שלום, בשיעורים הקודמים התחלנו לעסוק במושג הנגזרת וראינו שאם נתונה הפונקציה שזה הגרף שלה, אנחנו הרבה פעמים, לא תמיד, יכולים לדבר על שיפוע המשיק לגרף בנקודה נתונה, כגבול של שיפוע המיתר. ולשיפוע המשיק הזה אנחנו קוראים נגזרת. בסמלים, הנגזרת של הפונקציה F בנקודה X0 היינו הגבול כאשר H שואף ל0 של הפרש "ווים", הפרש ערכי הפונקציה בנקודה קרובה לX0 ובנקודה X0, מחולק בהפרש ה"אקסים" בין שתי הנקודות שהוא כמובן H. תארנו גם שאת הH אנחנו צריכים לקחת הן חיובי והן שלילי, אנחנו יכולים להיות קצת מימין או קצת משמאל והערך הזה צריך כדי שתהיה נגזרת להגיע לערך גבולי שיסומן (F,(X0. בשיעור שבא אחר כך, בשיעור השני בפרק הפונקציות הראינו שניתן לקרב את הפונקציה עבור "אקסים" סמוכים לX0 על ידי הביטוי הלינארי (F,(X0. זהו מספר X0 הינה נקודה קבועה שאינה זזה לצורך הדיון. הערך בנקודה הזאת הY0 הוא מספר, ואותו דבר נכון לגבי הנגזרת והיא כופלת את הביטוי הלינארי X פחות X0. הראינו גם שהקירוב הלינארי הזה הינו הקירוב הלינארי הטוב ביותר מבין כל הקירובים הלינאריים העוברים דרך הנקודה X0, Y0. אחד השימושים החשובים של הרעיונות הללו הוא לבעיות קיצון. בעיית קיצון או בעיית אקסטרמום, היא בעיה שבה אנחנו מחפשים מקסימום או מינימום בפונקציה בתחום הגדרה מסוים. הבעיה הזאת יכולה לבוא מפיזיקה, מכלכלה, ממדעי המחשב. הרבה מאוד פעמים בחיי יומיום יש לנו תופעה שתלויה במשתנה X ואנחנו מחפשים את אותו ערך של X שעבורו הפונקציה המתארת את התופעה תקבל ערך מקסימלי או מינימלי או טמפרטורה מקסימלית וכן הלאה. בעיות כאלו נקראות בעיות קיצון ויש להן חשיבות אדירה בכל שימושי המתמטיקה. כדי להבין את בעיות הקיצון והקשר שלהן לנגזרת, בואו נראה תחילה מה מלמדת אותנו הנגזרת על ההתנהגות של פונקציה סביב הנקודה בה מחשבים את הנגזרת. מתואר כאן גרף, אקראי, אולי זה נראה בעינכם פרבולה, אבל אינני מתיימר שזאת אכן פרבולה, גרף של איזושהי פונקציה גזירה. פונקציה שאני אומר לכם שבכל נקודה ניתן לייחס לנקודה הזאת משיק וניתן למצוא את הגבול הזה בכל אחת ואחת מהנקודות. בנקודה X1 כפי שאתם רואים, שיפוע המשיק הוא חיובי. בנקודה X2, לעומת זאת, שיפוע המשיק שלילי. מה אנחנו יכולים ללמוד משיפוע המשיק על מגמת הפונקציה? אילו היה מדובר בפונקציה המקרבת, בפונקציה הלינארית, אין ספק שכאשר הנגזרת היא חיובית, מתואר כאן ישר בעל שיפוע חיובי, המקדם של X הוא הנגזרת ועל כן הישר הזה עולה. וכאשר הנגזרת היא שלילית הישר הזה יורד. היינו רוצים לומר שאותו דבר נכון לפחות ליד הנקודה המדוברת גם לגבי הפונקציה המקורית F של X. כמובן איננו יכולים להסיק שום דבר על F. בנקודות מאוד רחוקות. כפי שאתם רואים, הפונקציה F עולה בקטע הזה, יורדת בקטע הזה ולכן מה שקורה בסביבת הנקודה X 1 אינו משפיע ואינו רלוונטי למה שקורה בסביבת הנקודה X2. אם כך, המשפט שאנחנו רוצים להוכיח הוא שאם הנגזרת של F בנקודה X1 