אנחנו מגיעים לסיום הפרק על הנגזרת ואני רוצה לדבר היום בשיעור האחרון על הפונקציה. עד עכשיו התעניינו בנגזרת של פונקציה נתונה בנקודה נשרטט בפעם המי יודע כמה את שרטוט הגרף והמשיק ואמרנו שבמצבים כאשר הפונקציה שלנו היא גזירה ישנו משיק לגרף ששיפועו נקרא הנגזרת וקיבלנו אותו כערך גבולי של שיפוע המיתר אני רוצה תשכחו לרגע, לא תשכחו אבל תדכאו לרגע את כל התהליך שבעזרתו קיבלנו את המספר הזה, את התהליך של שרטוט המיתר השאפת X ל-X0, חישוב הגבול והגעה לערך מסוים שקאנו לו הנגזרת. בואו נניח שהפונקציה F גזירה בכל נקודה X0 בתחום הגדרתה כלומר שאת התהליך הזה אפשר לחזור ולבצע גם בנקודה הזאת וגם בנקודה אחרת ובכל נקודה. למעשה קיבלנו כאן פונקציה חדשה. קיבלנו כאן התאמה שלכל נקודה בתחום ההגדרה מתאימה ערך חדש והוא לא הערך של הפונקציה אלא הערך של הנגזרת. אם ניתן ל-X0 להשתנות נקבל פונקציה חדשה אני אכתוב עכשיו X במקום X0 X מועתק אל הנגזרת של F ב-X והיא תקרא הפונקציה הנגזרת של F שתחום הגדרתה כתחום הגדרת F אם F היתה מוגדרת בקטע גם הנגזרת תהיה מוגדרת באותו קטע בואו נראה כמה דוגמאות בעזרת המצגת שלפנינו ונתחיל מהפונקציה הפשוטה ביותר הפונקציה הקווית. בחרתי בפונקציה הקווית FX שווה 2X ועוד 5 אני אזיז מעט את הגרף את הגרף של הפונקציה ציירתי בשחור זהו הגרף הזה והגרף של הנגזרת מצויר באדום ומה שאנחנו רואים בדוגמה הזאת הוא שהיות ומדובר בפונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר, המשיק בכל נקודה הוא הוא הישר עצמו ושיפועו הוא 2, הנגזרת של 2X ועוד 5 היא הפונקציה הקבועה 2 בכל נקודה ונקודה הנגזרת היא 2. אני לצורך ההמחשה בלבד ציירתי הן את הפונקציה והן את הנגזרת על אותה מערכת צירים, אבל בעצם אנחנו אמורים לצייר אותם כשתי פונקציות שונות. הדוגמה הבאה בתור היא הדוגמה של הפונקציה X בריבוע הפרבולה בדוגמה הזאת אנחנו חישבנו ישירות מן ההגדרה את הנגזרת ומצאנו שבכל נקודה X0 הנגזרת היא 2X0 ועל כן הנגזרת הינה כפונקציה X הולך ל-2X הגרף של הפונקציה עצמה משורטט שוב בשחור ובאותה מערכת צירים שרטטנו גם גרף אחר של הפונקציה הנגזרת. בואו נשים לב מה הנגזרת הגרף של הפונקציה הנגזרת יכול ללמד אותנו בדוגמה הזאת על הגרף של הפרבולה. בנקודות שבהן הערך של הנגזרת חיובי במקרה זה עבור X חיוביים, ראינו שבנקודות כאלה הפונקציה המקורית עולה ואכן הפרבולה עולה מימין לראשית. באופן אנלוגי היכן שהנגזרת היא שלילית הפרבולה היא יורדת. אבל אנחנו רואים פה משהו קצת יותר עדין לא זו בלבד שהנגזרת חיובית עבור חיובית עבור X חיוביים ושלילית עבור X שליליים הנגזרת עצמה עולה. הנגזרת עצמה היא הפונקציה 