שלום. בשיעור הראשון בפרק הנגזרות עמדנו על ההבדל בין קצב שינוי ממוצע, מהירות ממוצעת וקצב שינוי רגעי, מהירות רגעית. ומושג המהירות הרגעית או קצב השינוי הרגעי של פונקציה כגבול של קצב השינוי הממוצע, הביא אותנו למושג הנגזרת. מילה שחזרה שם שוב ושוב הייתה שיפוע המשיק. דיברנו על זה שהקצב הממוצע, המהירות הממוצעת, מתאים גרפית לשיפוע של מיתר, ואילו הקצב הרגעי מתאים לגבול של שיפוע המיתר והוא שיפוע המשיק. בשיעור הזה אנחנו נתמקד באותו ישר משיק ונדבר על הנגזרת והקירוב הליניארי הטוב ביותר. נקודת המוצא שלנו תהיה נקודת המוצא של קירובים. במקרים רבים נתונה הפונקציה Y שווה F של X, כהרגלנו. ושוב אני אשרטט גרף של פונקציה כל שהיא. ואנחנו מעוניינים בקירוב של הפונקציה עבור Xים בסביבת X0 נתון, למשל בסביבת הערך 3. אנחנו יכולים להיות מעוניינים בקירובים האלה מפני שהפונקציה היא תולדה של ניסוי ואין לנו שום מידע על הפונקציה הזאת מעבר לתוצאות שנמדדו בניסוי ואנחנו רוצים לקרב את התוצאות האלה על ידי איזשהו ביטוי אנליטי או אולי הפונקציה הנתונה בצורה אנליטית, אבל היא מסובכת ואנחנו רצים לקרב אותה על ידי פונקציה יותר פשוטה, שיותר קל לנו להבין אותה, לפחות בסביבה הזאת. הקירוב, אפשר לחשוב עליו כעל גרף אחר, ואם Y0 הוא F של X0, תנאי ברור הוא שגם הגרף האחר יקבל באותה הנקודה את אותו ערך. אם אני מסתכל למשל על הקו הישר שציירתי זה עתה, זהו גרף של פונקציה לינארית, פונקציה שקצב הגידול שלה קבוע. הרחק מ-X0 אין בין הפונקציה הזאת והפונקציה הנדונה ולא כלום. בנקודות, למשל עבור X שווה 0, בדוגמה שלפנינו יש מרחק גדול מאד. אבל עבור ערכים קרובים ל-X0, הפונקציה שלנו די קרובה לפונקציה המקורית. מהי השגיאה של הקירוב אם אנחנו בנקודה כלשהי X? זהו הערך F של X, הערך שמתקבל כאן, ומידת הקירוב נמדדת על פי המרחק של הפונקציה המקרבת, במקרה זה הפונקציה הקווית, מן הפונקציה שלנו. ואכן ככל ש-X מתקרב ל-X0 מידת הקירוב משתפרת. ואנחנו מעוניינים לדון בקירובים טובים וטובים פחות. אז אם מתעניינים בקירוב על ידי פונקציה לינארית, פונקציה הנתונה על ידי Y שווה MX ועוד M, מידת הקירוב הינה ההפרש F של X פחות MX ועוד M. אפשר להתעניין בקירובים מסוגים שונים, אנחנו עוסקים בקירובים ליניאריים, מן הטעם הפשוט שפונקציה ליניארית היא פונקציה מוכרת, ידידותית ושקירוב בעזרת פונקציה ליניארית מתקשר באופן ישיר כפי שנראה למושג הנגזרת שזה עתה למדנו. ובכן תנאי הכרחי כדי שהקירוב הזה יהיה קירוב הוא שב-X0, בנקודה הנתונה, הפונקציה הליניארית מקבלת את הערך Y0. על מנת שהפונקציה הליניארית המקרבת את F של X עבור X קרוב ל-X0, תהיה קירוב, היא צריכה להיות מהצורה Y שווה M פעמים X פחות X0 ועוד F של X0. שימו לב שמה שכתוב כאן הוא בעצם אותו ביטוי כמו הביטוי הזה, אם תפתחו סוגריים תקבלו M פעמים X ועוד מספר, המספר שקראתי לו שם M הוא כל מה שנותר פה, F של X0 פחות M פעמים XF, המשתנה הוא X. אבל בביטוי הזה ברור שכאשר מציבים X שווה X0 האיבר הראשון נופל והערך המתקבל הוא אכן F ,Y0 של X0, ועל כן זו הצורה הכללית ביותר לפונקציה קווית, פונקציה