חיובית, אזי, הפונקציה עולה בX1. אבל לזה אני צריך לתת הגדרה מדויקת. הפונקציה F עולה בנקודה X1, כלומר, זאת תהיה ההגדרה, ישנו קטע אלפא בטא, X1 גדול מאלפא, קטן מבטא המוכל בתחום ההגדרה כך שלכל U משמאל לX1 בקטע F של U קטן מF של X1, ולכל V מימין לX1 בקטע, F של V גדול מF של X1. בואו נראה מה זה אומר בציור שלנו, ניקח גיר צבעוני, הנגזרת בX1 חיובית, המשפט הזה יגיד שאני יכול למצוא קטע מסוים המכיל את X1 אלפא בטא משורטט בירוק, כך שאם אני מתמקד רק בערכי הפונקציה בקטע הזה, זהו הערך בX1. מימין מתקבלים ערכים גדולים יותר ומשמאל ערכים קטנים יותר. כפי שהערתי ואני חוזר על ההערה הזאת, אין לעובדה הזאת "השפעה" על התנהגות הפונקציה, הרחק למשל כאן, הפונקציה חוזרת וקבלת ערכים אולי יותר גבוהים ומתחילה להתנהג אחרת, היא יכולה להתנדנד רחוק וכן הלאה. טיעון רך שבעזרתו הגענו לתובנה שמשפט כזה צריך להתקיים, היה הטיעון שהוא נכון לגבי הקירוב. הוא נכון לגבי הישר המקרב את הפונקציה, ועל כן סביר שהוא יהיה נכון גם לגבי הפונקציה עצמה. אבל הטיעון הזה אינו מהווה הוכחה מדויקת מפני ש, למדנו על זה בשיעור הקודם, בין הישר והפונקציה ישנו איזשהו הפרש, איבר השגיאה בקירוב, והאיבר הזה יכול "לקלקל" את התנהגות הפונקציה. הוא יכול לגרום לה לרדת איפה שהיא צריכה לעלות, ואכן הוא עושה את זה הרחק מX1. מטרתנו להראות שאם אנחנו מצטמצמים לסביבה כלשהי, זה לא קורה. בואו ניתן למשפט הוכחה מדויקת, וההוכחה הזאת היא הוכחה פשוטה, קצרה ומסתמכת רק על הגדרת הנגזרת. הנגזרת בX1, שאנחנו מניחים שהיא חיובית, הינה הגבול כאשר X שואף לX1 של שיפוע המיתר F של X פחות F של X1, חלקי X פחות X1. כאשר X מספיק קרוב לX1, הביטוי הזה מאוד קרוב לביטוי הזה, שהוא חיובי, ועל כן גם הביטוי הזה יהיה חיובי. למשל, הוא יהיה בין הביטוי הזה פחות מעט מאד, והביטוי הזה עוד מעט מאד, ואת המעט מאד תיקחו כך שלא תקלקלו את החיוביות. עבור x בקטע קטן דיו אלפא בטא, המכיל את x-1, נכתוב את זה ככה. הקטע מכיל את x-1. x-1 שייך לקטע, גם fx פחות fx-1 חלקי x פחות x-1 חיובי. אבל מה זה אומר? שבר או מנה בין שני גדלים היא חיובית, אם ורק אם סימן המונה שווה לסימן המכנה, כלומר סימן דלתא y, שזה fx פחות f של x-1, כסימן דלתא x, שזה x פחות x-1 אבל מה זה אומר? אם ניקח בתור הx שלנו את אותו u מין המשפט, שהוא משמאל לx-1 u פחות x-1 שלילי ולכן גם f של u פחות f של x-1 שלילי, כלומר, f של u קטן מf של x-1. למשל u גדול מאלפא, בקטע שלנו אבל קטן מx-1 גורר דלתא x שלילי גורר דלתא y שלילי ולכן f של u קטן מf של x-1 הu, הוא הפעם הx שלה. אם ניקח בתור v ,x מימין לx-1, אותו טיעון, נגמר לי המקום על הלוח, אני רק אגיד את זה בעל-פה אומר שהדלתא v. x פחות x-1 חיובי ועל כן גם הדלתא f ,y של v פחות f של x-1 חיובי ולכן f של v גדול מf של x-1. נעיר, בלי לכתוב, שאילו הנגזרת היתה שלילית, היה לנו משפט דומה שאומר שהפונקציה