2X וככל ש-X גדל היא נהית יותר ויותר גדולה. מזה אומר לגבי שיפוע המשיק? שיפוע המשיק עולה גם הוא. והתמונה המתקבלת לגבי הפרבולה היא תמונה שבה הגרף נהיה יותר ויותר כמור. בואו נעיר את זה כאן הערה: בתחום בו הנגזרת בעצמה עולה FX הינה פונקציה עולה הגרף של F של X קמור בתיכון קראתם לגרף כזה מחייך. הוא יכול, סליחה, הוא יכול להיות גרף של פרבולה. הוא יכול להיות גרף של הרבה פונקציות אחרות. ההגדרה המתמטית דורשת עיסוק במיתרים ולא נעסוק בה עכשיו אבל אינטואיטיבית הגרף נראה ככה. ואילו היכן שהנגזרת יורדת הגרף של F עצמה קעור נראה ככה. שימו לב הנגזרת היא שיפוע המשיק שיפוע המשיק היה פה בערך מסוים, במקרה זה חיובי כאן הוא עדין חיובי אבל יותר קטן כאן הוא כבר אפס, כאן הוא כבר מתחיל להיות שלילי יותר שלילי. ובדוגמה הזאת כמובן קוראת תופעה הפוכה שיפוע מתחיל להיות במקרה זה שלילי פחות שלישי, כלומר גדל, אפס חיובי, יותר חיובי וכן הלאה... בתור דוגמה שלישית ואחרונה נזכיר את פונקצית הסינוס. גם הפונקציה הזאת עסקנו בהרחבה בנגזרת שלה, חישבנו אותה, אומנם תחילה בפאי חלקי 6 אבל אחר כך הערנו שאותו חישוב עובד בכל נקודה והתוצאה יצאה קוסינוס. כלומר הפונקציה הנגזרת של פונקצית הסינוס הינה הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס הפונקציה האחות ובמקרה זה הגרף של הקוסינוס משורטט באדום. בואו נעקוב רגע אחרי ההשתנות של סינוס ומה הגרף של הנגזרת מלמד אותנו. תחילה נעסוק במגמה האם הפונקציה עולה או יורדת בקטעים בהם הקוסינוס חיובי למשל בין אפס ופאי חלקי 2 או בין 3 פאי חלקי 2 ו-2 פאי. כן בקטע הזה הקוסינוס חיובי בקטע הזה הקוסינוס חיובי, בינהם הוא שלילי. בקטעים בהם הוא חיובי אכן כפי שהערנו הפונקציה המקורית, פונקצית הסינוס עולה. בקטע הזה היא עולה. גם בקטע הזה. היא עולה מן המינימום שלה עד לנקודה כאן עד אפס והיא ממשיכה לעלות עד לנקודה הזאת כי הקוסינוס ממשיך להיות חיובי. בנקודות האקסטרמום, בנקודות המקסימום של הסינוס, היכן שהיא מקבלת את הערכים 1 או מינוס 1, אלה הם המקסימה והמינימה שלהם, והם חוזרים באופן מחזורי, בנקודות כאלה הקוסינוס מקבל את הערך 0. כפי שאנחנו יודעים, בנקודת מקסימום מקומי הנגזרת מתאפסת. כנ"ל בנקודת מינימום מקומי. שימו לב לקשר היפה בין העובדה הזאת והעובדה שסכום ריבועי הסינוס, ריבוע הסינוס וריבוע הקוסינוס, הוא 1. אם ריבוע הסינוס הוא 1, כלומר אם הסינוס מקבל ערך 1 או מינוס 1, זה מחייב את הקוסינוס להיות 0. את זה הסקנו בשתי דרכים אם כך. ראינו זה עתה את מושגי הקמירות והקעירות. במקום בו הנגזרת עולה, שיפוע המיתר עולה והפונקציה היא קעורה, מחייכת