ליניארית, העוברת דרך הנקודה הנדונה Y0 ,X0. והמטרה שלנו הינה למצוא M טוב ביותר, M טוב ביותר, M כזה שההפרש בין הביטוי הזה והפונקציה שלנו, כאשר X קרוב מאוד ל-X0, יהיה קטן. כן, קטן באופן יחסי יותר מכל ביטוי אחר. נקודת המוצא שלנו בחיפוש אחרי ה-M הטוב ביותר, השיפוע הטוב ביותר, תהיה נקודת מוצא ויזואלית. בואו כמקודם נשים זכוכית מגדלת על הפונקציה סביב X שווה X0, ונתבונן בישרים שונים העוברים דרך הנקודה הזאת: Y0 ,X0. למשל יכולתי לקחת M שווה 0, ואז הישר היה הפונקציה הקבועה Y שווה F של X0. זה היה הישר הזה. יכולתי לקחת ישר אחר בעל שיפוע אחר. ואני רוצה לחפש ישר שבאופן א-סימפטוטי, כאשר X הולך ומתקרב ל-X0, כאשר X הולך ומתקרב ל-X0, המרחק בינו ובין גרף הפונקציה הולך וקטן בצורה הטובה ביותר. כלומר המרחקים הללו מבטאים עבורי את השגיאה ואני רוצה לשלוט בהם. אפשר לחשוב על הישר הזה, על משפחת הישרים העומדת לרשותי כעל משפחה התלויה בפרמטר M, ואני צריך להחליט מהו ה-M האופטימלי. ומשחק קטן עם הציור משכנע די מהר שהמשיק עושה את העבודה בצורה הטובה ביותר. שימו לב, בציור שלנו, אילו זזתי מן הנקודה הנתונה הנה לנקודה שקודם קראתי לה X0 ועוד H, הערך M שווה 0 נותן לי מידת שגיאה כזאת, הישר השני שחותך את גרף הפונקציה בנקודה הזאת, אבל אינו משיק, נותן לי מידת שגיאה כזאת. ואילו המשיק נותן לי מידת שגיאה קטנה יותר. כמובן, ציור יכול להטעות וציור יכול לרמות, אבל במקרה זה מה שמסתתר מאחורי הציור הוא האמת, ואנחנו נגיע לאמת זאת גם בדרך אנליטית. בכל אופן, ההצעה המבוססת על ניתוח הציור הינה לקחת בתור M את שיפוע המשיק, אבל שיפוע המשיק הינו השיפוע הגבולי של המיתרים כאשר המיתרים הולכים ומתקצרים. וזהו הנגזרת. בהנחה שהיא קיימת כמובן. יש פה הנחה מוסווית שאני דן בפונקציה חלקה, פונקציה יפה, שהיא גזירה באותה נקודה: יש לה נגזרת. ואם כך אנחנו מתעניינים בהפרש בין F של X בין ערך הפונקציה, והביטוי הזה כאשר M הוא הנגזרת. נחסיר קודם את ה-F של X0 ואחר כך את הנגזרת כפול X פחות X0. כדי להבין כמה טוב הביטוי הזה, כמה קטן הוא וכמה טוב הקירוב הליניארי הזה, נחלק את הביטוי שיש לנו ב-X פחות X0. כאשר אנחנו מחלקים את מה שכתוב כאן את ה... זאת השגיאה, זאת השגיאה, או השארית, או השארית בקירוב. כן, זה ההפרש בין ערך הפונקציה והמשוואה של הישר שבחרנו בו בתור קירוב. כאשר אנחנו מחלקים את השגיאה, מחולקת ב-X פחות X0, נקבל את הביטוי F של X פחות F של X0 חלקי X פחות X0 פחות הנגזרת. החלק הזה נותן לי את החלק הזה, וכאן X פחות X0 מתבטא. מה יש לנו כאן? קיבלנו במחובר הראשון בדיוק את שיפוע המיתר, את אותו הפרש ב-Yים מחולק בהפרש ב-Xים בין הנקודה F X0 של X0 והנקודה F X של X. ושיפוע המיתר הזה, הוא הוא הביטוי המתקרב כאשר X מתקרב ל-X0 אל הנגזרת. הנגזרת הוגדרה בשיעור הקודם כערך הגבולי של הביטוי הזה. כלומר, כל הביטוי שיש לנו כאן שואף לאפס, הולך וקטן כאשר X מתקרב ל-X0, וזאת בזכות העובדה שבחרנו בתור ה-M שלנו את הנגזרת. אילו היינו בוחרים בתור M, בתור המקדם הזה, זיכרו זה היה ה-M בקירוב הליניארי. אילו