En esta quinta semana, vamos a empezar el estudio del cálculo diferencial. Una de las columnas en las que se apoya el cálculo, y que está presente en todos los programas de cálculo universitario. El cálculo diferencial se basa en el concepto de derivada, introducido independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz al finales del siglo 17. La derivada se introdujo ante la necesidad de escribir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento. Alternativamente, también sirve para definir el concepto de recta tangente, a una función en un punto de su curva. El estudio de la recta tangente, es la manera más usual de introducir el concepto de derivada. En este primer vídeo, vamos a introducir el concepto de derivada a partir del concepto de tasa de variación de una función en un punto. Concretamente, nuestro conocimiento de las funciones lineales nos permitirán introducir el concepto de tasa de variación de una recta, para seguidamente, definir la tasa de variación de una función en un punto. Veremos que la tasa de variación de una función expresa la relación de cambio entre la variable y la función. Cuanto mayor es esa tacia, tasa de variación, más rápidamente cambia la función. Vamos a introducir el concepto de tasa de variación de una función, a partir del concepto you conocido de pendiente de una recta. Vamos a realizar un senc, un sencillo ejercicio. Vamos a ordenar de menor a mayor las siguientes rectas según su pendiente. La primera recta es la recta f de x igual a menos x más 2, que tiene pendiente m igual a menos 1, y está representada en el dibujo. A continuación, tomamos la recta f de x igual a 1, que es una recta horizontal, y tiene pendiente igual a 0. A continuación, la recta f de x igual a x que también pasa por el punto (1, 1), y tiene pendiente m igual a 1. Y finalmente, la recta f de x igual a 3x menos 2, representada en color azul en el dibujo, que pasa por el punto 1, 1, y tiene pendiente 3. Según esto, podemos concluir que de las cuatro rectas la que tiene mayor pendiente, es la recta f de x igual a 3x menos 2. La que tiene menor pendiente es la primera, porque tiene pendiente m igual a menos 1, la siguiente, la segunda que tiene pendiente 0, la tercera tiene pendiente 1, y la de más pendiente es, la, la última que tiene pendiente m igual, m igual a 3. Por tanto diremos, que la recta f de x igual a 3x menos 2, es la que tiene mayor tasa de variación. Así pues, podemos decir que la pendiente de una recta permite clasificar la recta según su inclinación. Además, las rectas de pendiente positiva son, crecientes. Las rectas de pendiente negativa son, decrecientes. Cuanto mayor es su pendiente, mayor es su tasa de variación Por tanto, la tasa de variación mide la inclinación de una recta. Además, la tasa de variación de una recta es su pendiente. De la misma forma que la pendiente de una recta permite conocer la inclinación de la recta, necesitamos una manera de conocer la inclinación de una curva. Tomemos el siguiente ejemplo. Intuitivamente, ordenar las siguientes curvas según su inclinación en el punto P (1, 1). Si nos fijamos, la recta horizontal dibujada en color naranja puesto que se trata de una recta podríamos decir que tiene pendiente 0. Por tanto, su inclinación es 0. De la misma manera, la recta de color verde, puesto que se trata también de una recta, podríamos decir que su inclinación es 1. ¿Qué pasa con las otras dos curvas? Si nos fijamos en el punto (1, 1), podemos ver que la recta dibujada en color rojo tiene una inclinación, mayor que la inclinación de la recta horizontal y menor que la inclinación de la recta, de color verde. Así podríamos decir que su inclinación está entre 0, y 1. De la misma manera la recta de color azul, también tiene una inclinación que en este caso podemos decir, que es mayor que la inclinación de la, del resto de, de curva. Es decir, la inclinación de la, recta, de la curva de color azul del punto (1, 1), es, mayor que 1. Por tanto, una manera de definir la tasa de variación de una función, será estudiar en cada punto de la curva cuál es su inclinación. Podemos establecer las siguientes propiedades de la tasa de variación de una función en un punto. La tasa de variación de una función en un punto mide la inclinación de la función en ese punto. Además, si tasa de variación es positiva, la función es creciente en ese punto. Si al tasa de variación es negativa, entonces la función es decreciente en ese punto. Para las funciones lineales, la tasa de variación se mide con la pendiente de la recta que representa la función. ¿Cómo podemos calcular la tasa de variación de una función en un punto P? Veamos cómo, procederíamos. En este dibujo tenemos una curva, en la cual hemos señalado el punto P. Para calcular, la tasa de variación de la función en este punto, podríamos tomar, por ejemplo, otro punto de la curva, llamémoles el punto Q, y trazar la línea recta que une el punto P y el punto Q. Esta es una recta que secante que tendrá una pendiente. La pendiente, de la recta pasa por P y Q. Esta pendiente sería una aproximación a la tasa de variación de la función en el punto P. Si tomamos por ejemplo otro punto más cercano a P, entonces también tendremos la tasa de variación de la recta secante que pasa por los puntos P y R. Es decir, la pendiente de la recta PR. Siguiendo con este proceso, podríamos tomar puntos cada vez más próximos a P, y nos acercaríamos exactamente a la tasa de variación de la función en el punto. Esta sería simplemente la pendiente de la recta tangente AP en este punto. Por tanto, definiremos la tasa de variación de una función en un punto, como la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. ¿Cómo podemos calcular la pendiente de la recta tangente a la función en un punto? Tomamos un punto P, que supondremos definido por las coordenadas a y f de a. Para calcular la pendiente de esta recta, procederemos de forma sucesiva. Primero de todo, elegimos otro punto Q, de nuestra curva, que vendrá determinado también por dos coordenadas que llamaremos a más h y f de a más h. Donde h representa la distancia horizontal de, de este cateto y f de a más h menos f de a representa la distancia vertical de ese cateto. Si calculamos la pendiente de esta recta resultará, la pendiente de la recta PQ, será sencillamente f de a más h, menos f de a partido por h. De esta manera podemos calcular la pendiente de la recta eh, secante que pasa por los puntos P y Q. Si nos acercamos más al punto P y elegimos otro punto llamémosle R, la h habrá disminuido y la h tendrá un valor más pequeño puesto que el punto está más cercano a a. De nuevo, si este es el punto P y este es el punto R, la pendiente de esta recta PR no será más que el cociente de nuevo f de a más h menos f de a partido por h. En este caso el valor de h es más eh, pequeño que anteriormente. Si repetimos este proceso, sucesivamente, acercándonos cada vez más al punto P, es decir, si hacemos que h se vaya haciendo infinitamente pequeño, podremos calcular la pendiente de la recta tangente. Y, definiremos esta pendiente, mediante la fórmula siguiente, es decir, la pendiente de la función f en el punto de abscisa a, será el limite cuando h tiende a 0 del cociente f de a más h menos f de a partido por h. Hay que entender este límite como una sucesión en la cual la, el valor de h cada vez es más pequeño acercándose a 0. Vamos a resumir los as, los propiedades más importantes que hemos estudiado en este vídeo. Primero de todo, hemos definido la tasa de variación de una función en un punto como, la inclinación de la función en ese punto. A continuación, hemos visto que si la tasa de variación es positiva, la función es creciente en ese punto. Si la tasa de variación es negativa, entonces la función es decreciente en ese punto. Para las funciones lineales, la tasa de variación se mide con la pendiente, de la recta que representa la función. La tasa de variación de una función f en un punto P es la pendiente de la recta tangente a f en este punto P. Y con esto, hemos terminado esta presentación del concepto de tasa de variación de una función en un punto.
