בשיעור הראשון התוודענו אל משפט פיתגורס מנקודת מבט גיאומטרית. אנחנו רוצים לגייס עכשיו את האלגברה ולדון בכמה היבטים מעניינים שהמשפט הזה מעלה מבחינת אלגברית. בואו ניזכר שמשפט פיתגורס התייחס למשולש ישר זווית וכעת נסמן את אורכי צלעותיו ב-b ,a ו-c. a ו-b אלה הניצבים ו-c הוא היתר. והמשפט אמר שאם נבנה ריבועים על שלושת הצלעות, הרי שסכום שטחי הריבועים הנבנים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. נתנו למשפט הזה הוכחה גיאומטרית שלא עירבה אלגברה, אבל המשמעות האלגברית פשוטה. שטח הריבוע הבנוי על הניצב a הוא a בריבוע. שטח הריבוע הבנוי על הניצב b הוא b בריבוע. סכום השטחים a בריבוע ועוד b בריבוע שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר והוא c בריבוע. למשל, אנחנו יכולים לקחת בתור a שלושה סנטימטר, בתור b 4 סנטימטר, ואז חשבון פשוט מראה שהיתר חייב לצאת 5 סנטימטר כדי ש-9 ועוד 16 יהיה שווה ל-25. שלושה מספרים שלמים המקיימים את היחס a בריבוע ועוד b בריבוע שווה c בריבוע נקראים שלשה פיתגוראית. המספר הללו מהווים שלשה פיתגוראית. דוגמה אחרת לשלשה פיתגוראית מתקבלת כאשר לוקחים את a שווה 5, b שווה 12, ובואו נחשב את c. 25, 5 בריבוע, ועוד 144, 12 בריבוע, זה 169, וזה שווה בדיוק 13 בריבוע. ועל כן הערך היחיד שבא בחשבון עבור c הוא 13. מה שזה אומר מבחינה גיאומטרית שאם אנחנו נבנה משולש שניצביו הם 5 ו-12, אם נקצה קטע באורך 5 וקטע באורך 12 במאונך אחד לשני, אזי היתר יהיה באורך 13. קל לראות מכאן שאנחנו יכולים לבחור את a ו-b כרצוננו. את אורכי הניצבים a ו-b ניתן לבחור כרצוננו, ואזי אורך היתר ניתן לחישוב מתוך משפט פיתגורס. אורך היתר יהיה השורש הריבועי של a בריבוע ועוד b בריבוע. אפשר לשער שלסוג כזה של חישוב הייתה חשיבות לא מבוטלת בתקופה העתיקה. אילו למשל הטלתם מצור על עיר בצורה שלפניה חפיר מלא במים וידעתם את גובה החומה ואת רוחב החפיר, הייתם יכולים לחשב מהו האורך המינימלי של סולם שעליכם להביא איתכם על מנת שתוכלו לטפס אל החומה. מפני שהאורך הזה המינימלי של הסולם יהיה בדיוק אורך היתר במשולש ישר הזווית המצויר כאן. שימושים כאלה אכן היו בעלי חשיבות לא מבוטלת, אבל בבואנו לבצע אותם אנחנו נתקלים בבעיה שבדרך כלל, בניגוד לדוגמאות הרשומות כאן, אם אנחנו מנחשים שני מספרים שלמים בתור a ו-c ,b לא יוצא מספר שלם. והדוגמה הפשוטה ביותר אולי היא כאשר a ו-b הם 1, ואז c יוצא השורש הריבועי של 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע שהוא השורש הריבועי של 2, שהוא, כידוע לכם, לא מספר שלם. אין שום מספר שלם שריבועו הוא 2. והשאלה שאני רוצה לדון בה היום ולנצל את משפט פיתגורס כבמה לדיון בה היא השאלה מהו בעצם שורש 2? ומהם בעצם המספרים המתקבלים בצורה כזאת? אני רוצה לעורר שאלה הרבה יותר יסודית שאולי לא נתתם עליה את הדעת מאז כיתה א' או ב' והיא: מהם בעצם המספרים? אנחנו נעשה אתנחתא מן הגיאומטריה. אל שורש 2 נחזור עוד מעט וננסה לדון בשאלה, מהו מספר? נקודת המוצא שלנו תהיה בכל זאת גיאומטרית והיא שמספר משמש כפי שהוא שימש את הבבלים ואת היוונים למדידת אורכים. לשם כך נתאר לנו ישר אינסופי, ישר שאנחנו ממשיכים אותו לשני קצותיו עד בלי גבול, ועליו נקודת ייחוס שנקרא לה הראשית והיא תסומן ב-0. כדי להיות מסוגלים למדוד אורכים אנחנו צריכים לקבוע קנה מידה, ולכן אנחנו קובעים עוד נקודה שאותה אנחנו מסמנים 1, ולאורך הקטע בין ה-0 וה-1 אנחנו מתייחסים כאל יחידה אחת. משעשינו את זה אנחנו יכולים לחזור ולהקצות, בעזרת מחוגה למשל, את הקטע הזה שוב ושוב ולקבל כך את כל המספרים הטבעיים. 