במירכאות. במקום בו הנגזרת יורדת, שיפוע המיתר יורד הפונקציה קעורה. גם את זה אפשר לראות יפה בדוגמה שלפנינו, למשל, הנגזרת, הקוסינוס, יורדת בין 0 ופאי 3.14. היא בהתחלה 1, היא יורדת, עוברת דרך ה-0 וממשיכה לרדת אל מינוס 1, ובכל האינטרוול הזה, אכן הסינוס, הפונקציה המקורית קמורה. סליחה, קעורה. המושגים האלה של קמירות וקעירות מבלבלים. הנגזרת יורדת, הפונקציה קעורה. מהערך פאי ועד הערך שני פאי, הנגזרת, הקוסינוס, עולה והפונקציה שלנו, הסינוס, הופכת להיות מחייכת, הופכת להיות קמורה. אמרתי את זה נכון. נעזוב את הדוגמאות ונזכיר כמה מכללי הגזירה היסודיים, שיאפשרו לנו לחשב בקלות נגזרות של פונקציות הרבה יותר מסובכות מאשר X בריבוע או סינוס של X. הכלל הראשון אומר שהנגזרת של סכום של שתי פונקציות, אני כמובן מניח ששתיהן גזירות בכל תחום ההגדרה, הוא סכום הנגזרות. בואו ניתן לו הוכחה קצרה, סקיצה של הוכחה. על מנת לחשב את הנגזרת בנקודה נתונה אני צריך... בואו נתייחס כרגע לנקודה נתונה X0. אני צריך לחשב את ערך פונקציית הסכום בנקודה קרובה X, פחות הערך שלה ב-X0 ולחלק ב-X פחות X0. זה יהיה שיפוע המיתר לגרף של פונקציית הסכום, ואני צריך להשאיף את X ל-X0. אבל עוד בטרם ביצעתי את התהליך הגבולי שיפוע המיתר הזה אינו אלא סכום שיפועי המיתרים. שיפוע המיתר הזה הוא FX פחות X0 F חלקי X פחות X0 ועוד GX פחות X0 G חלקי X פחות X0. והזהות האלגברית הפשוטה הזאת מראה שגם כאשר אני אבצע את התהליך הגבולי, אתן ל-X להתקרב משמאל או מימין ל-X0, הערך הזה ישאף לנגזרת של F, הערך הזה ישאף לנגזרת של G ב-X0. סכום הערכים ישאף לסכום הנגזרות, ועל כן הנגזרת של הסכום היא סכום הנגזרות. מה לגבי מכפלה? כלל שני: מה לגבי הנגזרת של מכפלה של פונקציות? כלל ראשון היה כלל הסכום. כלל שני לגבי מכפלה. וכאן יש לנו הפתעה, למי שלא ראה את זה, נוסחה נחמדה. אני צריך לכפול את הערך של F בנגזרת של G בנקודה, ובאופן סימטרי להוסיף לזה את הנגזרת של F כפול הערך של G. ושוב ניתן סקיצה של הוכחה. גם כאן בבסיס הכלל הזה עומדת זהות משעשעת. אנחנו צריכים להסתכל על F של X כפול G של X פחות F של X0 כפול G של X0 ולחלק אותו ב-X פחות X0. ואחר-כך כמובן להשאיף את X ל-X0. זה ייתן לנו את הנגזרת של פונקציית המכפלה. נכתוב את הביטוי הזה, בטרם השאפנו את X ל-X0. באופן הבא, נכתוב אותו כ-F של X כפול G של X פחות G של X0 חלקי X פחות X0 ועוד F של X פחות F של X0 חלקי X פחות X0 כפול G של X0. בואו נראה שמדובר פה בזהות אלגברית פשוטה ותמימה למראה אבל מאורגנת בצורה חכמה. מן המחובר הראשון נקבל F של X כפול G של X חלקי X פחות X0. זהו החלק