יורדת בנקודה הנתונה, כלומר ישנה שוב סביבה קטנה של הנקודה שעבור xים בסביבה הזאת, לא רחוק ממנה, אבל מימין לx2 ערכי הפונקציה קטנים יותר ועבור xים קטנים מx2 ערכי הפונקציה גדולים יותר, והטיעון כאן אומר שערך הנגזרת שלילי, הווה אומר, החל מסביבה מספיק קטנה של x2 במקרה זה שיפוע המיתר גם כן שלילי וזה אומר שסימני המונה והמכנה במקרה זה הפוכים ולכן כשאנחנו מימין לx2 ערכי הפונקציה קטנים יותר, כשאנחנו משמאל, ערכי הפונקציה גדולים יותר. זו כל ההוכחה של המשפט. נזכיר לכם שנקודת מקסימום מקומי תזכורת: נקודת מקסימום מקומי או בקיצור מקסימום מקומי של f היא נקודה בתחום ההגדרה שתסומן xf עבורה יש קטע שיכול להיות מאד קטן כדוגמת הקטע הקודם x אלפא, 0x סליחה מוכל באלפא בטא כך שלכל x באלפא בטא f של x-0 גדולה או שווה ל f של x. זהו מקסימום במובן החלש, יכול להיות שוויון, למשל פונקציה קבועה יש לה מקסימום מקומי בכל נקודותיה, אבל הדגש הוא שהמקסימום הזה הוא מקומי, האי שוויון הזה שאומר שf של x-0 גדולה או שווה מכל שאר ערכי הפונקציה, צריך להתקיים רק עבור הערכים בנקודות באותו קטע. מה קורה הרחק ממני בחרמון, אני לא יודע. מה רואים מייד? אם הנגזרת בx0 חיובית או שלילית, אין לפונקציה מקסימום מקומי בx0. מסקנה מן המשפט שזה עתה הוכחנו: אם הנגזרת בx0 אינה 0 x0 אינה מקסימום מקומי. ובצורה אנלוגית ובאופן דומה גם לא מינימום מקומי. מדוע? מפני שהמשפט אמר שאילו הנגזרת למשל חיובית, אז ישנו קטע מספיק קטן כך שבחצי הימני שלו הפונקציה יותר גדולה מערכה בx0 ואם הנגזרת הייתה שלילית, בחצי השמאלי היא היתה יותר גדולה מערכה בנקודה x0. לכן לא יכול להיות שמשני צידי x0 היא תקבל ערכים קטנים או שווים מהערך שהיא מקבלת מx0. זו מסקנה לוגית ישירה. לשון אחר: אם יש נקודת מקסימום או מינימום מקומית עם x0 היא נקודת מקסימום או מינימום מקומית, אזי הנגזרת בx0, במידה והיא קיימת, אנחנו מניחים שהנגזרת קיימת, מדובר פה בפונקציות גזירות, חייבת להתאפס. הלשון אחר הוא פשוט המהלך הלוגי שאם א גורר את ב, אז לא ב גורר את לא א. אילו זה לא היה נכון, הנגזרת היתה צריכה להיות שונה מ0 או חיובית או שלילית ואז מן המסקנה לא היה מקסימום מקומי. אנחנו צריכים להיות זהירים ולא לטעות לחשוב שהמשפט ההפוך נכון. הערה ודוגמה בצידה מייד. המשפט ההפוך אינו נכון. ראינו בדוגמאות למשפטים הפוכים, ראינו במשפט פיתגורס למשל שמשפט פיתגורס היה נכון, גם המשפט ההפוך היה נכון, אבל דרש הוכחה. במקרה הזה המשפט שהוכחנו נכון, המשפט יהיה הפוך שכביכול יאמר שאם הנגזרת היא אפס, יש לנו מקסימום או מינימום מקומי, אינו נכון. נראה 3 דוגמאות: נסתכל ב3 הפונקציות הבאות y שווה x בריבוע y שווה מינוס x בריבוע וy שווה x בשילישית. שלושתן בנקודה x0 שווה 0. את הנגזרת של X בריבוע חישבנו, היא שני X בנקודה הזו, שני X זה 0, הנגזרת מתאפסת. החשבון פה זהה והחשבון פה מראה שהנגזרת היא שלושה X בריבוע, ושוב