היינו בוחרים בתור ה-M ביטוי אחר, ההפרש הזה לא היה קטן. מה למדנו? ננסח את זה כמשפט. מבין כל הקירובים הליניאריים, Y שווה F של X0 ועוד M פעמים X פחות X0. לפונקציה Y שווה FX, העוברים בנקודה F X0 של X0. הקירוב הנתון על ידי המשיק, על ידי הישר המשיק, Y שווה F של X0 ועוד הנגזרת ב-X0, כפול X פחות X0 הינו היחיד שעבורו איבר השגיאה גם אחרי שנחלקו בדלתא X, שזה X פחות X0, עדיין שואף לאפס, הולך וקטן. יש כאן דרגת שאיפה גבוהה יותר מעצם השאיפה לאפס. כל הקירובים הליניאריים, מתוקף זה שהם עוברים דרך הנקודה F X0 של X0, הם קירובים במובן שכאשר X מתקרב ל-X0 ערכם מתקרב לערך הפונקציה, ההפרש קטן. אבל ההפרש הזה יקטן יותר מהר מאשר דלתא X, יותר מהר ממה שאנחנו מתקרבים לפונקציה, רק עבור הקירוב הנתון על ידי הנוסחה הזאת. בתור דוגמה לשימוש בישר משיק כקירוב ליניארי טוב ביותר, ניקח את הפונקציה Y שווה סינוס X, שהגרף שלה או לפחות חלק ממנו משורטט כאן, והנקודה X0 שווה פאי חלקי 6, 30 מעלות. בנקודה הזאת, כידוע לכם, הסינוס מקבל את הערך חצי, ואני מתעניין בקירוב של סינוס X על ידי המשיק. לשם כך עלינו לחשב את הנגזרת. מה היא הנגזרת של סינוס בפאי חלקי 6? בואו נחשב את שיפוע המיתר בין הנקודה פאי חלקי 6 ועוד H והנקודה פאי חלקי 6. הגידול ב-Y, הגידול בערך הפונקציה, הינו סינוס בפאי חלקי 6 ועוד H .H יכול להיות חיובי או שלילי, תחשבו עליו כעל גודל קטן כרגיל, פחות סינוס פאי חלקי 6. והגידול ב-X הוא כמובן ה-H. איך אנחנו ניגשים לביטוי כזה? כאשר עסקנו בפונקציה X בריבוע, העלינו בריבוע, עשינו קצת אלגברה. כרגע אנחנו עוסקים בפונקציה טריגונומטרית. ניזכר בנוסחאות טריגונומטריות. סינוס של סכום שתי זוויות נתון על ידי סינוס פאי חלקי 6 קוסינוס H ועוד סינוס H קוסינוס פאי חלקי 6, ומזה אנחנו צריכים להחסיר את סינוס פאי חלקי 6 ולחלק הכל ב-H. המעבר הזה הינו מעבר המבוסס על נוסחה טריגונומטרית מוכרת. אנחנו מעוניינים בגבול של הביטוי הזה כאשר H הולך וקטן, ולשם כך נבודד את האיברים המכילים את H ואת הקונסטנטות, ונקבל שזה שווה לסינוס פאי חלקי 6 כפול קוסינוס H פחות 1 חלקי H, אלו הם שני האיברים האלה, ועוד קוסינוס פאי חלקי 6 כפול סינוס H חלקי H. אילו רק ידעתי את ההתנהגות הגבולית של שני הביטויים הללו, כאשר H ששואף ל-0, ידעתי את הנגזרת. בואו נצייר ציור שאין בינו ובין גרף הפונקציה שום דבר, אבל הוא אמור להזכיר לנו מעט טריגונומטריה. H נמדדת ברדיאנים, הזווית נמדדת ברדיאנים. ואם אנחנו משרטטים את מעגל היחידה, מעגל ברדיוס 1, במישור, זאת הנקודה 1, אזי הסינוס והקוסינוס אלו הם ההיטלים של הנקודה על פני המעגל על ציר ה-X ועל ציר ה-Y. או יותר נכון, על ציר ה-X אנחנו מקבלים את הקוסינוס ועל ציר ה-Y אנחנו מקבלים את הסינוס. H הוא גם אורך הקשת הזה, נמדד ברדיאנים. מה אנחנו יכולים להגיד על קוסינוס H פחות 1? קוסינוס H פחות 1 הוא אורך הקטע הקטן בין ההיטל על ציר ה-X והנקודה 1. הקטע הקטן הזה, אשר נותר לנו בין ההיטל והנקודה 1, זהו 1 פחות קוסינוס H. בערך מוחלט קוסינוס H פחות 1 ו-1 פחות קוסינוס H הם אותו דבר. ואנחנו