הזה. נקבל בו איבר עודף בסימן מינוס, מינוס F ב-X כפול G ב-X0 שוב מחולק ב-X פחות X0. אבל האיבר העודף הזה מתבטל בדיוק עם האיבר הראשון במחובר השני. פה היה כתוב מינוס F של X כפול G של X0. ופה כתוב פלוס F של X כפול G של X0. שניהם מחולקים ב-X פחות X0. הם מתבטלים, ומה שנשאר לנו כאן הוא מינוס X0 F כפול X0 G, המחובר הזה. אני אתן לכם שלוש שניות לבהות בלוח ולעכל מה שעשינו. הוספנו וגרענו את אותו גודל וארגנו את הביטוי הזה בצורה קצת שונה. מה קורה עכשיו כאשר X שואף ל-X0? כאשר X שואף ל-X0, הגודל הזה שואף לנגזרת ב-X0, הגודל של F שואף לערך ב-X0, הגודל הזה שואף לנגזרת של F ב-X0, והגודל הזה הוא קבוע לכל אורך הדרך, אינו תלוי ב-X, הוא הערך של G ב-X0. שימו לב, יש לנו כאן שני ביטויים, הם לא לגמרי סימטריים. הביטוי הזה נותן לנו את הנגזרת של G והביטוי הזה נותן לנו את הנגזרת של F, אבל כאן כתוב לנו כפל בקבוע G של X0. כאן לא כתוב כפל בקבוע כפול כפל בפונקציה, אבל הפונקציה הזאת שואפת ל-F של X0. זה הרעיון מאחורי ההוכחה. אני הבלעתי כאן כמה עובדות מתמטיות, כגון שגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות, גבול של סכום הוא סכום הגבולות. את הדברים האלה צריך להוכיח בלשון מדויקת, בלשון אפסילון ודלתא, כפי שאנחנו אומרים, אבל את זה תעשו בלימודי החשבון אינפיניטסימלי בשנה א'. נעיר עוד שלנוסחה הנכבדה הזאת אפשר לתת גם הוכחה גיאומטרית. שתראו בתרגיל. הכלל האחרון עליו אני רוצה לדבר קרוי כלל השרשרת והוא מתייחס להרכבת פונקציות. על הרכבה של פונקציות דברנו בהרחבה בפרק שעסק בפונקציות. הזכרנו מה התחומים והטווחים צריכים לקיים. אנחנו נניח כרגע שמדובר בפונקציות שמוגדרות לכל מספר שהוא רק כדי לפשט את הדיון. בואו נאמר ש-y נתון כפונקציה של x על ידי הפונקציה g, ואילו z נתון כפונקציה של y בעזרת הפונקציה h. במצב הזה, אם מדובר בפונקציות שמוגדרות לכל מספר ממשי, אנחנו יכולים להרכיב ולקבל את הפונקציה שתסומן f שהיא g. סליחה, h הרכבה על g, f של x, היא h של g של x. ואנחנו נסמן את זה ב-z. g מעבירה אותנו מין ה-x אל ה-h, y אוכלת את ה-y ומייצרת את ה-z. בתור דוגמה אנחנו יכולים לחשוב על g של x, שווה x בריבוע. h של y, שווה סינוס של y. הפונקציה המורכבת f של x, תהיה סינוס של x בריבוע. מה שהפונקציה g מייצרת, הפונקציה h אוכלת בתור קלט. מה אנחנו יכולים להגיד על הנגזרת של הפונקציה f, אם אנחנו יודעים את הפונקציות הנגזרות של g ו-h? זאת השאלה. וכלל השרשרת יאמר שבמקרה הזה הנגזרת של f ב-x0 בנקודה נתונה x0 תהיה הנגזרת של h בנקודה אליה x0 מועתקת על ידי g, ב-g של x0, מוכפלת בנגזרת