veremos que un ángulo de 360 grados equivale a 2 pi radianes. Las razones trigonométricas de todos estos ángulos se obtienen, como hemos visto antes, a partir de las razones trigonométricas de estos ángulos del primer cuadrante a través del ángulo de referencia. Y, por lo tanto, puede ser útil memorizar esta sencilla tabla. Hemos visto, por ejemplo, que el seno de un ángulo se corresponde con la coordenada y del punto determinado por este ángulo sobre una circunferencia de radio 1. Así observamos que si vamos desplazando este punto sobre la circunferencia unidad, los valores de la coordenada y van definiendo la imagen la función seno. Y vemos que se obtiene la siguiente forma. Además, observamos que la función tiene un comportamiento oscilatorio y periódico. Así obtenemos la gráfica de la función seno y, de la misma forma, podemos obtener las gráficas de las funciones coseno y tangente. Aunque nosotros no las utilizaremos en los siguientes vídeos, recordad que existen otras muchas identidades trigonométricas. Como las que hacen referencia al ángulo opuesto, ángulo complementario, ángulo suma, ángulo doble, ángulo medio, etc. Como resumen, podemos decir que hemos recordado que la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Que la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es de 180 grados. Y que si dos triángulos son semejantes, sus ángulos son respectivamente iguales y la relación entre los lados se mantiene. También hemos visto que las razones trigonométricas de un ángulo agudo se definen a partir de las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Además, a partir de estas razones trigonométricas de un ángulo agudo y la circunferencia unidad, se obtienen las razones trigonométricas para cualquier ángulo. Las funciones trigonométricas, por lo tanto, se definen a partir de estas razones trigonométricas obtenidas a partir de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Finalmente, hemos recordado también que los ángulos se miden en grado o radianes. Y que la relación entre estas dos medidas es que 360 grados son 2 pi radianes. En los siguientes vídeos veremos cómo convertir grados en radianes y viceversa, cómo determinar si dos ángulos son coterminales, y cómo determinar el ángulo de referencia de un ángulo dado. También veremos cómo calcular los valores trigonométricos más comunes, cómo resolver triángulos rectángulos, cómo verificar algunas identidades trigonométricas, cómo resolver ecuaciones trigonométricas, cómo resolver triángulos cualesquiera, no necesariamente rectángulos. Y, finalmente, cómo aplicar la trigonometría para el cálculo de distancias en situaciones reales. Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