בנקודה 0 הנגזרת מתאפסת. שלושת הפונקציות האלה, נגזרותיהן ב 0 מתאפסות. ואף על פי כן, הגרפים שלהן נראים כך. כאן מדובר בפרבולה המוכרת. כאן מדבר באותה פרבולה בהיפוך סימן. פרבולה עצובה. ואילו כאן מדובר בגרף שנראה כך. שימו לב שאכן בשלושת הגרפים, שיפוע המשיק בנקודה 0, הוא 0. המשיק מקביל לציר X. למען האמת, מתלכד עם ציר X ואף על פי כן, לפונקציה הזו יש מינימום מקומי, לפונקציה הזו יש מקסימום מקומי ולפונקציה הזו אין לא מינימום ולא מקסימום מקומי. הנקודה הזו נקראת נקודת פיתול. אבל לא נרחיב על זה את הדיבור. אז יש לנו כאן דוגמה נחמדה, מהלכים לוגים שעמדנו עליהם בקורס כמה וכמה פעמים. מהלך ראשון מ א גורר ב, נובע לא ב גורר לא א. אבל א גורר ב לא מחייב ב גורר א. לחובבי הפתולוגיה שביניכם אני רוצה להעיר הערה מאוד עדינה, שנוגעת להגדרה המדויקת מה פירוש לעלות בנקודה. אילו X אפס, היא נקודה בה הפונקציה מקבלת את הערך Y אפס, אמרנו שהפונקציה עולה בנקודה אם ישנה סביבה קטנה, אני אשרטט אותה קצת יותר גדולה הפעם, אלפא, בטא, כך שמשמאל ל X אפס הערכים קטנים מ Y אפס, מימין הם יותר גדולים. אין זה אומר שאני יכול למצוא סביבה שבה הפונקציה באופן עקבי עולה. אני רק אשרטט ציור שאמור לתת את הרעיון ואשאיר לכם לחשוב על הנושא. יכולה להיות פונקציה שעולה ב X אפס באופן הבא. היא עולה תוך כדי תנודות בלתי נשלטות, תנודות שהולכות ונהיות יותר קטנות ויותר צפופות, הן בדרך אל X אפס והן בדרך אחרי X אפס. אין ספק שבציור הזה הערכים מימין ל X אפס גדולים מהערך ב X אפס, והערכים בשמאל קטנים אבל בדרך אתם עולים ויורדים שוב ושוב ואתם לא יכולים להצטמצם לשום קטע קטן שבו לכל אורך הדרך תעלו. אמרתי את זה, תחשבו על זה, לא נרחיב את הדיבור. ובכן, מה הדרך שבה אנחנו משתמשים במשפט שכרגע דיברנו עליו כדי לדון בבעיות קיצון? אנחנו לא יכולים לדעת בוודאות שנקודות בהן הנגזרת היא 0 הן נקודות קיצון. ראינו את זה. אבל אנחנו יודעים שכל נקודה שהיא נקודת קיצון היא בפרט נקודת קיצון מקומית, היא בפרט נקודה, אם היא נקודת מקסימום, גלובאלי, אם היא נקודה שבה ערך הפונקציה מקבל את הערך הגדול ביותר, בפרט ערכי הפונקציה בכל סביבה שהיא של אותה נקודה יהיו יותר קטנים, או קטנים או שווים, מערכם בנקודה ועל כן היא נקודת מקסימום, במקרה הזה, מקומי, ועל כן הנגזרת היא 0. ועל כן, הנקודות היחידות שבאות בחשבון כנקודות קיצון הן נקודות בהן הנגזרת היא 0. ועל כן, על מנת להשתמש בואו נרשום את זה, כי זו תובנה חשובה על מנת להשתמש ב"מבחן", במרכאות, של התאפסות הנגזרת כדי לחפש, או כדי לפתור, בואו נאמר בעיית מקסימום ובאופן אנלוגי בעיית מינימום, בעיית קיצון כל שהיא, עלינו תחילה למצוא את כל הנקודות בהן הנגזרת מתאפסת, נקרא להן "הנקודות החשודות", ואז אם יש נקודת קיצון, היא אחת מהן. התאפסות הנגזרת לא מבטיחה בכלל שיש נקודת קיצון. זיכרו את הדוגמה של X בשלישית, שהיא כל הזמן