של g ב-x0. בואו נבין את הנוסחה לפני שניתן דוגמה וסקיצה של הוכחה גם כאן. הנגזרת של g ו-x0 היא גודל נתון. הנגזרת של h צריכה להיות מוערכת בנקודה בתחום ההגדרה של h, באיזשהו y, וה-y שבה אנחנו מעריכים אותה הוא אותו y שמתקבל על ידי הפעלת g על x0. למשל בדוגמה שלנו, סינוס x, אני כותב סינוס x בריבוע, הפונקציה הנגזרת של z, זה הפונקציה הנגזרת של סינוס, כלומר קוסינוס, לא ב-x אלא ב-x בריבוע, מוכפל בנגזרת של מה שקרוי הפונקציה הפנימית. הפונקציה g של x היתה x בריבוע, הנגזרת שלה היא 2x. זאת התוצאה. ושוב ניתן סקיצה בלבד של הוכחה. כמקודם לא ניתן הוכחה מלאה, אבל ניתן את הנוסחה שמאחורי ההוכחה. ונשים לב שכאשר אנחנו זזים עם דלתא x מהנקודה x0, הערך של y, נסמן y עבור g של x, זז איזשהו גודל דלתא y מהנקודה y0, וכאשר y זז דלתא y מ-y0, הערך של z, כלומר h של y, זז דלתא z מ-z0. ומה שאנחנו מעוניינים הוא ביחס שבין השינוי ב-z לשינוי ב-x. הפונקציה המורכבת מדלגת על השלב המתווך, על ה-y, ומבטאת ישירות את z באמצעות x. זוהי הפונקציה z שווה f של x. אנחנו מעוניינים ביחס הזה. ואנחנו יכולים כמובן לכתוב שדלתא z חלקי דלתא x, הוא דלתא z חלקי דלתא y כפול דלתא y חלקי דלתא x. וכאן אני מטאטא מתחת לשטיח בעיה קטנה שעלולה לצוץ אם הדלתא y הוא 0. כי אם הדלתא y היה 0, חילקתי ב-0 והכפלתי ב-0, זהו כמובן מהלך אסור. אבל בהנחה שהדלתא y שונה מ-0, הביטוי הזה לכל ערך נתון הוא ביטוי לגיטימי. וכאשר אני משאיף את x ל-x0, הופך את הגידול ב-x לקטן מאד, גם הגידול ב-y הופך להיות קטן מאד וגם הגידול ב-z הופך להיות קטן מאד. המנה הזאת שהיא שיפוע המיתר בגרף של g, שואפת לנגזרת של g. ואילו הביטוי הזה שהוא שיפוע המיתר בגרף של h, שואף למשיק, לשיפוע המשיק, כלומר לנגזרת של h, אבל היכן? ב-y0, ו-y0 הלא הוא g של x0. וזה המקור לכלל הנחמד הזה. שילוב של שלושת הכללים מאפשר לנו לחשב נגזרות לפונקציות מסובכות. עשינו את זה כאן בדוגמה של סינוס x בריבוע. יכולנו להכפיל אותה בקוסינוס של 5x, להשתמש בכלל השרשרת, בכלל המכפלה ובכלל הסכום ולקבל את נגזרת הפונקציה היותר מסובכת הזאת. לא נעשה את זה כעת. דוגמה נחמדה ושימושית לשימוש במושג הפונקציה הנגזרת, לא לנגזרת בנקודה הוא משפט שנקרא משפט הערך הממוצע. ולפני שאני ארשום את המשפט בניסוחו המתמטי, אני אתן לו ניסוח יומיומי. אם אתם זוכרים התחלנו את הדיון בנגזרות בסיפור על נסיעה מירושלים, נאמר, לתל-אביב. ואילו המהירות הממוצעת שלי היתה 80 קילומטר לשעה, מה שהמשפט הזה יבוא ויגיד הוא שהיתה נקודת זמן במהלך הנסיעה שבה המהירות הרגעית שלי, כפי שהסברנו אותה באותו שיעור, גם