1, 2, 3, 4. אורך הקטע הזה ייקרא 2, אורך הקטע הזה ייקרא 3 וכן הלאה. השלב הבא הוא שלב שבו אנחנו מעוניינים להסתכל בקטעים יותר קצרים מקטע היחידה ואפשר להגיע אליהם למשל בתהליך הגיאומטרי הבא. אם נשרטט בתור בסיס קטע באורך 3, נקצה כאן שוב את הקטע באורך 1, ניצור את המשולש ונעביר מקבילים לצלע הזאת דרך 1 ו-2, נקבל שלושה משולשים דומים זה לזה: המשולש הגדול, המשולש הקטן יותר והמשולש הקטן ביותר. ומסיבות של דימיון משולשים יצא שחילקנו את הקטע באורך יחידה לשלושה קטעים שווים שאורך כל אחד מהם ייקרא שליש. הקטע הזה אורכו שליש ואם ניקח שניים כאלה, נקבל קטע שאורכו 2 שליש. התהליך שתיארנו זה עתה הוא אכן התהליך שהיוונים הקדמונים ביצעו עוד לפני שהיה להם הסימון המקובל היום. המספרים המבטאים יחסים בין גדלים שלמים, כמו המספר שליש, שני שליש, חמש שביעיות וכן הלאה, נקראים מספרים רציונליים. מן המילה רציו, יחס, או בעברית שברים פשוטים. בבית ספר יסודי נתקלתם גם בשברים עשרוניים, למשל ידעתם שהמספר 3.14 הוא קירוב לא רע לפאי, ליחס שבין היקף המעגל וקוטרו, אבל 3.14 הוא בעצם מופע אחר של מספר רציונלי, מפני ש-3.14 הוא דרך אחרת לכתוב 314 חלקי 100 וזהו שוב שבר פשוט, מספר רציונלי. המונה שלו הוא 314, המכנה הוא 100. מבחינת הסימון הוא מסומן טיפה שונה, אבל מבחינה מהותית הוא לא שונה מן המספרים הללו. גם אם נסתכל על 3.14159 כקירוב יותר טוב לפאי. זה ייתן לנו את המספר 314,159 חלקי 100,000 ושוב זהו מספר רציונלי. לאמיתו של דבר, כל המספרים העשרוניים, כל המספרים שאתם מגיעים אליהם בלחיצה על מקש של המחשבון הם מספרים רציונליים, ולא זו בלבד שהם מספרים רציונליים, הם מספרים רציונליים שהמכנה שלהם הוא חזקה של 10. בואו נחזור אל משפט פיתגורס. בואו נשרטט את המשולש ישר-הזווית ושווה הצלעות, שאורך הניצבים שלו 1 ואורך היתר שלו יסומן q. ואנחו יודעים ש-q בריבוע שווה 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע, ולכן q הוא מספר, הוא אורך של קטע, אנחנו רוצים לייחס לאורך של הקטע הזה מספר שריבועו הוא 2. והנה תגלית שהרעישה את העולם המתמטי במאה השישית לפני הספירה והיוותה אבן דרך בהתפתחות המתמטיקה, הייתה התגלית שאין מספר רציונלי, אין מספר שניתן לביטוי כמנה של שני מספרים שלמים שריבועו הוא 2. אני רוצה לנסח את זה כמשפט. לא קיים מספר רציונלי השווה לאורך היתר במשולש ישר-זווית שאורכי ניצביו שווים ל-1. המשפט הזה הוא משפט מעניין. זה משפט שאומר שלא קיים משהו. יש פה איזו שהיא סתירה כביכול. מצד אחד אנחנו רואים בעיניים את האורך הזה, את המספר שריבועו הוא 2. אנחנו מסוגלים לשרטט אותו על הלוח בדיוק גדול ככל שנרצה. מצד שני אנחנו טוענים שהוא לא קיים. ובכן הוא קיים, אבל הוא חורג מן העולם של המספרים הרציונליים. אנחנו נצטרך להעשיר את העולם של מספרים רציונליים במספרים חדשים שאינם ניתנים לתיאור כמנה בין שני מספרים שלמים, ואלו יהיו המספרים האי-רציונליים ששורש 2 הוא דוגמה להם. אבל בואו ננסה לראות איך ניתן להוכיח את המשפט הזה. כפי שהוכחנו את משפט פיתגורס, גם את המשפט הזה אנחנו צריכים להוכיח. אני צריך לשכנע אתכם ש-141 חלקי 100, על אף שהוא קירוב לא רע של שורש 2, הוא לא שורש 2 בדיוק וששורש 2 לא ניתן לייצוג כמנה בין שני מספרים שלמים. וההוכחה תשתמש ברעיון חדש ומאוד מעניין. ההוכחה תהיה הוכחה הקרויה במתמטיקה הוכחה על דרך השלילה. אפשר לדמיין אותה לדו-שיח ביני, האדם שמתיימר להוכיח את המשפט הזה, ובין