עולה, אבל אם יש נקודת קיצון, היא אחת מביניהן ואנחנו צריכים כלים נוספים שלא נרחיב עליהם כאן את הדיבור על מנת לסנן את הנקודות הלא רלוונטיות ולמצוא את הנקודה בה מתקבל הערך המקסימלי. ואז לדון בכל אחת מהן בכלים אחרים. מי שזוכר מלימודיו בתיכון אולי זוכר את מבחן הנגזרת השנייה. אבל היות ובמסגרת הזמן המצוצמם העומד לרשותנו, לא נדבר על נגזרת שנייה, לא ניכנס לזה כאן. לעומת זאת, אני רוצה לסיים את ההרצאה עם דוגמה מוכרת וחביבה לשימוש במבחן הזה :והיא הדוגמה הבאה. הבעיה האיזופרימטרית למלבנים. שם קצת מנופח לבעיה פשוטה. פרימטר זהו היקף. איזופרימטרית, מלבנים שווי היקף. מבין כל המלבנים בהיקף 4 סנטימיטר, למי יש שטח מקסימלי? ובכן, בואו נתאר את השטח של מלבן כזה בעזרת איזה שהוא ביטוי אנליטי. אנחנו צריכים להכניס משתנים והמחשבה הראשונה העולה בראשנו היא לקרוא לרוחב X ולרוחב Y, אבל אז יהיו לנו שני משתנים. ואנחנו מעוניינים בפונקציה של משתנה אחד אבל אם ההיקף הוא 4, מחצית ההיקף היא 2 ולכן הרוחב הוא 2 פחות X. כן, סכום האורך והרוחב יוצא 2, וההיקף יוצא 4. והשטח, אם כך, הוא הביטוי הפשוט X כפול 2 פחות X או 2 אקס פחות אקס בריבוע. ואנחנו מחפשים מקסימום לביטוי הזה. כפי שראינו אנחנו צריכים לגזור אותו ולחפש נקודות שבהן הנגזרת היא 0. היכן הנגזרת היא 0, אלו תהיינה הנקודות החשודות. טוב, בואו נגזור. הנגזרת של ביטוי כזה אמורה להיות מוכרת לכם, נדבר על זה אולי יותר בהרחבה בשיעור הבא, היא 2 פחות שני X. על מנת שזה יהיה 0 X צריך להיות 1. 2 פחות X, כמובן 1, והמסקנה היא שכאן מדובר בריבוע. אבל האם באמת קיבלנו נקודת קיצון? אנחנו צריכים כלי אחר. אנחנו צריכים איזה שהוא נימוק משכנע, מדוע באמת הריבוע ממקסם את השטח ואנחנו רוצים להראות, אם כך, אז כדי לסיים את הדיון, אנחנו רוצים להראות, צריך להראות שלכל X הערך שמתקבל עבור מלבן שאלה מידותיו, הערך שמתקבל עבור השטח, X כפול 2 פחות X, קטן או שווה מן השטח של ריבוע שצלעו 1, שהוא כמובן 1. ואת התרגיל הזה אני אשאיר לכם כתרגיל קל לבית. השוויון האיזופרימטרי למלבנים הוא קל. אני רוצה לספר לכם, ללא הוכחה, שקיימת לו הכללה יותר קשה, והיא ה הבעיה האיזופרימטרית לצורות כלליות, הכללית, והיא תגיד שמבין כל הצורות, אני לא אתעכב על הגדרת צורה, בהיקף קבוע נתון, הצורה בעלת השטח המקסימלי הינה לא ריבוע אלא עיגול. בואו נבדוק רק עובדה פשוטה אחת, שעיגול וריבוע בעלי אותו היקף, העיגול מנצח את ה ריבוע בתחרות על השטח. אז בואו נאמר שמדובר בהיקף 4, כמו בבעיה שהייתה לנו כאן. אז עיגול בהיקף 4 סנטימטר, 2 פאי r יוצא 4 ו r יוצא 2 חלקי פאי. מהו שטחו? שטחו הוא פאי r בריבוע, פאי כפול 4 חלקי פאי בריבוע, זה 4 חלקי פאי ואכן פאי הוא בערך 3.14. 4 חלקי פאי יותר גדול מ 1. זהו שטח הריבוע בעל אותו היקף. שהוא, כפי שראינו, גדול או שווה משטחי כל המלבנים בהיקף הנתון, העיגול מנצח. עד כאן על בעיות אקסטרימום. תודה.