כן היתה 80 קילומטר בשעה. זאת אומרת, יכול להיות שברגעים מסוימים נסעתי 100, אפילו 120, ברגעים אחרים 40 או 60, אם היה פקק תנועה, אבל המהירות הממוצעת אכן נראתה על מד המהירות בנקודה כלשהי. מה יאמר משפט הערך הממוצע? תהי נתונה f מן הקטע הסגור ab אל R. זהו סימון לפונקציה שתחום הגדרתה קטע סגור ab והטווח שלה כל הממשיים. פונקציה גזירה בכל התחום. ואני רוצה גם להניח גזירות בנקודות הקצה, על אף שנקודות הקצה הן נקודות קצה ואת שיפועי המיתרים אנחנו יכולים לחשב בהן רק מצד אחד. אזי ישנה נקודה x0 גדולה מ-a וקטנה מ-b, שבה הנגזרת, הווה אומר קצב השינוי הרגעי של הפונקציה או שיפוע המשיק, שווה ל-f של b פחות f של a חלקי b פחות a, שהוא קצב השינוי הממוצע או שיפוע המיתר בין שני קצות הקטע. ובציור, אילו זה הקטע וכך נראית הפונקציה. זהו המיתר המחבר את נקודות הקצה, ואני אמור למצוא נקודה שבה שיפוע המשיק אכן שווה לשיפוע המיתר. דרך ויזואלית להשתכנע בנכונות המשפט היא להתחיל להזיז את המיתר במקביל לעצמו, להסתכל במשפחת הישרים שזה שיפועם, ולראות מתי המשפחה הזאת נוגעת, משיקה לגרף של הפונקציה. ואכן בנקודה הזאת למשל אנחנו יכולים לראות שמתקבל משיק ששיפועו כשיפוע המיתר. הנקודה הזאת, במקרה הזה, היא אחת הנקודות, לא היחידה אולי, שבה הנגזרת שווה לשיפוע המיתר או שהמהירות הרגעית שווה למהירות הממוצעת מכל זמן הנסיעה. את המשפט הזה ניתן להוכיח שוב על ידי מהלך שדיברנו עליו גם כן באחת ההזדמנויות והוא רדוקציה למקרה יותר פשוט. אחד הרעיונות המרכזיים במתמטיקה הוא שאם יש לכם משפט או עובדה שאתם מנסים להוכיח אותה, נסו תחילה להוכיח אותה במקרה יחסית פשוט. אם אתם לא מצליחים שם, אין לכם סיכוי במקרה המסובך, ומצד שני, אם הצלחתם שם, אולי עליתם על איזשהו רעיון טוב ואפשר את המקרה המסובך לעשות לו רדוקציה למקרה הפשוט. המקרה הפשוט שבו נדון הוא המקרה ש-f של b שווה f של a. אם שיפוע המיתר הוא 0, אז גם צריכה להיות נקודה בשיפוע המשיק הוא 0. צריך למצוא x0 שם הנגזרת היא 0. לא ניתן הוכחה מדויקת במקרה הזה, אבל נסביר את הרעיון. הפעם הגרף יכול לעלות ולרדת, אבל הוא צריך להגיע בקצה הדרך לאותו ערך שהוא קיבל בתחילת הדרך. f של a שווה f של b שווה לערך הזה. פונקציה כזאת צריכה לקבל מקסימום או מינימום אבסולוטיים בנקודה הפנימית של הקטע. את הנקודה הזאת לא נוכיח, אבל קל להשתכנע בה ויזואלית. אם אנחנו מתחילים וגומרים באותה נקודה, באותו ערך, סליחה. לא באותה נקודה. בנקודה אחרת, אבל באותו ערך. אז אם התחלנו בעלייה, אנחנו איפשהו צריכים לרדת וכדי לשנות מגמה אנחנו צריכים להגיע לנקודת מקסימום מקומי. בדוגמא שלפנינו