אדם מהרחוב הבא ומאתגר אותי. הבא ואומר לא, אני חושב שיש מספר כזה. ואז אני אומר לאותו אדם מן הרחוב אוקיי, בוא נניח שיש לך מספר כזה, תציג אותו. והוא מציג אותו. היות ואני לא יודע מה הוא, בואו ניתן למספר הזה ביטוי בעזרת סמלים. נניח שהיה q מהצורה m חלקי n, m ו-n שלמים, שריבועו 2, העונה על המשוואה הזאת. ואז אני מבקש מאותו אדם לרשום את המשוואה שהוא מקבל. אנחנו נמחק כרגע את ניסוח המשפט ונבצע סדרה של תהליכים פשוטים. שלב ראשון: m חלקי n בריבוע שווה 2. אם נכפול את שני אגפי המשוואה הזאת ב-n בריבוע, הלא כאן רשום לנו m בריבוע חלקי n בריבוע, נקבל ש-m בריבוע שווה 2n בריבוע. m ו-n הם עכשיו מספרים שלמים אותם אלה שמתיימרים להיות המונה והמכנה של אותו מספר שאת קיומו אני רוצה להפריך. מה זה אומר על m? m בריבוע הוא זוגי. מכאן נובע שגם m זוגי. הסימן הזה הוא סימן הגרירה. בשפת יום-יום, אם m בריבוע זוגי, גם m זוגי. הטענה שכתובה בצד ימין גוררת מבחינת לוגית את הטענה שכתובה בצד שמאל. אני אשאיר לכם כתרגיל לבדוק את הטענה הזאת. כמובן קל להשתכנע בהרבה דוגמאות שאם תיקחו מספר שאינו זוגי, אי-זוגי, כמו 3, 5, 7, 9, 11 וכן הלאה ותעלו אותו בריבוע, תקבלו שוב מספר אי-זוגי, ועל כן אם הריבוע הוא זוגי, ה-m עצמו חייב להיות זוגי. זה אומר שאנחנו יכולים לרשום את m כפעמיים מספר טבעי אחר, k. בואו נציב את זה בנוסחה הזאת ונקבל 2k בריבוע שווה 2N בריבוע נפתח את אגף שמאל ונקבל 4K בריבוע שווה 2N בריבוע נצמצם ב-2 ונקבל ש-2K בריבוע שווה N בריבוע תשוו את השורה הזאת עם השורה הזאת כאן קיבלנו ש-M בריבוע היה זוגי והסקנו ש-M זוגי אחרי מספר מניפולציות אלגבריות הגענו למסקנה שגם N בריבוע זוגי ולכן גם N זוגי וכשם שרשמנו את M כפעמיים K אנחנו יכולים לרשום את N כפעמיים L מה העלינו בחקתנו? יצאנו מתוך ההנחה ש-M חלקי N בריבוע היה 2 וקיבלנו שאפשר לכתוב את M כפעמיים K ואת N כפעמיים L כ-K חלקי L. נשים לב שאת התהליך הזה ניתן לבצע שוב, בעצם התחלנו משבר כלשהו המייצג את שורש 2 או המתיימר לייצג את שורש 2 והראינו שניתן לצמצמם אותו ב-2. לצמצמם מונה ומכנה ב-2 שניהם חייבים להיות זוגיים. אבל K חלקי L מייצג את שורש 2 ועל כן נוכל להמשיך ולצמצם את K ואת L ב-2 גם K וגם L יהיו זוגיים באותו טיעון וחוזר חלילה התהליך הזה צריך להיעצר או לשון אחרת אילו מראש ייצגנו את Q על ידי שבר מצומצם אילו הניחנו ש-M ו-N אינם שניהם זוגיים שאי אפשר לצמצם אותם יותר הרי שנקבל סתירה. בואו נרשום את זה הראינו שאם M חלקי N בריבוע יהיה שווה 2 גם M וגם N זוגיים וניתן לצמצם מונה ומכנה ב-2. מאחר ויכולנו להתחיל עם שבר מצומצם נקבל סתירה. הסתירה הזאת מהווה הוכחה. הוכחה על דרך השלילה של המשפט שאין מספר רציונאלי, אין שבר פשוט שריבועו הוא 2 בואו נחזור לא על האלגברה אלא על המהלך הלוגי. הנחנו שקיים מספר רציונאלי שבר פשוט שריבועו הוא 2 ביטאנו אותו כשבר מצומצם ביצענו מספר מניפולציות אלגבריות והראנו שעל אף שהנחנו שהוא שבר מצומצם הן M והן N חייבים להיות זוגיים. כלומר ניתן לצמצמם אותו עוד יותר והלא זו סתירה להנחה המקורית. מה אם כך שגוי במהלך הלוגי שלנו שום דבר מעבר להנחת היסוד ש-Q אכן ניתן לביטוי כ-M חלקי N כמנה בין שני מספרים שלמים. התגלית הזאת שישנם מספרים שאינם רציונאלים, מספרים אי רציונאלים היתה מהפכה מחשבתית כבירה במאה ה-6 לפני הספירה. מעבר לתגלית התוודאנו כאן להוכחה מעניינת כשלעצמה. למהלך לוגי שחוזר ברמות עולות וגדולות של תחכום בכל מהלך המתמטיקה והוא המהלך של הוכחה על דרך השלילה.