צריכים להעריך את שני הביטויים הראשונים בסוגריים כאן כאשר H הולך וקטן. אני אקיף שוב בזכוכית מגדלת את המשולש הקטן הזה, שבו אנחנו מתעניינים. אני אגדיל אותו. יש לנו משולש ששתיים, הוא לא בדיוק משולש, שתיים מצלעותיו אלו הם הניצבים בהם אנחנו מתעניינים: סינוס H ו-1 פחות קוסינוס H. והקשת הזאת, היא H. הזווית כאן קל לחשבה ולמצוא שהיא H חלקי 2. אילו היה מדובר במשולש לא עקום, משולש אמיתי, כאשר הזווית H שואפת לאפס, היחס בין הניצב הארוך ליתר שזהו סינוס H חלקי היתר מתקרב ל-1, ואילו היחס בין הניצב הקצר והיתר מתקרב ל-0. ניתן להראות בעזרת טריגונומטריה לא מסובכת, לא נעשה אותה כאן, שאותו דבר נכון גם במשולש העקום הזה. היחס בין הניצב הארוך והקשת, למרות ששניהם טעינים יחד עם H, היחס ביניהם שואף ל-1, סינוס H חלקי H שואף ל-1, ואילו 1 פחות קוסינוס H חלקי H שואף ל-0. כאשר H שואף ל-0, סינוס H חלקי H שואף ל-1, ואילו קוסינוס H פחות 1 חלקי H שואף ל-0. ועל כן הביטוי הגבולי של שיפוע המיתר, שהוא הנגזרת של סינוס בפאי חלקי 6, הוא סינוס פאי חלקי 6 כפול 0 ועוד קוסינוס פאי חלקי 6 כפול 1, כלומר קוסינוס פאי חלקי 6. שימו לב שלא היה שום דבר מיוחד בערך פאי חלקי 6. באותו אופן, הדבר הזה ישמש אותנו בשיעור הבא. הנגזרת של סינוס בכל נקודה X0 נתונה על ידי הפונקציה הטריגונומטרית האחות קוסינוס ב-X0. אבל בדוגמה שלנו בואו נחזור אל המשיק הזה. המשיק הזה, משוואתו עכשיו ידועה לנו. משוואת המשיק הינה Y שווה הערך בנקודה הזו, כלומר 0.5, זה סינוס בפאי חלקי 6, ועוד הנגזרת קוסינוס של 30 מעלות, זה שורש 3 חלקי 2, כפול X פחות פאי חלקי 6. זוהי משוואת המשיק. והשאלה, שאנחנו תכף ניתן לה מענה נומרי, היא באיזו מידה המשיק הזה מקרב באמת טוב יותר מכל קו ישר אחר את הפונקציה Y שווה סינוס X? בואו נעשה חשבון פשוט לסיום. בואו ננסה לחשב את סינוס של 31 מעלות, שזה סינוס של פאי חלקי 6, 30 מעלות, ועוד מעלה 1, זה פאי חלקי 180. זה ה-X0, זה ה-H, זו התוספת הקטנה, בעזרת הקירוב הליניארי, אנחנו אומרים שזה צריך להיות בקירוב סינוס בנקודה הזאת, כלומר 0.5 ועוד שורש 3 חלקי 2. ההפרש בין הנקודה הזאת ופאי חלקי 6 הוא כמובן התוספת שלנו ה-H, פאי חלקי 180. חישבתי את הערך הזה עבורכם בעזרת מחשבון, והוא יוצא 0.5151 15 בערך. הערך האמיתי של סינוס 31 מעלות הוא 0.51 504 והטעות המתקבלת בשימוש בקירוב הליניארי היא מסדר גודל של 10 במינוס 4. שימו לב, הטעות הינה לא בספרה הראשונה, לא בשנייה, לא בשלישית, בספרה הרביעית והיא פחות מ-1 חלקי 10 ברביעית. זו טעות קטנה מ-10, שגיאה קטנה מ-10 במינוס 4. זאת בשעה שהתזוזה ב-X, הגודל של מעלה 1 הוא פאי חלקי 180, וזה סדר גודל של 10 במינוס 2. אנחנו רואים שהטעות במקרה זה היא בשני סדרי גודל עשרוניים, יותר קטנה מאשר התזוזה ב-X. שוב, זו דוגמה נומרית. דוגמאות נומריות טבען להסתיר דברים והן יכולות גם להטעות, אבל במקרה זה הדוגמה נבחרה בקפידה, ואילו היינו מתקרבים עוד יותר, העובדה שהקירוב הוא קירוב הרבה יותר טוב מכל הקירובים הליניאריים האחרים הייתה צפה ועולה דרך החישובים הנומריים.