יש שתי נקודות מקסימום מקומי ונקודת מינימום מקומי אחת. אבל ניקח אחת מהם. חייבת להימצא x0 פנימית לקטע, ממש גדולה מ-a וממש קטנה מ-b, שהיא נקודת קיצון, כאמור, זה דורש הוכחה קצת יותר מדויקת, אבל הרעיון הוא נכון, ושם כפי שראינו, את זה כבר הוכחנו, הנגזרת היא 0. ובכן תוך שימוש ברעיון של נקודת קיצון ובמה שראינו קודם אנחנו יכולים להוכיח את המקרה הפשוט. כדי לעשות רדוקציה של הבעיה מן המקרה הכללי למקרה הפשוט. או למקרה המיוחד. בהינתן f כללית נבנה פונקציה חדשה g של f שתהיה f של x ממנה החסרנו את הכפולה הבאה של x פחות a. הכפולה שבה x פחות a נכפל באותו שיפוע של מיתר. שימו לב, אם fb שווה fa, לא שיננו את הפונקציה. מה אנחנו יודעים על g? בנקודה a היא מקבלת את הערך f של a, מפני שכאשר x שווה a הגורם הזה הוא 0 וכל מה שכתוב פה נופל. ובנקודה b היא מקבלת, בואו נראה מה קורה פה, אם x שווה b, ה-b פחות a כאן מצטמצם עם ה-b פחות a כאן. וכאן כתוב f של b פחות f של b ועוד f של a, הווה אומר שהוא f של a. מן הפונקציה f הפחתנו פונקציה ליניארית ששיפועה כשיפוע המיתר, ועל כן כופפנו את הגרף הזה. אם נפחית מן הפונקציה הלבנה, הפונקציה המקורית, פונקציה ליניארית ששיפועה כשיפוע המיתר. נכופף את הגרף ונקבל פונקציה שמקבלת בשתי נקודות הקצה את אותו ערך. אבל לגבי הפונקציה g אנחנו יודעים שישנה נקודה בה הנגזרת שלה היא 0. אבל הנגזרת של g קלה לחישוב מנוסחת הסכום. מדובר פה בהפרש של שתי פונקציות. הנגזרת של g היא הנגזרת של f פחות הנגזרת של הפונקציה הקווית הזאת, כלומר שיפוע הישר, שהוא אותו שיפוע מיתר מפורסם. ואם זה שווה 0, מצאנו נקודה בה הנגזרת של f שווה לשיפוע המיתר. שוב נתנו הוכחה כמעט מלאה למשפט יפהפה וחשוב בעל משמעות די אינטואיטיבית, כפי שראינו, וההוכחה השתמשה באותו רעיון של רדוקציה למקרה פרטי. כמסקנה מן המשפט הזה, מסקנה חשובה. אנחנו יכולים לקבל את המסקנה שאם הנגזרת של פונקציה היא זהותית 0, אזי f קבועה. הפונקציה היחידה שהנגזרת שלה היא כל הזמן 0, שהמשיק לגרף שלה כל הזמן אופקי, היא פונקציה קבועה. כל פונקציה קבועה, יש הרבה פונקציות כאלה, לכל מספר הפונקציה הקבועה שמקבלת את אותו ערך מקיימת את התנאי הזה. ומדוע זאת מסקנה מהמשפט שמחקתי כבר? כמובן אילו היו שתי נקודות שבהן הערכים שונים, שיפוע המיתר ביניהן היה שונה מ-0. fb פחות fa חלקי b פחות a אותו ביטוי פה היה שונה מ-0. ועל כן ביניהן היתה צריכה להיות נקודה שבה הנגזרת היא שיפוע המיתר גם כן שונה מ-0, ועל כן הנגזרת לא היתה זהותית 0. במשפט הזה אנחנו נעשה שימוש לקראת סוף הקורס כאשר נזכיר על קצה המזלג משוואות דיפרנציאליות.
